單自由度系統(tǒng)的無阻尼自由振動(dòng)課件

1、,第二章 單自由度系統(tǒng)的自由振動(dòng),以彈簧質(zhì)量系統(tǒng)為力學(xué)模型，討論單自由度 無阻尼系統(tǒng)的固有振動(dòng)和自由振動(dòng)，,有阻尼的系統(tǒng)根據(jù)阻尼的大小分為過阻尼、臨界阻尼及欠阻尼三種狀態(tài),固有振動(dòng)的表現(xiàn)形式為簡諧振動(dòng)，其固有頻率的計(jì)算方法有靜變形法、瑞利法以及等效剛度、等效質(zhì)量法,1,學(xué)習(xí)交流PPT,單自由度系統(tǒng)的自由振動(dòng),一、自由振動(dòng)的概念：,2,學(xué)習(xí)交流PPT,動(dòng)力學(xué),單自由度系統(tǒng)的自由振動(dòng),以彈簧質(zhì)量系統(tǒng)為力學(xué)模型,3,學(xué)習(xí)交流PPT,動(dòng)力學(xué),運(yùn)動(dòng)過程中，總指向物體平衡位置的力稱為恢復(fù)力。 物體受到初干擾后，僅在系統(tǒng)的恢復(fù)力作用下在其平衡位置附近的振動(dòng)稱為無阻尼自由振動(dòng)。,質(zhì)量彈簧系統(tǒng)：,令x為位移，以

2、質(zhì)量塊的靜平衡位置 為坐標(biāo)原點(diǎn)，當(dāng)系統(tǒng)受干擾時(shí)，根據(jù) 牛頓第二定律，有：,4,學(xué)習(xí)交流PPT,動(dòng)力學(xué),在靜平衡時(shí)有：,振動(dòng)微分方程為：,方程的通解為：,5,學(xué)習(xí)交流PPT,動(dòng)力學(xué),6,學(xué)習(xí)交流PPT,二、單自由度系統(tǒng)無阻尼自由振動(dòng)微分方程及其解,動(dòng)力學(xué),對(duì)于任何一個(gè)單自由度系統(tǒng)，以x 為廣義坐標(biāo)（從平衡位置開始量取 ），則自由振動(dòng)的運(yùn)動(dòng)微分方程必將是：,a, c是與系統(tǒng)的物理參數(shù)有關(guān)的常數(shù)。令,則自由振動(dòng)的微分方程的標(biāo)準(zhǔn)形式：,方程的通解解為：,7,學(xué)習(xí)交流PPT,動(dòng)力學(xué),或：,C1，C2由初始條件決定,這里A和與C1和C2的關(guān)系為：,8,學(xué)習(xí)交流PPT,動(dòng)力學(xué),設(shè) t = 0 時(shí)， 則可求得

3、：,9,學(xué)習(xí)交流PPT,10,學(xué)習(xí)交流PPT,動(dòng)力學(xué),三、自由振動(dòng)的特點(diǎn)： A物塊離開平衡位置的最大位移，稱為振幅。 n t + 相位，決定振體在某瞬時(shí) t 的位置 初相位，決定振體運(yùn)動(dòng)的起始位置。 T 周期，每振動(dòng)一次所經(jīng)歷的時(shí)間。 f 頻率，每秒鐘振動(dòng)的次數(shù)， f = 1 / T 。 固有頻率，振體在2秒內(nèi)振動(dòng)的次數(shù)。 反映振動(dòng)系統(tǒng)的動(dòng)力學(xué)特性，只與系統(tǒng)本身的固有參數(shù)有關(guān)。,11,學(xué)習(xí)交流PPT,動(dòng)力學(xué),無阻尼自由振動(dòng)的特點(diǎn)是：,(2) 振幅A和初相位 取決于運(yùn)動(dòng)的初始條件(初位移和初速度)；,(1) 振動(dòng)規(guī)律為簡諧振動(dòng)；,(3)周期T 和固有頻率 僅決定于系統(tǒng)本身的固有參數(shù)(m,k,I

4、)。,四、其它 1. 如果系統(tǒng)在振動(dòng)方向上受到某個(gè)常力的作用，該常力只影響靜平衡點(diǎn)O的位置，而不影響系統(tǒng)的振動(dòng)規(guī)律，如振動(dòng)頻率、振幅和相位等。,12,學(xué)習(xí)交流PPT,固有頻率及固有周期,只與振動(dòng)系統(tǒng)的彈簧常量k和物塊的質(zhì)量 m 有關(guān)， 而與運(yùn)動(dòng)的初始條件無關(guān)，所以稱為固有頻率。,固有周期,固有圓頻率，為了方便也稱 為固有頻率，是系統(tǒng)的固有 特性，與系統(tǒng)是否振動(dòng)無關(guān),13,學(xué)習(xí)交流PPT,固有頻率及固有周期,對(duì)于不易得到剛度或質(zhì)量的系統(tǒng)， 若能測出靜變形，可用上式計(jì)算固有頻率。,14,學(xué)習(xí)交流PPT,15,學(xué)習(xí)交流PPT,重物勻速下降時(shí)處于靜,平衡位置，若將坐標(biāo)原點(diǎn)取在繩被卡住瞬時(shí)重物所 在位置

