第4講 復(fù)頻域分析.ppt

1、第4章 連續(xù)系統(tǒng)的復(fù)頻域分析,4.0 引言 拉氏變換的變換域是復(fù)頻域； 復(fù)頻域分析法是把信號(hào)分解成est的加權(quán)和，s=+jw,引入衰減因子，從而把頻域中不滿足絕對(duì)可積的信號(hào)變的可以分解。 例如，信號(hào)et(t)(0)的傅里葉變換不存在。若給信號(hào)et(t)乘以信號(hào)e-t()，得到信號(hào)e-(-)t(t)。信號(hào)e-(-)t(t)滿足絕對(duì)可積條件，因此其傅里葉變換存在。,4.1 拉普拉斯變換,4.1.1 從傅里葉變換到拉普拉斯變換,設(shè)有信號(hào)f(t)e-t(為實(shí)數(shù))，并且能選擇適當(dāng)?shù)氖筬(t)e-t絕對(duì)可積，則該信號(hào)的傅里葉變換存在。 若用F(+j)表示該信號(hào)的傅里葉變換，根據(jù)傅里葉變換的定義， 則有,上

2、式兩邊乘以et，得,4.1.2 雙邊拉普拉斯變換的收斂域,任一信號(hào)f(t)的雙邊拉普拉斯變換不一定存在。由于f(t)的雙邊拉普拉斯變換是信號(hào)f(t)e-t的傅里葉變換，因此，若f(t)e-t絕對(duì)可積，即,結(jié)論： 1、收斂域是指使f(t)的LT存在的s的取值范圍； 2、收斂域取決于衰減因子，即LT的收斂域是平行于虛軸的直線。,例題1：,結(jié)論： 1、兩個(gè)不同的時(shí)域信號(hào)，可能有相同的LT表達(dá)式所不同的是收斂域不同。因此，求一個(gè)信號(hào)的LT時(shí)，一定要指明收斂域； 2、 LT表達(dá)式相同，收斂域必不同；收斂域相同， LT表達(dá)式必不同； 3、因果信號(hào)的LT的ROC一般有Re(s)a;而反因果信號(hào)的ROC一般有

3、Re(s)a;,推論1：如果一個(gè)信號(hào)為“有限時(shí)間區(qū)間信號(hào)”(time-duration signal)或“有始有終信號(hào)”，即當(dāng)tt2時(shí)f(t)=0,則該信號(hào)的雙邊LT的ROC為整個(gè)s平面。,例 4.1 - 1 求時(shí)限信號(hào)f1(t)=(t)-(t-)的雙邊拉氏變換及其收斂域。式中，0。,例 4.1 - 2 求因果信號(hào)f2(t)=e-t(t)(0)的雙邊拉氏變換及其收斂域。,解 設(shè)f2(t)的雙邊拉氏變換為F2(s), 則,推論2：如果一個(gè)信號(hào)為“右邊信號(hào)”或“有始無(wú)終信號(hào)”則ROC:Re(s)a.,例 4.1-3 求反因果信號(hào)f3(t)=-e-t(-t)(0)的雙邊拉氏變換及其收斂域。,推論3：

4、如果一個(gè)信號(hào)為“左邊信號(hào)”，或“有終無(wú)始信號(hào)”則ROC:Re(s)a.,推論4：如果一個(gè)信號(hào)為“無(wú)始無(wú)終信號(hào)”或“雙邊信號(hào)”，則aRe(s)b,當(dāng)然a.b可能為無(wú)窮大.,圖 4.1-1 雙邊拉氏變換的收斂域 (a) F2(s)的收斂域； (b) F3(s)的收斂域； (c) F4(s)的收斂域,雙邊拉普拉斯變換的收斂域比較復(fù)雜， 并且信號(hào)與其雙邊拉普拉斯變換不一一對(duì)應(yīng)，這就使其應(yīng)用受到限制。 實(shí)際中的信號(hào)都是有起始時(shí)刻的(tt0時(shí)f(t)=0)，若起始時(shí)刻t0=0, 則f(t)為因果信號(hào)。因果信號(hào)的雙邊拉普拉斯變換的積分下限為“0”，該變換稱為單邊拉普拉斯變換。單邊拉普拉斯變換收斂域簡(jiǎn)單，計(jì)算

5、方便，線性連續(xù)系統(tǒng)的復(fù)頻域分析主要使用單邊拉普拉斯變換。,4.1.3 單邊拉普拉斯變換,信號(hào)f(t)的單邊拉普拉斯變換和單邊拉普拉斯逆變換(或反變換)分別為,特點(diǎn)： 1、如果f(t)中包括有沖激信號(hào)及其各節(jié)導(dǎo)數(shù)，則積分下限為0-，否則，可以為0或0+； 2、單邊LT相當(dāng)于雙邊LT的積分函數(shù)為右邊信號(hào)，故Re(s)； 3、不同信號(hào)的單邊LT的ROC，必有重疊部分，因此它們的單邊LT必不相同。故信號(hào)f(t)與單邊LT一一對(duì)應(yīng)； 4、單邊LT可以由雙邊LT表示，單邊f(xié)(t)=雙邊f(xié)(t)(t)； 5、因果信號(hào)的單邊LT和雙邊LT相同；,4.1.4 常用信號(hào)的單邊拉普拉斯變換,4.2 單邊拉普拉斯變換

6、的性質(zhì),1. 線性,例題：求單邊正弦和單邊余弦信號(hào)的LT。,2. 時(shí)移性,3. 復(fù)頻移,例 4.2-3 f1(t)=cos(0t)(t), f2(t)=sin(0t)(t)，求f1(t)和f2(t)的象函數(shù)。,例 4.2-4,4. 尺度變換,若,則,式中， 為常數(shù)，,證,例 4.2-5 已知,求f1(t)的象函數(shù)。,解 因?yàn)?5. 時(shí)域卷積,證 根據(jù)信號(hào)卷積的定義，并且f1(t)和f2(t)是因果信號(hào)，則,例 4.2-6 已知圖 4.2-1(a)所示信號(hào)f(t)與圖(b)所示信號(hào)f(t)的關(guān)系為f(t)=f(t)*f(t)，求f(t)的單邊拉氏變換。,圖 4.2-1 例 4.2-6 圖 (a)

