數(shù)學(xué)物理方法期末復(fù)習(xí)ppt.ppt

1、教 材：,梁昆淼編寫的數(shù)學(xué)物理方法第四版,內(nèi) 容,第一篇 復(fù)變函數(shù)論,第二篇 數(shù)學(xué)物理方程,數(shù) 學(xué) 物 理 方 法,第一章 復(fù)變函數(shù),1、復(fù)數(shù)的定義,一、復(fù)數(shù),模：,輻角：,主輻角：,共軛復(fù)數(shù):,三角式,指數(shù)式,代數(shù)式,重點(diǎn)：復(fù)數(shù)三種表示式之間的轉(zhuǎn)換！,2、復(fù)數(shù)的運(yùn)算:,加、減、乘、除、乘方、開方,(1)、加法和減法,(2)、乘法和除法,(2)、乘法和除法,兩復(fù)數(shù)相除就是把模數(shù)相除, 輻角相減。,兩復(fù)數(shù)相乘就是把模數(shù)相乘, 輻角相加;,(3) 復(fù)數(shù)的乘方和開方（重點(diǎn)掌握）,復(fù)數(shù)的乘、除、乘方和開方運(yùn)算，采用三角式 或指數(shù)式往往比代數(shù)式來得方便。,棣莫弗公式：,二、六種初等復(fù)變函數(shù)：,1. 冪函

2、數(shù),4、雙曲函數(shù),5、根式函數(shù),周期為2i,6、對(duì)數(shù)函數(shù),例1：已知 ，則 。,例2：復(fù)數(shù)ez 的模為 ，輻角為 . 例3：已知 ，表示成指數(shù)形式為： 。 例4：已知 或 ，可以化簡(jiǎn)： 為： 或 。,三、解析函數(shù),2、解析函數(shù)性質(zhì)：,第五章 傅里葉變換,一、傅里葉級(jí)數(shù),1、周期函數(shù)(T=2l)的傅里葉展開,一般周期函數(shù)：,(5.1.3)、(5.1.5)；P69-70,奇函數(shù)：,(5.1.8)、(5.1.9)； P71,偶函數(shù)：,(5.1.10)、(5.1.11)；P71,傅里葉正弦級(jí)數(shù),傅里葉余弦級(jí)數(shù),傅里葉級(jí)數(shù),2、定義在有限區(qū)間(0,l)上的函數(shù)的傅里葉展開,對(duì)函數(shù)f(x)的邊界（區(qū)間的端

3、點(diǎn)x=0, x=l）上的行為提出 限制，即滿足一定的邊界條件，這常常就決定了如何延拓。,(1)、邊界條件為f(0)=0,f(l)=0,應(yīng)延拓成以2l為周期的奇函數(shù),(奇延拓),(2)、邊界條件為,應(yīng)延拓成以2l為周期的偶函數(shù),(偶延拓),(3)、邊界條件為,(4)、邊界條件為,又根據(jù)邊界條件f (l)=0 ，應(yīng)將函數(shù)f(x) 對(duì)區(qū)間(0,l)的端點(diǎn)x=l作奇延拓，,然后以4l為周期向整 個(gè)實(shí)軸延拓，延拓以后的函數(shù)是以4l為周期的偶函數(shù)。,根據(jù)邊界條件 應(yīng)將函數(shù)f(x)對(duì)區(qū)間(0,l)的端點(diǎn) x=0作偶延拓。,重點(diǎn)掌握： 及 在四種不同邊界條件下如何展開成傅 立葉級(jí)數(shù)！（下表格的內(nèi)容必須熟記?。?/p>

4、,定解問題,泛定方程,定解條件,初始條件:說明物理現(xiàn)象初始狀態(tài)的條件,邊界條件:說明邊界上的約束情況的條件,波動(dòng)方程,輸運(yùn)方程,穩(wěn)定場(chǎng)方程,第七章 數(shù)學(xué)物理定解問題,銜接條件,（必須掌握）,初始條件：,給出某一初始時(shí)刻整個(gè)系統(tǒng)的已知狀態(tài)。 P122,例：P122 圖7-8,(1)、桿或弦兩端固定,常見的邊界條件：,邊界條件：,給出系統(tǒng)的邊界在各個(gè)時(shí)刻的已知狀態(tài)。,(2)、桿兩端自由,(3)、桿的兩端保持恒溫T,(4)、兩端絕熱,(5)、兩端有熱流強(qiáng)度為f(t)的熱流流出,l,f(t),f(t),在x=0端:,在x=l端:,同理得，兩端有熱流強(qiáng)度為f(t)的熱流流入，則,重點(diǎn)掌握：P128 習(xí)題

5、1、2、3,數(shù)學(xué)物理定解問題的適定性:,(1) 解的存在性,看所歸結(jié)出來的定解問題是否有解；,(2) 解的唯一性,看是否只有一個(gè)解,(3) 解的穩(wěn)定性,當(dāng)定解問題的自由項(xiàng)或定解條件有微小變化時(shí)， 解是否相應(yīng)地只有微小的變化量,定解問題解的存在性、唯一性和穩(wěn)定性統(tǒng)稱為定解問題的適定性.,注：對(duì)于均勻弦或均勻桿的振動(dòng)問題，要表示為定解問題，需要寫出相應(yīng)的波動(dòng)方程、初始條件以及邊界條件?。ǔ跏紬l件有2個(gè)） 對(duì)于熱傳導(dǎo)以及濃度分布的擴(kuò)散問題，要表示為定解問題，需要寫出相應(yīng)的輸運(yùn)方程、初始條件以及邊界條件！ （初始條件只有1個(gè)）,解定解問題三步曲：,（1）寫出正確的定解問題；,（2）邊界條件齊次化；,（