5、，則t=0時(shí)有:,其振動(dòng)規(guī)律為：,解：,16,學(xué)習(xí)交流PPT,其振動(dòng)規(guī)律為：,因?yàn)椋?根據(jù)：,17,學(xué)習(xí)交流PPT,繩中的最大張力等于靜張力 與因振動(dòng)引起的動(dòng)張力之和,可見動(dòng)張力幾乎是靜張力的一半，由于,因而為了降低動(dòng)張力，應(yīng)該降低系統(tǒng)的剛度,18,學(xué)習(xí)交流PPT,例2.2 圖示的直升機(jī)槳葉經(jīng)實(shí)驗(yàn)測出其質(zhì)量為m，質(zhì)心C距鉸中心O距離為l?，F(xiàn)給予槳葉初始擾動(dòng)，使其微幅擺動(dòng)，用秒表測得多次擺動(dòng)循環(huán)所用的時(shí)間，除以循環(huán)次數(shù)獲得近似的固有周期，試求槳葉繞垂直鉸O的轉(zhuǎn)動(dòng)慣量。,19,學(xué)習(xí)交流PPT,解：取圖示坐標(biāo)系，將直升機(jī)槳葉視為一物理擺，根據(jù)繞固定鉸的動(dòng)量矩定理得到其擺動(dòng)微分方程,20,學(xué)習(xí)交流PP

6、T,例 2.3 一個(gè)質(zhì)量為m的物體從h高處自由落下，與一根抗彎剛度為EJ、長L的簡支梁作完全非彈性碰撞，不計(jì)梁的質(zhì)量，求梁的自由振動(dòng)的頻率和最大撓度。,M,x,21,學(xué)習(xí)交流PPT,由材料力學(xué)可知簡支梁在 重物mg作用下的靜變形為：,M,x,解：,故自由振動(dòng)頻率為：,以梁受重時(shí)平衡位置為坐標(biāo)原點(diǎn)，以撞擊時(shí)為0時(shí)候,則自由振動(dòng)振幅為：,梁的最大撓度為：,22,學(xué)習(xí)交流PPT,23,學(xué)習(xí)交流PPT,24,學(xué)習(xí)交流PPT,1. 由系統(tǒng)的振動(dòng)微分方程的標(biāo)準(zhǔn)形式,2. 能量法：,動(dòng)力學(xué),2 求系統(tǒng)固有頻率的方法,：集中質(zhì)量在全部重力 作用下的靜變形,由Tmax=Umax , 求出,3. 瑞利法：,4.

7、等效剛度法:,25,學(xué)習(xí)交流PPT,動(dòng)力學(xué),無阻尼自由振動(dòng)系統(tǒng)為保守系統(tǒng)，機(jī)械能守恒。 當(dāng)振體運(yùn)動(dòng)到距靜平衡位置最遠(yuǎn)時(shí)，速度為零，即系統(tǒng)動(dòng)能等于零，勢能達(dá)到最大值（取系統(tǒng)的靜平衡位置為零勢能點(diǎn)）。 當(dāng)振體運(yùn)動(dòng)到靜平衡位置時(shí)，系統(tǒng)的勢能為零，動(dòng)能達(dá)到最大值。,如：,2. 能量法：,26,學(xué)習(xí)交流PPT,動(dòng)力學(xué),能量法是從機(jī)械能守恒定律出發(fā)，對(duì)于計(jì)算較復(fù)雜的振動(dòng)系統(tǒng)的固有頻率來得更為簡便的一種方法。,27,學(xué)習(xí)交流PPT,動(dòng)力學(xué),例1 圖示系統(tǒng)。設(shè)輪子無側(cè)向擺動(dòng)，且輪子與繩子間無滑動(dòng)，不計(jì)繩子和彈簧的質(zhì)量，輪子是均質(zhì)的，半徑為R，質(zhì)量為M，重物質(zhì)量 m ，試列出系統(tǒng)微幅振動(dòng)微分方程，求出其固有頻率

8、。,28,學(xué)習(xí)交流PPT,動(dòng)力學(xué),解 ： 用機(jī)械能守恒定律 以x為廣義坐標(biāo)（取靜平衡位置為原點(diǎn)）,以平衡位置為計(jì)算勢能的零位置，并注意輪心位移x時(shí)，彈簧伸長2x,因平衡時(shí),29,學(xué)習(xí)交流PPT,動(dòng)力學(xué),由 T+U= 有：,對(duì)時(shí)間 t 求導(dǎo)，再消去公因子 ，得,30,學(xué)習(xí)交流PPT,動(dòng)力學(xué),例2 鼓輪：質(zhì)量M，對(duì)輪心回轉(zhuǎn)半徑，在水平面上只滾不滑，大輪半徑R，小輪半徑 r ，彈簧剛度 ，重物質(zhì)量為m, 不計(jì)輪D和彈簧質(zhì)量，且繩索不可伸長。求系統(tǒng)微振動(dòng)的固有頻率。,31,學(xué)習(xí)交流PPT,動(dòng)力學(xué),解：取靜平衡位置O為坐標(biāo)原點(diǎn)，取C偏離平衡位置x為廣義坐標(biāo)。系統(tǒng)的最大動(dòng)能為：,32,學(xué)習(xí)交流PPT,動(dòng)力