7、 f(t)的波形； (b) f(t)的波形,6. 時(shí)域微分,式中，f(1)(t)、f(2)(t)、f(n)(t)分別表示f(t)的一次、二次、n次導(dǎo)數(shù)， f(0-)、f(1)(0-)、f(i)(0-)分別表示f(t)、f(1)(t)、f(i)(t)在t=0-時(shí)的值。,證 先證明式(4.2-9)和式(4.2-10)。根據(jù)單邊拉普拉斯變換的定義， 則有,反復(fù)應(yīng)用式(4.2 - 9)，就可得到f(n)(t)的單邊拉普拉斯變換如式(4.2 - 11)所示。f(1)(t)的單邊拉普拉斯變換的收斂域至少是Res0。若F(s)在s=0處有一階極點(diǎn)，則sF(s)中的這種極點(diǎn)被消去，f(1)(t)的單邊拉普拉斯

8、變換的收斂域可能擴(kuò)大。f(n)(t)的單邊拉普拉斯變換的收斂域也有類似情況。 若f(t)為因果信號(hào)，則f(n)(0-)=0 (n=1, 2, ), 此時(shí)，時(shí)域微分性質(zhì)表示為,n=1, 2, ；Res0,例 4.2-7 求f1(t)和f2(t)的單邊拉氏變換。,解,(1) 求f1(t)的單邊拉氏變換。由于,故根據(jù)線性得,若應(yīng)用時(shí)域微分性質(zhì)求解，則有,(2) 求f2(t)的單邊拉氏變換。由于,因此得,7. 時(shí)域積分,若f(t) F(s)，Res0, 則有：,若f(-n)(t)表示從-到t對(duì)f(t)的n重積分，則有,(4.2-12),(4.2-13),證明式(4.2-12)： 因?yàn)?根據(jù)時(shí)域卷積性質(zhì)

9、，則,因?yàn)?證明式(4.2-13): 因?yàn)?單邊拉普拉斯變換為,根據(jù)線性得,若f(t)是因果信號(hào)，f(n)(t)是f(t)的n次導(dǎo)數(shù)，則f(t)等于f(n)(t)從0-到t的n重積分。若f(n)(t)的單邊拉普拉斯變換用Fn(s)表示，根據(jù)時(shí)域積分性質(zhì)式(4.2 - 12)，則f(t)的單邊拉氏變換為,若f(t)為非因果信號(hào)，則Lf(t)=Lf(t)(t)。因此，若f(t)(t)的n次導(dǎo)數(shù) 的單邊拉普拉斯變換用Fn(s)表示，則f(t)的單邊拉普拉斯變換F(s)也可由式(4.2 - 17)得到。,非因果信號(hào)f(t)的單邊拉普拉斯變換也可根據(jù)式(4.2-13)求解。 若f(t)在t=-的值f(-

10、)=0，f (1)(t)是f(t)的一階導(dǎo)數(shù)，則,t-,若f(1)(t)的單邊拉普拉斯變換用F1(s)表示，則f(t)的單邊拉普拉斯變換為,若f(-)0，則,t-,對(duì)于t0-，有,則f(t)的單邊拉普拉斯變換為,例 4.2-8 求圖 4.2-2(a)所示因果信號(hào)f(t)的單邊拉氏變換。,解 f(t)的二階導(dǎo)數(shù)為,由于(t) 1, 由時(shí)移和線性性質(zhì)得,由時(shí)域積分性質(zhì),圖 4.2-2 例 4.2-8 圖 (a) f(t)的波形； (b) f(t)的波形； (c) f(t)的波形,例 4.2-9 求圖 4.2-3(a)所示信號(hào)f(t)的單邊拉普拉斯變換。,解 方法一 由于,根據(jù)單邊拉氏變換的定義，

11、得,圖 4.2-3 例 4.2-9 圖,方法二 f(0-)=-1，f(t)的一階導(dǎo)數(shù)為,f(1)(t)的單邊拉氏變換為,Res-,Res0,8. 復(fù)頻域微分,若f(t) F(s), Res0， 則有,Res0,n=1, 2, ; Res0,證 根據(jù)單邊拉普拉斯變換的定義,Res0,例 4.2-10 求f(t)=tn(t)的單邊拉氏變換。,解 由于,Res0，根據(jù)式(4.2 - 21)，得,Res0,于是得,Res0,由于t2(t)=(-t)(-t)(t)，,Res0,重復(fù)應(yīng)用以上方法可以得到,Res0,9. 復(fù)頻域積分,若f(t) F(s)，Res0，則有,式中， 存在， 的單邊拉普拉斯變換的

12、收斂域?yàn)镽es0和Res0的公共部分。,證 根據(jù)單邊拉普拉斯變換的定義,Res0,對(duì)上式兩邊從s到積分，并交換積分次序得,因?yàn)閠0, 所以上式方括號(hào)中的積分 在Res0時(shí)收斂。因此得,例 4.2-11,求f(t)的單邊拉氏變換。,解 由于,根據(jù)復(fù)頻域積分性質(zhì)，得,10. 初值和終值定理,(1) 初值定理 若信號(hào)f(t)不包含沖激函數(shù)(t)及其各階導(dǎo)數(shù)， 并且,Res0,則信號(hào)f(t)的初值為,(2) 終值定理 若f(t)在t時(shí)極限f()存在，并且 f(t) F(s) Res0; -00 則f(t)的終值為,例 4.2-12,解 由于cos t(t) ，根據(jù)復(fù)頻移性質(zhì)， 則有,由初值定理得,由終

