微分形式的基本方程.ppt

1、,B3.1 微分形式的質量守恒方程,B3.1.1 流體運動的連續(xù)性原理,不可壓縮流體流進控制體的質量應等于流出控制體的質量， 稱其為流體運動的連續(xù)性原理。,17世紀，哈維發(fā)現人體血液循環(huán)理論,質量守恒在易變形的流體中的體現流動連續(xù)性。,歷史上對連續(xù)性的認識,古 代，漏壺、水流計時,16世紀，達芬奇指出河水流速與河橫截面積成反比,18世紀，達朗貝爾推導不可壓縮流體微分形式連續(xù)性方程,B3.1.1 流體運動的連續(xù)性原理(2-1),B3.1.1 流體運動的連續(xù)性(2-2),17世紀哈維：血液循環(huán)理論,解剖發(fā)現：從心臟到動脈末端血液單向 流動，從靜脈末端到心臟也 是單向流動,定量測量：每小時流出心臟血

2、液245kg,大膽預言：從動脈到靜脈再回心臟,45年后發(fā)現：毛細血管的存在,血液循環(huán)理論流體連續(xù)性原理的勝利,血液循環(huán)圖,B3.1.2 微分形式的連續(xù)性方程,x，y，z方向凈流出質量為,因密度變化引起的質量減少為,由質量守恒定律,單位時間單位體積內,B3.1.2 微分形式的連續(xù)性方程(2-1),B3.1.2 微分形式的連續(xù)性方程(2-2),用場量公式并運用質點導數概念，微分形式連續(xù)性方程為,或改寫為：,左邊代表一點鄰域內流體體積的相對膨脹速率，右邊代表密度相對減少率。連續(xù)性方程適用于任何同種流體。,不可壓縮流體連續(xù)性方程,例B3.1.2 不可壓縮流動連續(xù)性方程,求： v,解： 由不可壓縮流動連

3、續(xù)性方程的二維形式,可得,（B3.1.11）,B3.2 作用在流體元上的力,B3.2.1 體積力和表面力,1.體積力,單位質量流體上的體積力,單位體積流體上的體積力,B3.2.1 體積力和表面力(2-1),B3.2.1 體積力和表面力(2-2),2.表面力,表面力定義：作用在單位平面面積元上的短程力。,n面積元外法線單位矢,n面積元內法線單位矢,（注意： 和 不一定與 垂直）,B3.2.2 重力場,在直角坐標系的重力場中,稱為重力勢，代表單位質量流體具有的重力勢能,B3.2.2 重力場,B3.2.3 應力場,1.運動粘性流體中的應力狀態(tài),B3.2.3 應力場(4-1),表面應力的分量式,B3.

4、2.3 應力場(4-2),作用在外法矢沿x軸向的面積元dAx上三個應力分量如圖示,B3.2.3 應力場(4-3),2.靜止流體中的應力狀態(tài),結論：靜止流體中一點的應力狀態(tài)只用一個標量靜壓強p表示.,B3.2.3 應力場(4-4),3.應力的常用表達式,運動粘性流體中的(平均)壓強,在法向應力中把壓強分離出來,為附加法向應力分量（與流體元線應變率有關）,壓強矩陣 偏應力矩陣,應力矩陣表示為,例B3.2.3 平面線性剪切流中的應力狀態(tài),已知：平面線性剪切流,求： 應力狀態(tài),切應力,法向應力,（k為常數）,例B3.2.3A 剛體旋轉流動:純旋轉(2-1),已知：二維不可壓縮平面流場為,求： 試分析該

5、流場中的應力狀態(tài),（k為常數）,流體中任一點的法向應力為,切向應力為,例B3.2.3A 剛體旋轉流動:純旋轉(2-2),B3.3 微分形式的動量方程,按牛頓第二定律，長方體流體元的運動方程為,各面元上 x 方向表面應力的分量如圖示。,B3.3 微分形式的動量方程(2-1),表面力合力 dFsx 由應力梯度造成,x方向的體積力分量為,將dFsx和dFbx代入運動方程，并利用 和質點導數概念，可化為,同理可得,上式稱為粘性流體運動一般微分方程，適用于任何流體。,B3.3 微分形式的動量方程(2-2),B3.4 納維斯托克斯方程,斯托克斯假設：1.將牛頓粘性定律從一維推廣到三維； 2.流體各向同性；