9、學(xué),系統(tǒng)的最大勢能為：,33,學(xué)習(xí)交流PPT,動(dòng)力學(xué),設(shè) 則有,根據(jù)Tmax=Umax , 解得,34,學(xué)習(xí)交流PPT,例 半徑為r、質(zhì)量為m的圓柱體在半徑為R的內(nèi)圓柱面上繞最低點(diǎn)作純滾動(dòng)，試求其微振動(dòng)的固有頻率。,35,學(xué)習(xí)交流PPT,36,學(xué)習(xí)交流PPT,37,學(xué)習(xí)交流PPT,動(dòng)力學(xué),利用能量法求解固有頻率時(shí)，只考慮了慣性元件的動(dòng)能，而忽略不計(jì)彈性元件的質(zhì)量所具有的動(dòng)能，因此算出的固有頻率是實(shí)際值的上限。 但在有些工程問題中，彈性元件本身的質(zhì)量因占系統(tǒng)質(zhì)量相當(dāng)大的比例而不能忽略，否則算出的固有頻率會(huì)明顯偏高,2. 瑞利法：,彈性元件的質(zhì)量實(shí)際是分布質(zhì)量，可以先利用動(dòng)能計(jì)算將分布質(zhì)量等效為質(zhì)

10、中質(zhì)量，加到原來的慣性元件的集中質(zhì)量上，仍作為單自由度系統(tǒng)來處理，從而得到更精確的固有頻率的近似值，這種方法稱為瑞利法。,38,學(xué)習(xí)交流PPT,動(dòng)力學(xué),2. 瑞利法：,L,k,s,ds,例.求考慮彈簧質(zhì)量時(shí)系統(tǒng)的固有頻率,39,學(xué)習(xí)交流PPT,動(dòng)力學(xué),形狀函數(shù)：,設(shè)平衡時(shí)彈簧長L，振動(dòng)中質(zhì)量m的位移為x(t),彈簧上距 固定端s處的位移即與t有關(guān)又與s有關(guān)，即應(yīng)寫為y(s,t), 顯然，當(dāng)s=L時(shí)有： Y(l,t)=x(t) 假設(shè)彈簧在振動(dòng)時(shí)的形狀（即彈簧的變形形式）是僅與s 有關(guān)而與t無關(guān)的函數(shù)f(s)，則彈簧各點(diǎn)在振動(dòng)中的位移 可表示為 Y(s,t)=x(t)f(s) 0s1 f(s)就為

11、形狀函數(shù)。 它的定義是質(zhì)量m有單位位移時(shí) 彈簧各點(diǎn)相應(yīng)的位移， 彈簧各點(diǎn)的速度為：,L,k,s,ds,40,學(xué)習(xí)交流PPT,動(dòng)力學(xué),L,k,s,ds,彈簧單位質(zhì)量為 ,系統(tǒng)的動(dòng)能為,系統(tǒng)的最大動(dòng)能為：,其中：,41,學(xué)習(xí)交流PPT,動(dòng)力學(xué),例：計(jì)算考慮彈簧質(zhì)量時(shí)彈簧質(zhì)量系統(tǒng)的固有頻率,42,學(xué)習(xí)交流PPT,動(dòng)力學(xué),例：計(jì)算考慮彈簧質(zhì)量時(shí)彈簧質(zhì)量系統(tǒng)的固有頻率,解：,F(0)=0, f(l)=1,則其等效質(zhì)量為：,43,學(xué)習(xí)交流PPT,動(dòng)力學(xué),2. 等效質(zhì)量與等效剛度法：,Ke及Me稱為簡化系統(tǒng)的等效剛度及等效質(zhì)量,瑞利法中將彈性元件的分布質(zhì)量等效為集中質(zhì)量，從而使一個(gè)復(fù)雜的系統(tǒng)簡化為彈簧質(zhì)量系統(tǒng)。 工程中有許多較復(fù)雜的單自由度都可簡化為彈簧質(zhì)量系，簡化方法有兩種，一種為能量法，即在選定廣義位移坐標(biāo)x之后，將系統(tǒng)的動(dòng)能，勢能寫成如下形式：,簡化后得固有頻率的形式為：,44,學(xué)習(xí)交流PPT,動(dòng)力學(xué),2. 等效質(zhì)量與等效剛度法：,另一種定義: 使系統(tǒng)在選定的坐標(biāo)上產(chǎn)生單位位移而需要在此坐標(biāo)方向上施加的力,叫做系統(tǒng)在這個(gè)坐標(biāo)上的等效剛度