13、值定理得,表 4.1 單邊拉普拉斯變換的性質(zhì),表 4.2 常用信號(hào)的單邊拉普拉斯變換,4.3 單邊拉普拉斯逆變換,4.3.1 查表法,例4.3-1 已知 ，求F(s)的原函數(shù)f(t)。 解 F(s)可以表示為,由附錄F查得編號(hào)為15的象函數(shù)與本例中F(s)的形式相同。編號(hào)15的變換對(duì)為,與本例中F(s)的表示式對(duì)比，則b1=1, b0=1，=2，代入變換對(duì)得,4.3.2 部分分式展開(kāi)法,若F(s)為s的有理分式，則可表示為,式中，ai(i=0, 1, 2, , n-1)、bi(i=0, 1, 2, , m)均為實(shí)數(shù)。若mn, 則 為假分式。若mn，則 為真分式。,式中，ci(i=0, 1, 2

14、, , n-1)為實(shí)數(shù)。N(s)為有理多項(xiàng)式，其逆變換為沖激函數(shù)及其一階到m-n階導(dǎo)數(shù)之和。 為有理真分式，可展開(kāi)為部分分式后求逆變換。例如，,若F(s)為假分式，可用多項(xiàng)式除法將F(s)分解為有理多項(xiàng)式與有理真分式之和， 即,則,若 為有理真分式， 可直接展開(kāi)為部分分式后求逆變換。要把F(s)展開(kāi)為部分分式，必須先求出A(s)=0的根。因?yàn)锳(s)為s的n次多項(xiàng)式，所以A(s)=0有n個(gè)根si(i=1, 2, , n)。si可能為單根，也可能為重根；可能為實(shí)根，也可能為復(fù)根。si又稱為F(s)的極點(diǎn)。F(s)展開(kāi)為部分分式的具體形式取決于si的上述性質(zhì)。,1. F(s)僅有單極點(diǎn) 若A(s)

15、=0僅有n個(gè)單根si(i=1, 2, , n)，則根據(jù)附錄A中式(A-2)，無(wú)論si是實(shí)根還是復(fù)根，都可將F(s)展開(kāi)為,式中，各部分分式項(xiàng)的系數(shù)Ki為,故F(s)的單邊拉普拉斯逆變換可表示為,由于,例 4.3-2 已知 ，求F(s)的單邊拉氏逆變換(原函數(shù))f(t)。,解 F(s)的分母多項(xiàng)式A(s)=0的兩個(gè)根分別為s1=-2, s2=-3。因此，F(xiàn)(s)的部分分式展開(kāi)式為,所以,于是得,2. F(s)有重極點(diǎn) 若A(s)=0在s=s1處有r重根，而其余(n-r)個(gè)根sj(j=r+1, ，n)，這些根的值是實(shí)數(shù)或復(fù)數(shù)，則由附錄A中式(A-8)和(A-11)可得,式中：,先求F1(s)的逆變

16、換，因?yàn)?由復(fù)頻移性質(zhì)，可得,F(s)的單邊拉普拉斯逆變換為,例 4.3-3 已知求 F(s)的單邊拉氏逆變換。,解 F(s)有二重極點(diǎn)s=-1和單極點(diǎn)s=-3。因此，F(xiàn)(s)可展開(kāi)為,于是得,3. F(s)有復(fù)極點(diǎn),如果A(s)=0的復(fù)根為s1,2=-j，則F(s)可展開(kāi)為,式中，K2=K*1。 令K1=|K1|ej, 則有,由復(fù)頻移和線性性質(zhì)得F(s)的原函數(shù)為,對(duì)于F(s)的一對(duì)共軛復(fù)極點(diǎn)s1=-+j和s2=-j，只需要計(jì)算出系數(shù)K1=|K1|ej(與s1對(duì)應(yīng))，然后把|K1|、代入式(4.3 - 8)， 就可得到這一對(duì)共軛復(fù)極點(diǎn)對(duì)應(yīng)的部分分式的原函數(shù)。,如果F(s)有復(fù)重極點(diǎn)，那么相應(yīng)

17、的部分分式也呈現(xiàn)與復(fù)單極點(diǎn)類似的特點(diǎn)。以A(s)=0的根為二重共軛復(fù)根s1,2=-j為例， 其F(s)可展開(kāi)為,式中：,根據(jù)復(fù)頻移和線性性質(zhì)，求得F(s)的原函數(shù)為,例 4.3-4,已知,求F(s)的單邊拉氏逆變換f(t)。,解 F(s)可以表示為,F(s)有一對(duì)共軛單極點(diǎn)s1,2=-2j2, 可展開(kāi)為,于是得,于是得,例 4.3-5 已知 ，求F(s)的單邊拉氏逆變換。,解 F(s)不是有理分式，但F(s)可以表示為,式中，F(xiàn)1（s）,由線性和常用變換對(duì)得到,由時(shí)移性質(zhì)得,例 4.3-6,已知單邊拉氏變換,求F(s)的原函數(shù)f(t)。,解 F(s)為有理分式，可用部分分式法求f(t)。但F(

18、s)又可表示為,因?yàn)?， 根據(jù)復(fù)頻域微分性質(zhì)，,則F(s)的原函數(shù)為,例 4.3-7 已知,求F(s)的單邊拉氏逆變換。,解 F(s)不是有理分式，不能展開(kāi)為部分分式。F(s)可以表示為,對(duì)于從t=0-起始的周期性沖激序列 其單邊拉氏變換為,由于,因此，根據(jù)時(shí)域卷積性質(zhì)得,于是得,例4.3-7 中f(t)與F(s)的對(duì)應(yīng)關(guān)系可以推廣應(yīng)用到一般從t=0-起始的周期信號(hào)。設(shè)f(t)為從t=0-起始的周期信號(hào)，周期為T，f1(t)為f(t)的第一周期內(nèi)的信號(hào)。 f(t)和f1(t)如圖4.3-1(a)、(b)所示。 f(t)可以表示為,令f1(t) F1(s), f(t) F(s), 則有,Res0

