2014-2015年選修2-1-33.1.2.ppt

1、3.1.2 空間向量的數(shù)乘運算,1.向量的數(shù)乘運算 (1)數(shù)乘運算:,相同,相反,|倍,向量,(2)運算律:分配律:(a+b)=_; 結(jié)合律:(a)=_.,a+b,()a,2.平行(共線)向量:,互相平行或重合,相同或相反,平面,a=b,惟一,p=xa+yb,方向向量,1.判一判(正確的打“”,錯誤的打“”) (1)實數(shù)與向量之間可進行加法、減法運算.() (2)若表示兩向量的有向線段所在的直線為異面直線,則這 兩個向量不是共面向量.() (3)如果 則P,A,B共線.() (4)空間中任意三個向量一定是共面向量.(),【解析】(1)錯誤,實數(shù)與向量相加沒有意義,如3+a不能確定 該式子是實數(shù)

2、還是向量. (2)錯誤,由共面向量的定義知空間中任意兩個向量都是共面向 量,故此種說法錯誤. (3)正確,能判定P,A,B共線.因為原式可化為: 由共線 向量的充要條件可知,P,A,B共線.,(4)錯誤,空間中的任意三個向量不一定是共 面向量.例如,對于空間四邊形ABCD, 這三個向量就不是共面向量. 答案:(1)(2)(3)(4),2.做一做(請把正確的答案寫在橫線上) (1)若|a|=5,b與a的方向相反,且|b|=7,則a=b. (2)已知b=-5a(|a|=2),向量b的長度為,向量b的方 向與向量a的方向. (3)已知正方體ABCD-A1B1C1D1中, ,若 則x=,y=.,【解析

3、】(1)b與a的方向相反, 所以a=b且實數(shù)0, 由|a|=|b|,所以 故= 答案: (2)因為|a|=2,又b=-5a, 所以向量b的長度為10, 又因為-50,故向量b與a的方向相反. 答案:10相反,(3) 所以x1，y 答案：1,【要點探究】 知識點1 空間向量的數(shù)乘運算 1.數(shù)乘運算的三個關(guān)注點 (1)與實數(shù)運算的區(qū)別:數(shù)乘向量與數(shù)與數(shù)的乘法是有區(qū)別的,前者結(jié)果是一個向量,后者結(jié)果是一個實數(shù). (2)與加法、減法運算的關(guān)系:空間向量的數(shù)乘運算,實質(zhì)是空間向量的加減運算. (3)特殊情況:當=0或a=0時,向量a=0.,2.對a的三點說明 (1)含義:a是實數(shù)與向量a間的運算. (2

4、)的作用:的正負影響著向量a的方向,的大小影響著向量a的長度. (3)a的作用:向量a與向量a一定是共線向量.,【知識拓展】非零向量的單位化 已知非零向量a和它的單位向量a,顯然向量|a|a與向 量a等長且同向,所以有a=|a|a或a= .由此可知,一個非 零向量a除以它的模就可以得到它的單位向量.從向量a求向量 a的過程就稱為向量a的單位化.,【微思考】 (1)向量a的模與向量a的模比較何時擴大?何時縮小? 提示:向量a的模可以擴大(當|1時),也可以縮小(當|0時),也可以改變(當0時).,【即時練】 化簡 (a2b3c) 3(a2bc) _. 【解析】原式 3a6b3c 答案：,知識點2

5、 共線向量 1.對空間共線向量的兩點說明 (1)類比理解:空間共線向量與平面共線向量的定義完全一樣,平面共線向量的結(jié)論在空間共線向量中仍然成立. (2)共線的理解:“共線”這個概念具有自反性,也具有對稱性,即若ab,則ba.,2.共線向量充要條件的三個關(guān)注點 (1)區(qū)別:共線向量與直線平行的區(qū)別,直線平行不包括兩直線重合的情況,而我們說的兩個共線向量ab,表示向量a,b的有向線段所在直線既可以是同一直線,也可以是兩條平行直線. (2)零向量:共線向量的充要條件及其推論是證明共線(平行)問題的重要依據(jù),條件b0不可遺漏. (3)方向向量的個數(shù):直線的方向向量是指與直線平行或共線的向量.一條直線的

