第4講 復(fù)頻域分析.ppt

1、第4章 連續(xù)系統(tǒng)的復(fù)頻域分析,4.0 引言 拉氏變換的變換域是復(fù)頻域； 復(fù)頻域分析法是把信號分解成est的加權(quán)和，s=+jw,引入衰減因子，從而把頻域中不滿足絕對可積的信號變的可以分解。 例如，信號et(t)(0)的傅里葉變換不存在。若給信號et(t)乘以信號e-t()，得到信號e-(-)t(t)。信號e-(-)t(t)滿足絕對可積條件，因此其傅里葉變換存在。,4.1 拉普拉斯變換,4.1.1 從傅里葉變換到拉普拉斯變換,設(shè)有信號f(t)e-t(為實數(shù))，并且能選擇適當?shù)氖筬(t)e-t絕對可積，則該信號的傅里葉變換存在。 若用F(+j)表示該信號的傅里葉變換，根據(jù)傅里葉變換的定義， 則有,上

2、式兩邊乘以et，得,4.1.2 雙邊拉普拉斯變換的收斂域,任一信號f(t)的雙邊拉普拉斯變換不一定存在。由于f(t)的雙邊拉普拉斯變換是信號f(t)e-t的傅里葉變換，因此，若f(t)e-t絕對可積，即,結(jié)論： 1、收斂域是指使f(t)的LT存在的s的取值范圍； 2、收斂域取決于衰減因子，即LT的收斂域是平行于虛軸的直線。,例題1：,結(jié)論： 1、兩個不同的時域信號，可能有相同的LT表達式所不同的是收斂域不同。因此，求一個信號的LT時，一定要指明收斂域； 2、 LT表達式相同，收斂域必不同；收斂域相同， LT表達式必不同； 3、因果信號的LT的ROC一般有Re(s)a;而反因果信號的ROC一般有

3、Re(s)a;,推論1：如果一個信號為“有限時間區(qū)間信號”(time-duration signal)或“有始有終信號”，即當tt2時f(t)=0,則該信號的雙邊LT的ROC為整個s平面。,例 4.1 - 1 求時限信號f1(t)=(t)-(t-)的雙邊拉氏變換及其收斂域。式中，0。,例 4.1 - 2 求因果信號f2(t)=e-t(t)(0)的雙邊拉氏變換及其收斂域。,解 設(shè)f2(t)的雙邊拉氏變換為F2(s), 則,推論2：如果一個信號為“右邊信號”或“有始無終信號”則ROC:Re(s)a.,例 4.1-3 求反因果信號f3(t)=-e-t(-t)(0)的雙邊拉氏變換及其收斂域。,推論3：

4、如果一個信號為“左邊信號”，或“有終無始信號”則ROC:Re(s)a.,推論4：如果一個信號為“無始無終信號”或“雙邊信號”，則aRe(s)b,當然a.b可能為無窮大.,圖 4.1-1 雙邊拉氏變換的收斂域 (a) F2(s)的收斂域； (b) F3(s)的收斂域； (c) F4(s)的收斂域,雙邊拉普拉斯變換的收斂域比較復(fù)雜， 并且信號與其雙邊拉普拉斯變換不一一對應(yīng)，這就使其應(yīng)用受到限制。 實際中的信號都是有起始時刻的(tt0時f(t)=0)，若起始時刻t0=0, 則f(t)為因果信號。因果信號的雙邊拉普拉斯變換的積分下限為“0”，該變換稱為單邊拉普拉斯變換。單邊拉普拉斯變換收斂域簡單，計算

5、方便，線性連續(xù)系統(tǒng)的復(fù)頻域分析主要使用單邊拉普拉斯變換。,4.1.3 單邊拉普拉斯變換,信號f(t)的單邊拉普拉斯變換和單邊拉普拉斯逆變換(或反變換)分別為,特點： 1、如果f(t)中包括有沖激信號及其各節(jié)導(dǎo)數(shù)，則積分下限為0-，否則，可以為0或0+； 2、單邊LT相當于雙邊LT的積分函數(shù)為右邊信號，故Re(s)； 3、不同信號的單邊LT的ROC，必有重疊部分，因此它們的單邊LT必不相同。故信號f(t)與單邊LT一一對應(yīng)； 4、單邊LT可以由雙邊LT表示，單邊f(xié)(t)=雙邊f(xié)(t)(t)； 5、因果信號的單邊LT和雙邊LT相同；,4.1.4 常用信號的單邊拉普拉斯變換,4.2 單邊拉普拉斯變換