19、,圖 4.3-1 因果周期信號(hào),4.4 連續(xù)系統(tǒng)的復(fù)頻域分析,4.4.1 連續(xù)信號(hào)的復(fù)頻域分解,根據(jù)單邊拉普拉斯逆變換的定義，若信號(hào)f(t)的單邊拉普拉斯變換為F(s)， 則信號(hào)f(t)可以表示為,4.4.2 基本信號(hào)est激勵(lì)下的零狀態(tài)響應(yīng) 若線性時(shí)不變連續(xù)系統(tǒng)(LTI)的輸入為f(t), 零狀態(tài)響應(yīng)為yf(t)，沖激響應(yīng)為h(t)，由連續(xù)系統(tǒng)的時(shí)域分析可知:,若系統(tǒng)的輸入為基本信號(hào)，即f(t)=est,則,若h(t)為因果函數(shù)，則有,式中：,即，H（s）是沖激響應(yīng)h(t)的單邊拉普拉斯變換，稱為線性邊續(xù)系統(tǒng)的系統(tǒng)函數(shù)，est稱為系統(tǒng)的特征函數(shù)。,4.4.3 一般信號(hào)f(t)激勵(lì)下的零狀態(tài)響

20、應(yīng),系統(tǒng)的零狀態(tài)響應(yīng)可按以下步驟求解： (1) 求系統(tǒng)輸入f(t)的單邊拉普拉斯變換F(s); (2) 求系統(tǒng)函數(shù)H(s); (3) 求零狀態(tài)響應(yīng)的單邊拉普拉斯變換Yf(s)，Yf(s)=H(s)F(s); (4) 求Yf(s)的單邊拉普拉斯逆變換yf(t)；,例 4.4-1 已知線性連續(xù)系統(tǒng)的輸入為f1(t)=e-t(t)時(shí)，零狀態(tài)響應(yīng)yf1(t)=(e-t-e-2t)(t)。若輸入為f2(t)=t(t)，求系統(tǒng)的零狀態(tài)響應(yīng)yf2(t)。,f2(t)的單邊拉氏變換為,yf2(t)的單邊拉氏變換為,于是得,4.5 系統(tǒng)微分方程的復(fù)頻域解,設(shè)二階連續(xù)系統(tǒng)的微分方程為,式中，a0、a1和b0、b1

21、、b2為實(shí)常數(shù)；f(t)為因果信號(hào)，因此，f(0-)、f(0-)均為零。設(shè)初始時(shí)刻t0=0, y(t)的單邊拉普拉斯變換為Y(s)，對(duì)式(4.5-1)兩端取單邊拉普拉斯變換， 根據(jù)時(shí)域微分性質(zhì)，得,分別令,對(duì)式(4.5-4)取單邊拉普拉斯逆變換，就得到系統(tǒng)的完全響應(yīng)y(t)、零輸入響應(yīng)yx(t)和零狀態(tài)響應(yīng)yf(t)， 即,由于Yf(s)=H(s)F(s), 則二階系統(tǒng)的系統(tǒng)函數(shù)為,設(shè)n階邊續(xù)系統(tǒng)的微分方程為,n階系統(tǒng)的微分方程為,關(guān)于響應(yīng)的初始值需注意以下問(wèn)題：,于是得,（1）對(duì)于n階線性連續(xù)系統(tǒng)，由于yx(t)+yf(t), 因此有,（2）對(duì)于n階線性連續(xù)因果系統(tǒng)，若在t0時(shí)yx(t)滿足

22、的微分方程相同，則,對(duì)于因果系統(tǒng)，若輸入f(t)為因果信號(hào)，則 一般不等于零，因此得,例 4.5-1 已知線性系統(tǒng)的微分方程為,求系統(tǒng)的零輸入響應(yīng)yx(t)、零狀態(tài)響應(yīng)yf(t)和完全響應(yīng)y(t)。,f(t)的單邊拉氏變換為,解 方法 1 根據(jù)單邊拉氏變換的時(shí)域微分性質(zhì)，對(duì)系統(tǒng)微分方程取單邊拉氏變換，得,求Y(s)、Yx(s)、Yf(s)的單邊拉氏逆變換，得,方法 2 分別根據(jù)yx(t)和yf(t)滿足的微分方程求yx(t)和yf(t)。yx(t)滿足的微分方程為,由于f(t)為因果信號(hào)，所以f(0-)=0，yf(0-)=yf(0-)=0。,yf(t)滿足的微分方程為,yx(t)的初始條件yx

23、(0-)=y(0-)、yx(0-)=y(0-)。,4.6 RLC系統(tǒng)的復(fù)頻域分析,4.6.1 KCL、KVL的復(fù)頻域形式,KCL和KVL的時(shí)域形式分別為,設(shè)RLC系統(tǒng)(電路)中支路電流i(t)和支路電壓u(t)的單邊拉普拉斯變換分別為I(s)和U(s)，對(duì)式(4.6 - 1)取單邊拉普拉斯變換，根據(jù)線性性質(zhì)， 得到,4.6.2 系統(tǒng)元件的復(fù)頻域模型,1. 電阻元件(R) 設(shè)線性時(shí)不變電阻R上電壓u(t)和電流i(t)的參考方向關(guān)聯(lián)， 則R上電流和電壓關(guān)系(VAR)的時(shí)域形式為,電阻R的時(shí)域模型如圖 4.6-1(a)所示。設(shè)u(t)和i(t)的象函數(shù)分別為U(s)和I(s)，對(duì)式(4.6-3)取