6、方向向量有無限多個,它們的方向相同或相反.,3三點P，A，B共線的三種充要條件 (1)存在實數(shù)t，使得 即 (2)存在實數(shù)t，使得 (3)存在有序?qū)崝?shù)對(x，y)，使得 (其中x+y=1).,【知識拓展】共線向量定理推論的證明 推論:如果l為經(jīng)過已知點A,且平行于已 知向量a的直線,那么對空間任一點O,點P在 直線l上的充要條件是存在實數(shù)t,滿足等式,證明：因為la， 所以對于l上任意一點P，存在惟一的實數(shù)t，使得 =ta.(*) 又因為對于空間任意一點O， 有 所以 若在l上取AB=a，則有 (*) 又因為 所以 ,當t= 時， 注：其中向量a叫做直線l的方向向量. 和都叫空間直線的向量表示

7、式，是線段AB的中點向量 公式,【微思考】 (1)若空間中兩向量共線,則它們的方向有什么關(guān)系? 提示:兩向量共線,則它們的方向相同或相反. (2)在兩向量共線的充要條件中,為什么要求b0? 提示:由于我們已經(jīng)規(guī)定了0與任意向量平行,所以當b=0時,a與b是共線向量,可如果a0,就不可能存在實數(shù),使a=b成立.,【即時練】 給出下列幾個命題: 若a與b共線,b與c共線,則a與c共線; 零向量的方向是任意的; 若ab,則存在惟一的實數(shù),使a=b.其中真命題的個數(shù)為 () A.0B.1C.2D.3,【解析】選B.錯誤,若b=0,則a,b共線,b,c共線,但a,c未必共線;正確.這是關(guān)于零向量的方向的

8、規(guī)定;錯誤.若b=0,則有無數(shù)多個使之成立.,知識點3 共面向量 1.對共面向量的兩點說明 (1)共面的理解:共面向量是指與同一個平面平行的向量,可將共面向量平移到同一個平面內(nèi). (2)向量的“自由性”:空間任意的兩向量都是共面的.只要方向相同,大小相等的向量就是同一向量,只要能平移到同一平面上的向量都是共面向量.,2.對共面向量充要條件的兩點說明: (1)表示式:共面向量的充要條件給出了平面的向量表示式,說 明空間中任意一個平面都可以由兩個不共線的平面向量表示 出來. (2)正反兩角度:空間一點P位于平面MAB內(nèi)的充分必要條件是存 在有序?qū)崝?shù)對(x,y),使 滿足這個關(guān)系式的點 P都在平面M

9、AB內(nèi);反之,平面MAB內(nèi)的任一點P都滿足這個關(guān)系式.,【微思考】 (1)共面向量與直線與平面平行的定義是否一樣? 提示:共面向量是指表示向量的有向線段所在的直線與平面平行或表示向量的有向線段所在的直線在平面內(nèi),它與直線和平面平行是不同的.,(2)在三個向量共面的充要條件中,若兩向量a,b共線,那么結(jié)論是否還成立? 提示:不成立.因為當p與a,b都共線時,存在不惟一的實數(shù)對(x,y)使p=xa+yb成立.當p與a,b不共線時,不存在實數(shù)對(x,y)使p=xa+yb成立.,【即時練】 以下命題: 若a,b所在直線是異面直線,則a與b一定不共面; 若a,b,c三向量兩兩共面,則a,b,c三向量一定