6、 3.靜止時法向應力等于靜壓強。,均代入粘性流體運動一般微分方程,對牛頓流體（常數）,B3.4 納維斯托克斯方程(4-1),不可壓縮條件（常數）,B3.4 納維斯托克斯方程(4-2),可得均質不可壓縮牛頓流體的納維-斯托克斯方程(NS方程),NS方程的適用條件是：,B3.4 納維斯托克斯方程(4-3),NS方程的矢量式為,NS方程的意義和求解：,物理意義是：慣性力與體積力、壓力、粘性力平衡,對不同的流動專題可作不同程度的簡化（見專題篇）。,B3.4 納維斯托克斯方程(4-4),B3.5 邊界條件與初始條件,1.常見邊界條件,(1)固體壁面,粘性流體：不滑移條件(圖a),無粘性流體：法向速度連續(xù)

7、(圖b),v = v固,vn = v n固,(2)外流無窮遠條件,v = v， p = p,B3.5 邊界條件與初始條件 (2-1),(3)內流出入口條件,v = vin (out)， p = p in (out),(4)自由面條件,2.初始條件,定常流時無初始條件,不定常流時給出某時刻的參數值：,v(t0), p (t0), (t0) 等,B3.5 邊界條件與初始條件(2-2),例B3.5.1A 沿斜坡的重力粘性層流(3-1),已知：不可壓牛頓流體在重力作用下沿斜坡()作定常層流流動，流層深h，自由面上為大氣壓（p0）。,(a),求： (1) 速度分布 (2) 壓強分布 (3) 切應力分布

8、(4) 流量,(b),(c),例B3.5.1A 沿斜坡的重力粘性層流(3-2),因v0，由（a）式,由（c）式,積分兩次,流量,速度分布為,切應力分布,例B3.5.1A 沿斜坡的重力粘性層流(3-3),由邊界條件(2): y=0 , u=0 可得 C2 =0,由邊界條件(3): y=b ,B3.6壓強場,由NS方程,B3.6 壓強場,B3.6.1 靜止重力流體中的壓強分布,均質靜止流體 = 常數，uvw0,在重力場中,上式說明：z方向壓強梯度由單位體積流體的重力決定。,積分可得,B3.6.1 靜止重力流體中的壓強分布 (3-1),1.壓強分布一般表達式,由N-S方程可得,B3.6.1 靜止重力

9、流體中的壓強分布(3-2),2.具有自由液面的重力液體 壓強公式,為自由面上的壓強，h為淹深,(1)在垂直方向壓強與淹深成線性關系,(2)在水平方向壓強保持常數,B3.6.1 靜止重力流體中的壓強分布(3-3),3.等壓面,在連通的同種流體中的等壓強面稱為等壓面。,在靜止重力流體中的等壓面為水平面,h常數,非等壓面,11 為不連通液體,22 為不同液體,例B3.6.1 靜壓強分布圖,B3.6.2 壓強計示方式與單位,壓強計示方式,習慣上取,壓強基準,真空度,完全真空,表壓強,大氣壓強,B3.6.2 壓強計算方法與單位(2-1),由壓強公式,p0提供壓強基準,B3.6.2 壓強計算方法與單位(2

10、-2),2.壓強單位,標準大氣壓atm(標準國際大氣模型),液柱高：,國際單位制（SI）：帕斯卡Pa,毫米汞柱mmHg（血壓計）,米水柱mH2O （水頭高）,測壓管高度 h = pA /g,例B3.6.2 單管測壓計（21）,已知：圖示密封容器中液體(),在A點接上單管測壓計,求： 與測壓管高度h 的關系,h為被測點的淹深，稱為測壓管高度.,例B3.6.2 U形管測壓計（22）,求： ( ,表壓強 真空壓強 絕對壓強）,例B3.6.2A U形管差壓計,已知：圖示盛滿水封閉容器高差 , U形管水銀測壓計中液面差h =10cm,求： ( ,表壓強 絕對壓強）,B3.6.3 運動流場中的壓強分布,壓強系數,1.慣性力對壓強分布的影響,p 0，v 0為參考值，對外流場取p，v,B3.6.3 運動