24、單邊拉普拉斯變換， 得,圖 4.6-1 R的時(shí)域和S域模型 (a) 時(shí)域模型； (b) S域模型,2. 電感元件(L) 設(shè)線性時(shí)不變電感L上電壓u(t)和電流i(t)的參考方向關(guān)聯(lián)， 則電感元件VAR的時(shí)域形式為,(4.6-5),圖 4.6-2 電感L的時(shí)域和零狀態(tài)S域模型 (a) 時(shí)域模型； (b) 零狀態(tài)S域模型,電感L的時(shí)域模型如圖4.6-2(a)所示。設(shè)i(t)的初始值i(0-)=0(零狀態(tài))，u(t)和i(t)的單邊拉普拉斯變換分別為U(s)和I(s)， 對(duì)式(4.6-5)取單邊拉普拉斯變換，根據(jù)時(shí)域微分、積分性質(zhì)， 得,若電感L的電流i(t)的初始值i(0-)不等于零，對(duì)式(4.6

25、-5)取單邊拉普拉斯變換，可得,圖 4.6-3 電感元件的非零狀態(tài)S域模型 (a) 串聯(lián)模型； (b) 并聯(lián)模型,3. 電容元件(C) 設(shè)線性時(shí)不變電容元件C上電壓u(t)和電流i(t)的參考方向關(guān)聯(lián)， 則電容元件VAR的時(shí)域形式為,電容元件的時(shí)域模型如圖 4.6-4(a)所示。若u(t)的初始值u(0-)=0(零狀態(tài))，u(t)和i(t)的單邊拉普拉斯變換分別為U(s)和I(s)， 對(duì)式(4.6-9)取單邊拉普拉斯變換，得,若電容元件C上電壓u(t)的初始值u(0-)不等于零，對(duì)式(4.6-9)取單邊拉普拉斯變換， 得,圖 4.6-4 電容元件的時(shí)域和零狀態(tài)S域模型 (a) 時(shí)域模型； (b

26、) 零狀態(tài)S域模型,圖 4.6-5 電容元件的非零狀態(tài)S域模型 (a) 串聯(lián)模型； (b) 并聯(lián)模型,4.6.3 RLC系統(tǒng)的復(fù)頻域模型及分析方法,例4.6-1 圖 4.6-6(a)所示RLC系統(tǒng)，us1(t)=2V, us2(t)=4V, R1=R2=1，L=1H，C=1。t0時(shí)電路已達(dá)穩(wěn)態(tài)，t=0時(shí)開(kāi)關(guān)S由位置1接到位置2。求t0時(shí)的完全響應(yīng)iL(t)、零輸入響應(yīng)iLx(t)和零狀態(tài)響應(yīng)iLf(t)。,解 (1) 求完全響應(yīng)iL(t)：,圖 4.6-6 例 4.6-1 圖,則S域的網(wǎng)孔方程為,式中， ， 把Us2(s)及各元件的值代入網(wǎng)孔方程， 解網(wǎng)孔方程得,求IL(s)的單邊拉氏逆變換，

27、得,(2) 求零輸入響應(yīng)iLx(t)：設(shè)零輸入響應(yīng)iLx(t)的單邊拉氏變換為ILx(s)，網(wǎng)孔電流的象函數(shù)分別為I1x(s)和I2x(s)，如圖 4.6 - 6(c)所示。列網(wǎng)孔方程，得,把各元件的值及uC(0-)和iL(0-)的值代入網(wǎng)孔方程，,(3) 求零狀態(tài)響應(yīng)iLf(t)：,對(duì)圖 4.6 - 1(b)所示電路模型，令iL(0-)=0、uC(0-)=0，得到開(kāi)關(guān)S在位置2時(shí)零狀態(tài)響應(yīng)的S域電路模型，如圖 4.6 -6(d)所示。設(shè)零狀態(tài)響應(yīng)ILf(t)的單邊拉氏變換為ILf(s)，可應(yīng)用網(wǎng)孔分析法求ILf(s)， 然后求ILf(s)的逆變換得到iLf(t)。此外，也可以根據(jù)S域電路模型

28、求出系統(tǒng)函數(shù)H(s)，然后通過(guò)H(s)求ILf(s)和iLf(t)。令ab端的輸入運(yùn)算阻抗為Z(s)，則有,于是得,把Z(s)的表示式代入上式得到H(s)為,因此得,求ILf(s)的單邊拉氏逆變換， 得,4.7 連續(xù)系統(tǒng)的表示和模擬,4.7.1 連續(xù)系統(tǒng)的方框圖表示,圖 4.7-1 系統(tǒng)的方框圖表示,一個(gè)連續(xù)系統(tǒng)可以用一個(gè)矩形方框圖簡(jiǎn)單地表示，如圖 4.7-1 所示。 方框圖左邊的有向線段表示系統(tǒng)的輸入f(t)，右邊的有向線段表示系統(tǒng)的輸出y(t)，方框表示聯(lián)系輸入和輸出的其他部分， 是系統(tǒng)的主體。此外，幾個(gè)系統(tǒng)的組合連接又可構(gòu)成一個(gè)復(fù)雜系統(tǒng)，稱為復(fù)合系統(tǒng)。組成復(fù)合系統(tǒng)的每一個(gè)系統(tǒng)又稱為子系統(tǒng)

29、。系統(tǒng)的組合連接方式有串聯(lián)、并聯(lián)及這兩種方式的混合連接。此外，連續(xù)系統(tǒng)也可以用一些輸入輸出關(guān)系簡(jiǎn)單的基本單元(子系統(tǒng))連接起來(lái)表示。這些基本單元有加法器、數(shù)乘器(放大器)、 積分器等。,1. 連續(xù)系統(tǒng)的串聯(lián),圖 4.7-2 連續(xù)系統(tǒng)的串聯(lián) (a) 時(shí)域形式； (b) 復(fù)頻域形式,設(shè)復(fù)合系統(tǒng)的沖激響應(yīng)為h(t)，根據(jù)線性連續(xù)系統(tǒng)時(shí)域分析的結(jié)論， h(t)與hi(t)的關(guān)系為,若h(t)和hi(t)為因果函數(shù)，h(t)的單邊拉普拉斯變換即系統(tǒng)函數(shù)為H(s)，根據(jù)單邊拉普拉斯變換的時(shí)域卷積性質(zhì)，H(s)與Hi(s)的關(guān)系為,2. 連續(xù)系統(tǒng)的并聯(lián),圖 4.7-3 連續(xù)系統(tǒng)的并聯(lián) (a) 時(shí)域形式； (