10、也共面; 若a,b,c三向量共面,則由a,b所在直線確定的平面與由b,c所在直線確定的平面一定平行或重合.其中正確命題的個數(shù)為 () A.0個B.1個C.2個D.3個,【解析】選A.錯.由于向量是可以自由平移的,所以空間任意 兩個向量一定共面;錯.從正方體一頂點引出的三條棱作為三 個向量,雖然是兩兩共面,但這三個向量不共面,三個向量共面 時,它們所在的直線或者在平面內(nèi)或者與平面平行;錯.首先 a,b所在直線不一定能確定平面,其次在平行六面體ABCD- A1B1C1D1中, 三向量共面,然而平面ABCD與平面 ABB1A1相交.,【題型示范】 類型一 空間向量的數(shù)乘運算 【典例1】 (1)(20

11、14上海高二檢測)已知正方體ABCD-ABCD中,點 E是AC的中點,點F是AE的三等分點,且AF= EF,則 等于 (),(2)已知ABCD為正方形，P是ABCD所在平面外一點，P在平面 ABCD上的射影恰好是正方形ABCD的中心O，Q是CD的中點， 若求式中x，y的值.,【解題探究】1.題(1)中向量如何用向量 與向量 表示？ 與 關(guān)系如何？ 2.題(2)中 你能確定哪些與向量 有關(guān)的三角形？ 【探究提示】1.利用平行四邊形法則 與 可利用線段間的長度比例關(guān)系建立聯(lián)系 2.解答本題需準確畫圖，有關(guān)的三角形是POQ，可得 對于PAC可得,【自主解答】(1)選D.由條件AF EF得EF2AF，

12、 所以AE=AF+EF=3AF, 所以,(2)如圖， 因為 所以xy,【延伸探究】在題(2)條件不變的情況下，若 求x，y的值. 【解析】因為O為AC的中點，Q為CD的中點， 所以 所以 從而有 所以x2，y2.,【方法技巧】利用數(shù)乘運算進行向量表示的技巧 (1)數(shù)形結(jié)合：利用數(shù)乘運算解題時，要結(jié)合具體圖形，利用三角形法則、平行四邊形法則，將目標向量轉(zhuǎn)化為已知向量 (2)明確目標：在化簡過程中要有目標意識，巧妙逆用中點坐標公式,【變式訓練】已知矩形ABCD，P為平面ABCD外一點，M，N分別 為BC，PD的中點，求滿足 的實數(shù)x，y， z的值.,【解析】 所以x1，y0，z,【補償訓練】(20

13、14石家莊高二檢測)已知點G是ABC的重 心，O是空間任意一點，若 求的值 【解題指南】構(gòu)造與向量 有關(guān)的三角形、平行四 邊形，利用向量加法、減法的運算法則及數(shù)乘運算求解.,【解析】連接CG并延長交AB于D， 則D為AB中點，且CG2GD，連接AG，BG. 所以 所以3.,類型二 共線向量 【典例2】 (1)(2014廣州高二檢測)已知空間向量a,b且 =a+2b, = -5a+6b,=7a-2b,則一定共線的三點是() A.A,B,DB.A,B,C C.B,C,DD.A,C,D,(2)如圖所示,在正方體ABCD-A1B1C1D1中,E在A1D1上,且 F在對角線A1C上,且 求證:E,F,B

14、三點共線.,【解題探究】1.題(1)中 用向量a，b如何表示？ 2.題(2)中的向量 與 分別用向量 表示， 其結(jié)果是什么樣的？ 【探究提示】1. =2a4b.,【自主解答】(1)選A. (5a6b)(7a2b) 2a4b 所以A，B，D三點共線 (2)設(shè) 因為 所以 所以,所以 又 所以 所以E，F(xiàn)，B三點共線,【方法技巧】 1.判斷向量共線的策略 (1)熟記共線向量充要條件：ab，b0，則存在惟一實數(shù)使ab；若存在惟一實數(shù)，使ab，則ab. (2)判斷向量共線的關(guān)鍵：找到實數(shù).,2.三點共線與直線平行的判斷 (1)線線平行：證明兩直線平行要先證明兩直線的方向向量a， b平行，還要證明直線上