6、的性質(zhì),1. 線性,例題：求單邊正弦和單邊余弦信號的LT。,2. 時移性,3. 復(fù)頻移,例 4.2-3 f1(t)=cos(0t)(t), f2(t)=sin(0t)(t)，求f1(t)和f2(t)的象函數(shù)。,例 4.2-4,4. 尺度變換,若,則,式中， 為常數(shù)，,證,例 4.2-5 已知,求f1(t)的象函數(shù)。,解 因為,5. 時域卷積,證 根據(jù)信號卷積的定義，并且f1(t)和f2(t)是因果信號，則,例 4.2-6 已知圖 4.2-1(a)所示信號f(t)與圖(b)所示信號f(t)的關(guān)系為f(t)=f(t)*f(t)，求f(t)的單邊拉氏變換。,圖 4.2-1 例 4.2-6 圖 (a)

7、 f(t)的波形； (b) f(t)的波形,6. 時域微分,式中，f(1)(t)、f(2)(t)、f(n)(t)分別表示f(t)的一次、二次、n次導(dǎo)數(shù)， f(0-)、f(1)(0-)、f(i)(0-)分別表示f(t)、f(1)(t)、f(i)(t)在t=0-時的值。,證 先證明式(4.2-9)和式(4.2-10)。根據(jù)單邊拉普拉斯變換的定義， 則有,反復(fù)應(yīng)用式(4.2 - 9)，就可得到f(n)(t)的單邊拉普拉斯變換如式(4.2 - 11)所示。f(1)(t)的單邊拉普拉斯變換的收斂域至少是Res0。若F(s)在s=0處有一階極點，則sF(s)中的這種極點被消去，f(1)(t)的單邊拉普拉斯

8、變換的收斂域可能擴大。f(n)(t)的單邊拉普拉斯變換的收斂域也有類似情況。 若f(t)為因果信號，則f(n)(0-)=0 (n=1, 2, ), 此時，時域微分性質(zhì)表示為,n=1, 2, ；Res0,例 4.2-7 求f1(t)和f2(t)的單邊拉氏變換。,解,(1) 求f1(t)的單邊拉氏變換。由于,故根據(jù)線性得,若應(yīng)用時域微分性質(zhì)求解，則有,(2) 求f2(t)的單邊拉氏變換。由于,因此得,7. 時域積分,若f(t) F(s)，Res0, 則有：,若f(-n)(t)表示從-到t對f(t)的n重積分，則有,(4.2-12),(4.2-13),證明式(4.2-12)： 因為,根據(jù)時域卷積性質(zhì)

9、，則,因為,證明式(4.2-13): 因為,單邊拉普拉斯變換為,根據(jù)線性得,若f(t)是因果信號，f(n)(t)是f(t)的n次導(dǎo)數(shù)，則f(t)等于f(n)(t)從0-到t的n重積分。若f(n)(t)的單邊拉普拉斯變換用Fn(s)表示，根據(jù)時域積分性質(zhì)式(4.2 - 12)，則f(t)的單邊拉氏變換為,若f(t)為非因果信號，則Lf(t)=Lf(t)(t)。因此，若f(t)(t)的n次導(dǎo)數(shù) 的單邊拉普拉斯變換用Fn(s)表示，則f(t)的單邊拉普拉斯變換F(s)也可由式(4.2 - 17)得到。,非因果信號f(t)的單邊拉普拉斯變換也可根據(jù)式(4.2-13)求解。 若f(t)在t=-的值f(-