30、b) 復(fù)頻域形式,復(fù)合系統(tǒng)的沖激響應(yīng)h(t)與子系統(tǒng)沖激響應(yīng)hi(t)之間的關(guān)系為,h(t)的單邊拉普拉斯變換，即系統(tǒng)函數(shù)H(s)與hi(t)的單邊拉普拉斯變換Hi(s)之間的關(guān)系為,例 4.7-1 某線性連續(xù)系統(tǒng)如圖 4.7-4 所示。 其中，h1(t)=(t), h2(t)=(t-1), h3(t)=(t-3)。 (1) 試求系統(tǒng)的沖激響應(yīng)h(t); (2) 若f(t)=(t)， 試求系統(tǒng)的零狀態(tài)響應(yīng)yf(t)。 解 (1) 求系統(tǒng)沖激響應(yīng)h(t): 圖示復(fù)合系統(tǒng)是由子系統(tǒng)h1(t)與子系統(tǒng)h2(t)串聯(lián)后再與子系統(tǒng)h3(t)并聯(lián)組成的。設(shè)由子系統(tǒng)h1(t)和h2(t)串聯(lián)組成的子系統(tǒng)的沖

31、激響應(yīng)為h4(t)，由式(4.7-1)和式(4.7-2)得,復(fù)合系統(tǒng)的沖激響應(yīng)和系統(tǒng)函數(shù)分別為,(2) 求f(t)=(t)時(shí)系統(tǒng)的零狀態(tài)響應(yīng)yf(t): 設(shè)系統(tǒng)零狀態(tài)響應(yīng)yf(t)的單邊拉氏變換為Yf(s)，則,求Yf(s)的單邊拉氏逆變換得,圖 4.7-4 例 4.7-1 圖,3. 用基本運(yùn)算器表示系統(tǒng),圖 4.7-5 基本運(yùn)算器的時(shí)域和S域模型 (a) 數(shù)乘器； (b) 加法器；(c) 積分器,4.7-2 某線性連續(xù)系統(tǒng)如圖 4.7-6 所示。求系統(tǒng)函數(shù)H(s), 寫出描述系統(tǒng)輸入輸出關(guān)系的微分方程。,圖 4.7-6 例 4.7-2 圖,解,Y(s)為右邊加法器的輸出，該加法器有兩個(gè)輸入，

32、如圖所示。 因此有,于是得,(4.7 - 6),(4.7 - 5),把式(4.7 - 5)代入式(4.7 - 6)， 得,系統(tǒng)函數(shù)為,對(duì)上式應(yīng)用時(shí)域微分性質(zhì)， 得到系統(tǒng)微分方程為,4.7.2 連續(xù)系統(tǒng)的信號(hào)流圖表示,圖 4.7-7 信號(hào)流圖的規(guī)則,關(guān)于信號(hào)流圖， 還有如下常用術(shù)語(yǔ)： (1) 節(jié)點(diǎn)：信號(hào)流圖中表示信號(hào)的點(diǎn)稱節(jié)點(diǎn)。 (2) 支路：連接兩個(gè)節(jié)點(diǎn)的有向線段稱為支路。寫在支路旁邊的函數(shù)稱為支路的增益或傳輸函數(shù)。 (3) 源點(diǎn)與匯點(diǎn)： (5) 開(kāi)路：一條通路與它經(jīng)過(guò)的任一節(jié)點(diǎn)只相遇一次，該通路稱開(kāi)路。 (6) 環(huán)(回路)：如果通路的起點(diǎn)和終點(diǎn)為同一節(jié)點(diǎn)，并且與經(jīng)過(guò)的其余節(jié)點(diǎn)只相遇一次，則該

33、通路稱為環(huán)或回路。,1. 連續(xù)系統(tǒng)的信號(hào)流圖表示,圖 4.7-8 信號(hào)流圖與方框圖的對(duì)應(yīng)關(guān)系,例 4.7-3 某線性連續(xù)系統(tǒng)的方框圖表示如圖 4.7-9(a)所示。畫出系統(tǒng)的信號(hào)流圖。,圖 4.7-9 例 4.7-3 圖 (a) 方框圖； (b) 信號(hào)流圖,解 系統(tǒng)的方框圖中，H1(s)、H2(s)、H3(s)分別是三個(gè)子系統(tǒng)的系統(tǒng)函數(shù)。設(shè)加法器的輸出為X1(s), 子系統(tǒng)H1(s)的輸出為X2(s)，則有,例 4.7-4 某線性連續(xù)系統(tǒng)的方框圖表示如圖 4.7-10(a)所示。 畫出系統(tǒng)的信號(hào)流圖。,圖 4.7-10 例 4.7-4 圖 (a) 方框圖； (b) 信號(hào)流圖,解 設(shè)左邊加法器的

34、輸出為X1(s)，左邊第一和第二個(gè)積分器的輸出分別為X2(s)和X3(s)，則有,2. 梅森公式(Masons Rule),式中，稱為信號(hào)流圖的特征行列式，表示為,例 4.7-5 已知連續(xù)系統(tǒng)的信號(hào)流圖如圖 4.7-11所示。求系統(tǒng)函數(shù)H(s)。,圖 4.7-11 例 4.7-5 圖,解 系統(tǒng)信號(hào)流圖共有四個(gè)環(huán)，環(huán)傳輸函數(shù)分別為,系統(tǒng)信號(hào)流圖中從F(s)到Y(jié)(s)只有一條開(kāi)路，開(kāi)路傳輸函數(shù)P1和對(duì)應(yīng)的剩余流圖特征行列式分別為,得到系統(tǒng)信號(hào)流圖的特征行列式為,得到系統(tǒng)函數(shù)為,4.7.3 連續(xù)系統(tǒng)的模擬,1. 直接形式,以二階系統(tǒng)為例， 設(shè)二階線性連續(xù)系統(tǒng)的系統(tǒng)函數(shù)為,給H(s)的分子分母乘以s-