15、有一點不在另一條直線上. (2)三點共線：證明三點A，B，C共線，只需證明存在實數(shù)， 使 或 即可,【變式訓練】如圖所示,已知四邊形ABCD,ABEF都是平行四邊形 且不共面,M,N分別是AC,BF的中點,判斷 與 是否共線.,【解析】因為M，N分別是AC，BF的中點， 四邊形ABCD，ABEF都是平行四邊形， 所以 所以 即 與 共線,【補償訓練】已知A，B，C三點共線，則對空間任一點O，存在 三個不為0的實數(shù)，m，n，使 0，那么 mn的值為_,【解析】因為A，B，C三點共線，所以存在惟一實數(shù)k使 即 所以(k1) 0， 又 令k1，m1，nk， 則mn0. 答案：0,類型三 共面向量 【

16、典例3】 (1)已知A，B，C三點不共線，O是平面ABC外任一點，若由 確定的一點P與A，B，C三點共面， 則_.,(2)在長方體ABCD-A1B1C1D1中,M為DD1的中點,N在AC上,且ANNC=21,求證: 與 共面.,【解題探究】1.空間一點P在平面ABC內(nèi)的充要條件是存在有 序?qū)崝?shù)組(x，y，z)，使得 其中x+y+z 的結(jié)果是多少？ 2.題(2)中要證明 與 共面，這三個向量需建立的 關(guān)系式是什么樣的？,【探究提示】1.結(jié)果為1. 2.要證明 與 共面，需用其中兩個向量表示另一個 向量. 【自主解答】(1)由P與A，B，C三點共面，所以 1， 解得 答案：,所以 所以 與 共面,

17、【方法技巧】 1.四點共面的證明及應(yīng)用 (1)利用共面向量的充要條件：空間一點P位于平面MAB內(nèi)的充 分必要條件是存在有序?qū)崝?shù)對(x，y)，使 滿足這個關(guān)系式的點P都在平面MAB內(nèi)；反之，平面MAB內(nèi)的任 一點P都滿足這個關(guān)系式這個充要條件常用以證明四點共面,(2)求參數(shù)：向量共面的充要條件的實質(zhì)是共面的四點中所形成的兩個不共線的向量一定可以表示其他向量，對于向量共面的充要條件，不僅會正用，也要能夠逆用它求參數(shù)的值 2.證明空間向量共面的兩種方法 (1)向量表示：設(shè)法證明其中一個向量可以表示成另兩個向量的線性組合，即若p=xa+yb，則向量p，a，b共面. (2)用平面：尋找一個平面，設(shè)法證明

18、這些向量與該平面平行.,【變式訓練】對于空間任一點O和不共線的三點A，B，C，有 則xyz1是P，A，B，C四點共面 的( ) A必要不充分條件 B充分不必要條件 C充要條件 D既不充分又不必要條件,【解題指南】先確定哪一部分是條件，哪一部分是結(jié)論，再 從兩個方面證明看是否成立. 【解析】選B.若xyz1，則 即 由共面向量充要條件可知向量 共面，所以P，A，B，C四點共面；反之，若P，A，B，C四點 共面，當O與四個點中的一個(比如A點)重合時， 0，x可 取任意值，不一定有xyz1.,【補償訓練】A，B，C不共線，對空間任意一點O，若 則P，A，B，C四點( ) A不共面 B共面 C不一定共面 D無法判斷是否共面,【解析】選B. 所以 所以 由共面的充要條件知P，A，B，C四點共面,【巧思妙解】巧用共面向量的充要條件證明共面(線面平行) 【典例】已知E,F,G,H分別是空間四邊形 ABCD的邊AB,BC,CD,DA的中點. (1)證明E,F,G,H四點共面. (2)證明BD平面EFGH.,【教你審題】,【常規(guī)解法】