10、)=0，f (1)(t)是f(t)的一階導(dǎo)數(shù)，則,t-,若f(1)(t)的單邊拉普拉斯變換用F1(s)表示，則f(t)的單邊拉普拉斯變換為,若f(-)0，則,t-,對于t0-，有,則f(t)的單邊拉普拉斯變換為,例 4.2-8 求圖 4.2-2(a)所示因果信號f(t)的單邊拉氏變換。,解 f(t)的二階導(dǎo)數(shù)為,由于(t) 1, 由時移和線性性質(zhì)得,由時域積分性質(zhì),圖 4.2-2 例 4.2-8 圖 (a) f(t)的波形； (b) f(t)的波形； (c) f(t)的波形,例 4.2-9 求圖 4.2-3(a)所示信號f(t)的單邊拉普拉斯變換。,解 方法一 由于,根據(jù)單邊拉氏變換的定義，

11、得,圖 4.2-3 例 4.2-9 圖,方法二 f(0-)=-1，f(t)的一階導(dǎo)數(shù)為,f(1)(t)的單邊拉氏變換為,Res-,Res0,8. 復(fù)頻域微分,若f(t) F(s), Res0， 則有,Res0,n=1, 2, ; Res0,證 根據(jù)單邊拉普拉斯變換的定義,Res0,例 4.2-10 求f(t)=tn(t)的單邊拉氏變換。,解 由于,Res0，根據(jù)式(4.2 - 21)，得,Res0,于是得,Res0,由于t2(t)=(-t)(-t)(t)，,Res0,重復(fù)應(yīng)用以上方法可以得到,Res0,9. 復(fù)頻域積分,若f(t) F(s)，Res0，則有,式中， 存在， 的單邊拉普拉斯變換的

12、收斂域為Res0和Res0的公共部分。,證 根據(jù)單邊拉普拉斯變換的定義,Res0,對上式兩邊從s到積分，并交換積分次序得,因為t0, 所以上式方括號中的積分 在Res0時收斂。因此得,例 4.2-11,求f(t)的單邊拉氏變換。,解 由于,根據(jù)復(fù)頻域積分性質(zhì)，得,10. 初值和終值定理,(1) 初值定理 若信號f(t)不包含沖激函數(shù)(t)及其各階導(dǎo)數(shù)， 并且,Res0,則信號f(t)的初值為,(2) 終值定理 若f(t)在t時極限f()存在，并且 f(t) F(s) Res0; -00 則f(t)的終值為,例 4.2-12,解 由于cos t(t) ，根據(jù)復(fù)頻移性質(zhì)， 則有,由初值定理得,由終

13、值定理得,表 4.1 單邊拉普拉斯變換的性質(zhì),表 4.2 常用信號的單邊拉普拉斯變換,4.3 單邊拉普拉斯逆變換,4.3.1 查表法,例4.3-1 已知 ，求F(s)的原函數(shù)f(t)。 解 F(s)可以表示為,由附錄F查得編號為15的象函數(shù)與本例中F(s)的形式相同。編號15的變換對為,與本例中F(s)的表示式對比，則b1=1, b0=1，=2，代入變換對得,4.3.2 部分分式展開法,若F(s)為s的有理分式，則可表示為,式中，ai(i=0, 1, 2, , n-1)、bi(i=0, 1, 2, , m)均為實數(shù)。若mn, 則 為假分式。若mn，則 為真分式。,式中，ci(i=0, 1, 2

14、, , n-1)為實數(shù)。N(s)為有理多項式，其逆變換為沖激函數(shù)及其一階到m-n階導(dǎo)數(shù)之和。 為有理真分式，可展開為部分分式后求逆變換。例如，,若F(s)為假分式，可用多項式除法將F(s)分解為有理多項式與有理真分式之和， 即,則,若 為有理真分式， 可直接展開為部分分式后求逆變換。要把F(s)展開為部分分式，必須先求出A(s)=0的根。因為A(s)為s的n次多項式，所以A(s)=0有n個根si(i=1, 2, , n)。si可能為單根，也可能為重根；可能為實根，也可能為復(fù)根。si又稱為F(s)的極點。F(s)展開為部分分式的具體形式取決于si的上述性質(zhì)。,1. F(s)僅有單極點 若A(s)