35、2，得到,圖 4.7-12 二階系統(tǒng)直接形式信號(hào)流圖 (a) 直接形式; (b) 直接形式的方框圖表示； (c) 直接形式; (d) 直接形式的方框圖表示,2. 級(jí)聯(lián)(串聯(lián))形式,如果線性連續(xù)系統(tǒng)由n個(gè)子系統(tǒng)級(jí)聯(lián)組成，如圖 4.7-2 所示， 則系統(tǒng)函數(shù)H(s)為,例 4.7-6 已知線性連續(xù)系統(tǒng)的系統(tǒng)函數(shù)為,求系統(tǒng)級(jí)聯(lián)形式信號(hào)流圖。,解用一階節(jié)和二階節(jié)的級(jí)聯(lián)模擬系統(tǒng)。H(s)又可以表示為,式中，H1(s)和H2(s)分別表示一階和二階子系統(tǒng)。 它們的表示式為,圖 4.7-13 例 4.7-6 圖 (a) 子系統(tǒng)信號(hào)流圖； (b) 系統(tǒng)的級(jí)聯(lián)形式信號(hào)流圖,3. 并聯(lián)形式 若系統(tǒng)由n個(gè)子系統(tǒng)并聯(lián)

36、組成，如圖 4.7-3 所示，則系統(tǒng)函數(shù)H(s)為,這種情況下，先把每個(gè)子系統(tǒng)用直接形式信號(hào)流圖模擬， 然后把它們并聯(lián)起來(lái)，就得到系統(tǒng)并聯(lián)形式的信號(hào)流圖。,例 4.7-7 已知線性連續(xù)系統(tǒng)的系統(tǒng)函數(shù)H(s)為,求系統(tǒng)級(jí)聯(lián)形式信號(hào)流圖。,解 用一階節(jié)和二階節(jié)的級(jí)聯(lián)模擬系統(tǒng)。H(s)又可以表示為,式中：,圖 4.7-14 例 4.7-7 圖,4.8 系統(tǒng)函數(shù)與系統(tǒng)特性,4.8.1 H(s)的零點(diǎn)和極點(diǎn),線性時(shí)不變連續(xù)系統(tǒng)的系統(tǒng)函數(shù)H(s)通常是復(fù)變量s的有理分式， 可以表示為,4.8.2 H(s)的零、極點(diǎn)與時(shí)域響應(yīng),1. 左半平面極點(diǎn) 若H(s)在左半平面負(fù)實(shí)軸上有一階極點(diǎn)p=-(0)，則H(s

37、)的分母A(s)就有因子(s+)，h(t)中就有對(duì)應(yīng)的函數(shù)Ae-t(t)；若p=-為r重極點(diǎn)，則A(s)中就有因子(s+)r，h(t)中就有對(duì)應(yīng)的函數(shù)Aitie-t(t)(i=1, 2, , r-1)。A、Ai為實(shí)常數(shù)。 若H(s)在左半平面負(fù)實(shí)軸以外有一階共軛復(fù)極點(diǎn)p1,2=-j，則A(s)中就有因子(s+)2+2， h(t)中就有對(duì)應(yīng)的函數(shù)Ae-tcos(t+)(t)；若p1,2=-j為r重極點(diǎn)，則A(s)中有因子(s+)2+2r，h(t)中就有對(duì)應(yīng)的函數(shù)Aitie-tcos(t+i)(t)(i=1, 2, , r-1)。A，Ai, i為實(shí)常數(shù)。,2. 虛軸上極點(diǎn),若H(s)在坐標(biāo)原點(diǎn)有一

38、階極點(diǎn)p=0，則A(s)中有因子s，h(t)中就有對(duì)應(yīng)函數(shù)A(t), A為常數(shù)；若p=0為r重極點(diǎn)，則A(s)中有因子sr，h(t)中就有對(duì)應(yīng)函數(shù)Aiti(t)(i=1, 2, , r-1)，Ai為實(shí)常數(shù)。 若H(s)在虛軸上有一階共軛虛極點(diǎn)p1,2=j，則A(s)中有因子(s2+2)，h(t)中就有對(duì)應(yīng)函數(shù)A cos(t+)(t)，A、為實(shí)常數(shù)；若p1,2=j為r重極點(diǎn)，則A(s)中有因子(s2+2)r，h(t)中就有對(duì)應(yīng)函數(shù)Aiti cos(t+i)(t)(i=1, 2, , r-1)， Ai、i為實(shí)常數(shù)。,3. 右半平面極點(diǎn),圖 4.8-1 H(s)的極點(diǎn)分布與時(shí)域函數(shù)的對(duì)應(yīng)關(guān)系,4.8

39、.3 H(s)與系統(tǒng)的頻率特性,由線性連續(xù)系統(tǒng)的頻域分析可知，系統(tǒng)沖激響應(yīng)h(t)的傅里葉變換H(j)表示系統(tǒng)的頻率特性，稱為系統(tǒng)的頻率響應(yīng)。下面討論H(j)與系統(tǒng)函數(shù)H(s)的關(guān)系。根據(jù)傅里葉變換的定義和單邊拉普拉斯變換的定義，若h(t)為因果信號(hào)， 則有,H(s)的收斂域包含j軸，意味著H(s)的極點(diǎn)全部在左半平面。在這種情況下，H(s)對(duì)應(yīng)的系統(tǒng)稱為穩(wěn)定系統(tǒng)。根據(jù)以上討論，可以得到以下結(jié)論：若因果系統(tǒng)的系統(tǒng)函數(shù)H(s)的極點(diǎn)全部在左半平面， 則,設(shè)bm0，并且令,則式又可以表示為,式中：,圖 4.8-2 H(s)零、極點(diǎn)的矢量表示及差矢量表示,例 4.8-1 已知二階線性連續(xù)系統(tǒng)的系統(tǒng)函