6、3）求解傅氏級(jí)數(shù)法或分離變數(shù)法.,第八章 分離變數(shù)法,分離變數(shù)法,齊次的振動(dòng)方程和輸運(yùn)方程,齊次的邊界條件,傅里葉級(jí)數(shù)法,齊次或非齊次的振動(dòng)方程和輸運(yùn)方程,齊次的邊界條件,一、分離變數(shù)法解題步驟,(1) 對(duì)齊次方程和齊次邊界條件分離變量；,(2) 解關(guān)于空間因子的常微分方程的本征值問題；,(3)求其它常微分方程的解，與本征函數(shù)相乘，得到本征解。,(4) 迭加所有本征解，由初始條件或非齊次邊界條件 確定迭加系數(shù)，最后得到所求定解問題的解。 注：熟練掌握波動(dòng)方程和輸運(yùn)方程在不同齊次邊界條件下分離變數(shù)得到的本征值問題，相應(yīng)的本征值和本征函數(shù)必須熟記！波動(dòng)方程、輸運(yùn)方程在不同邊界條件下的一般解以及二維

7、拉普拉斯方程的一般解也必須熟記！P160 習(xí)題1、7、16,例1：用分離變數(shù)法求定解問題,先以分離變數(shù)形式的試探解,解：,代入泛定方程(1)和邊界條件(2)，得,(1),(2),(3),本征值問題,本征值：,本征函數(shù)：,其通解為,相應(yīng)的本征解,一般解是所有本征解的線性迭加，,(4),一般解是所有本征解的線性迭加，,代入初始條件，,(4),例2：用分離變數(shù)法求定解問題,(1),(2),(3),先以分離變數(shù)形式的試探解,解：,代入泛定方程(1)和邊界條件(2)，得,本征值問題,本征值：,本征函數(shù)：,其通解為,相應(yīng)的本征解,一般解是所有本征解的線性迭加，,代入初始條件，,所求的定解問題的解為：,運(yùn)用

8、傅氏級(jí)數(shù)法求定解問題，要注意在不同 齊次邊界條件下，所求定解問題的解展開為不同形 式的傅里葉級(jí)數(shù)，,二、傅里葉級(jí)數(shù)法,三、熟練掌握如何把非齊次邊界條件齊次化：,引入輔助函數(shù)v(x,t)，令u(x,t)=v(x,t)+w(x,t)，使v(x,t) 滿足非齊次邊界條件，可將函數(shù)u(x,t)滿足的非齊次 邊界條件的定解問題變換為函數(shù)w(x,t)滿足的齊次邊 界條件的定解問題。,P173 8.3.4,可設(shè),可將w(x,t)的邊界條件齊次化,(3)、若是第一、二類非齊次邊界條件,或,可設(shè),可將w(x,t)的邊界條件齊次化。,(2)、若是第二類非齊次邊界條件,P173 8.3.10,(4)、特殊處理方法

9、取特殊的v(x,t)，令u(x,t)=v(x,t)+w(x,t)， 使得w(x,t)的邊界條件齊次化，同時(shí)關(guān)于w(x,t) 的泛定方程也變成齊次方程！ 重點(diǎn)掌握：補(bǔ)充例題、P175習(xí)題1、4,第九章 二階常微分方程級(jí)數(shù)解法本征值問題,一、球坐標(biāo)系中的拉普拉斯方程,熟練掌握將上式分離為三個(gè)常微分方程的方法，并能寫出各自的通解?。▍^(qū)別連帶勒讓德方程和勒讓德方程）,二、球坐標(biāo)系中的拉普拉斯方程,熟練掌握將上式分離為三個(gè)常微分方程的方法，并能寫出各自的通解！ （區(qū)別貝塞爾方程和虛宗量貝塞爾方程）,1、掌握勒讓德方程本征值問題的解及其性質(zhì),(1) l階勒讓德方程與自然邊界條件構(gòu)成本征值問題,(自然邊界條

10、件),本征值問題,本征值是l (l+1),本征函數(shù)則是l階勒讓德多項(xiàng)式Pl(x)勒讓德方程的解。 （注：熟記幾個(gè)特殊值?。?第十章 球函數(shù),(2)勒讓德多項(xiàng)式的性質(zhì),1)、正交性,不同階的勒讓德多項(xiàng)式在區(qū)間(-1, 1)上正交，,2)、勒讓德多項(xiàng)式的模,3)、勒讓德多項(xiàng)式的全體構(gòu)成完備組,如何將一個(gè)定義在x的區(qū)間-1, 1上的函數(shù)f(x)展開成 廣義傅里葉級(jí)數(shù)：,一般公式：,展開系數(shù),待定系數(shù)法（熟練掌握 的展開方法）,僅適用于f(x)是關(guān)于x的次冪的多項(xiàng)式,(3)勒讓德多項(xiàng)式的母函數(shù),母函數(shù),以半徑為R的球代替單位球，則,2、掌握關(guān)于極軸對(duì)稱拉氏方程在球坐標(biāo)系下的解：,關(guān)于軸對(duì)稱的拉氏方程的定解問題的通解為,對(duì)球內(nèi)軸對(duì)稱問題,自然邊界條件：,取Bl=0，,應(yīng)排除 ,例1、,解：,邊界條件與無關(guān)，以球坐標(biāo)的極軸為對(duì)稱軸。,此定解問題是軸對(duì)稱情況下的球內(nèi)問題，故,代入邊界條件,P231例3,左邊是廣義的傅里葉級(jí)數(shù)，所以用待定系數(shù)法將右 邊函數(shù)x2展開為廣義的傅里葉級(jí)數(shù)，,比較左右兩端，得,解得，,比較左右兩邊系數(shù)，得,3、掌握連帶勒讓德方程本