40、數(shù)為,式中，0, 00, 0。粗略畫出系統(tǒng)的幅頻和相頻特性曲線。 解 H(s)有一個(gè)零點(diǎn)s1=; 有兩個(gè)極點(diǎn)，分別為,式中， 。 于是H(s)又可表示為,由于H(s)的極點(diǎn)p1和p2都在左半平面，因此，系統(tǒng)的頻率特性為,令 則H(j)又可表示為,幅頻特性和相頻特性分別為,圖 4.8-3 例 4.8-1 圖 (a) H(s)零、極點(diǎn)的矢量和差矢量表示； (b) 系統(tǒng)的幅頻特性和相頻特性,4.8.4 H(s)與系統(tǒng)的穩(wěn)定性,1. 穩(wěn)定系統(tǒng) 一個(gè)連續(xù)系統(tǒng)，如果對(duì)任意有界輸入產(chǎn)生的零狀態(tài)響應(yīng)也是有界的，則稱該系統(tǒng)是有界輸入有界輸出意義下的穩(wěn)定系統(tǒng)。 即對(duì)有限正實(shí)數(shù)Mf和My，若|f(t)|Mf，并且|

41、yf(t)|My，則系統(tǒng)是穩(wěn)定系統(tǒng)。 線性連續(xù)系統(tǒng)是穩(wěn)定系統(tǒng)的充分必要條件是系統(tǒng)的沖激響應(yīng)h(t)絕對(duì)可積。 設(shè)M為有限正實(shí)數(shù)，系統(tǒng)穩(wěn)定的充分必要條件可表示為,充分性：設(shè)線性連續(xù)系統(tǒng)的輸入f(t)有界，即|f(t)|Mf。系統(tǒng)的零狀態(tài)響應(yīng)yf(t)為,因此有,即,若h(t)絕對(duì)可積，,必要性：所謂式(4.8-16)對(duì)系統(tǒng)穩(wěn)定是必要的，是當(dāng)h(t)不滿足絕對(duì)可積條件時(shí)，則至少有某個(gè)有界輸入f(t)產(chǎn)生無(wú)界輸出yf(t)。為此，設(shè)f(t)有界，則f(-t)也有界，并且表示為,h(t)0,h(t)=0,h(t)0,于是有,因?yàn)?令t=0, 根據(jù)式(4.8 - 17)則有,若h(t)不絕對(duì)可積， 即,

42、 則yf(0)=。,2. 羅斯-霍爾維茲準(zhǔn)則 設(shè)n階線性連續(xù)系統(tǒng)的系統(tǒng)函數(shù)為,式中，mn，ai(i=0, 1, 2, , n)、bj(j=0, 1, 2, , m)是實(shí)常數(shù)。H(s)的分母多項(xiàng)式為,H(s)的極點(diǎn)就是A(s)=0的根。若A(s)=0的根全部在左半平面，則A(s)稱為霍爾維茲多項(xiàng)式。 A(s)為霍爾維茲多項(xiàng)式的必要條件是：A(s)的各項(xiàng)系數(shù)ai都不等于零，并且ai全為正實(shí)數(shù)或全為負(fù)實(shí)數(shù)。若ai全為負(fù)實(shí)數(shù)，可把負(fù)號(hào)歸于H(s)的分子B(s)，因而該條件又可表示為ai0。顯然， 若A(s)為霍爾維茲多項(xiàng)式， 則系統(tǒng)是穩(wěn)定系統(tǒng)。 羅斯和霍爾維茲提出了判斷多項(xiàng)式為霍爾維茲多項(xiàng)式的準(zhǔn)則，稱

43、為羅斯-霍爾維茲準(zhǔn)則(R-H準(zhǔn)則)。羅斯-霍爾維茲準(zhǔn)則包括兩部分，一部分是羅斯陣列，一部分是羅斯判據(jù)(羅斯準(zhǔn)則)。,羅斯和霍爾維茲提出了判斷多項(xiàng)式為霍爾維茲多項(xiàng)式的準(zhǔn)則，稱為羅斯-霍爾維茲準(zhǔn)則 (R-H準(zhǔn)則)。羅斯-霍爾維茲準(zhǔn)則包括兩部分，一部分是羅斯陣列，一部分是羅斯判據(jù)(羅斯準(zhǔn)則)。,若n為偶數(shù)，則第二行最后一列元素用零補(bǔ)上。羅斯陣列共有n+1行(以后各行均為零)，第三行及以后各行的元素按以下規(guī)則計(jì)算：,羅斯判據(jù)(羅斯準(zhǔn)則) 指出： 多項(xiàng)式A(s)是霍爾維茲多項(xiàng)式的充分和必要條件是羅斯陣列中第一列元素全為正值。 若第一列元素的值不是全為正值， 則表明A(s)=0在右半平面有根， 元素值的符號(hào)改變的次數(shù)(從正值到負(fù)值或從負(fù)值到正值的次數(shù))等于A(s)=0在右半平面根的數(shù)目。根據(jù)羅斯準(zhǔn)則和霍爾維茲多項(xiàng)式的定義，若羅斯陣列第一列元素值的符號(hào)相同(全為正值)，則H(s)的極點(diǎn)全部在左半平面， 因而系統(tǒng)是穩(wěn)定系統(tǒng)。 若羅斯陣列第一列元素值的符號(hào)不完全相同， 則系統(tǒng)是不穩(wěn)