15、=0僅有n個單根si(i=1, 2, , n)，則根據(jù)附錄A中式(A-2)，無論si是實根還是復(fù)根，都可將F(s)展開為,式中，各部分分式項的系數(shù)Ki為,故F(s)的單邊拉普拉斯逆變換可表示為,由于,例 4.3-2 已知 ，求F(s)的單邊拉氏逆變換(原函數(shù))f(t)。,解 F(s)的分母多項式A(s)=0的兩個根分別為s1=-2, s2=-3。因此，F(xiàn)(s)的部分分式展開式為,所以,于是得,2. F(s)有重極點 若A(s)=0在s=s1處有r重根，而其余(n-r)個根sj(j=r+1, ，n)，這些根的值是實數(shù)或復(fù)數(shù)，則由附錄A中式(A-8)和(A-11)可得,式中：,先求F1(s)的逆變

16、換，因為,由復(fù)頻移性質(zhì)，可得,F(s)的單邊拉普拉斯逆變換為,例 4.3-3 已知求 F(s)的單邊拉氏逆變換。,解 F(s)有二重極點s=-1和單極點s=-3。因此，F(xiàn)(s)可展開為,于是得,3. F(s)有復(fù)極點,如果A(s)=0的復(fù)根為s1,2=-j，則F(s)可展開為,式中，K2=K*1。 令K1=|K1|ej, 則有,由復(fù)頻移和線性性質(zhì)得F(s)的原函數(shù)為,對于F(s)的一對共軛復(fù)極點s1=-+j和s2=-j，只需要計算出系數(shù)K1=|K1|ej(與s1對應(yīng))，然后把|K1|、代入式(4.3 - 8)， 就可得到這一對共軛復(fù)極點對應(yīng)的部分分式的原函數(shù)。,如果F(s)有復(fù)重極點，那么相應(yīng)

17、的部分分式也呈現(xiàn)與復(fù)單極點類似的特點。以A(s)=0的根為二重共軛復(fù)根s1,2=-j為例， 其F(s)可展開為,式中：,根據(jù)復(fù)頻移和線性性質(zhì)，求得F(s)的原函數(shù)為,例 4.3-4,已知,求F(s)的單邊拉氏逆變換f(t)。,解 F(s)可以表示為,F(s)有一對共軛單極點s1,2=-2j2, 可展開為,于是得,于是得,例 4.3-5 已知 ，求F(s)的單邊拉氏逆變換。,解 F(s)不是有理分式，但F(s)可以表示為,式中，F(xiàn)1（s）,由線性和常用變換對得到,由時移性質(zhì)得,例 4.3-6,已知單邊拉氏變換,求F(s)的原函數(shù)f(t)。,解 F(s)為有理分式，可用部分分式法求f(t)。但F(

18、s)又可表示為,因為,， 根據(jù)復(fù)頻域微分性質(zhì)，,則F(s)的原函數(shù)為,例 4.3-7 已知,求F(s)的單邊拉氏逆變換。,解 F(s)不是有理分式，不能展開為部分分式。F(s)可以表示為,對于從t=0-起始的周期性沖激序列 其單邊拉氏變換為,由于,因此，根據(jù)時域卷積性質(zhì)得,于是得,例4.3-7 中f(t)與F(s)的對應(yīng)關(guān)系可以推廣應(yīng)用到一般從t=0-起始的周期信號。設(shè)f(t)為從t=0-起始的周期信號，周期為T，f1(t)為f(t)的第一周期內(nèi)的信號。 f(t)和f1(t)如圖4.3-1(a)、(b)所示。 f(t)可以表示為,令f1(t) F1(s), f(t) F(s), 則有,Res0

19、,圖 4.3-1 因果周期信號,4.4 連續(xù)系統(tǒng)的復(fù)頻域分析,4.4.1 連續(xù)信號的復(fù)頻域分解,根據(jù)單邊拉普拉斯逆變換的定義，若信號f(t)的單邊拉普拉斯變換為F(s)， 則信號f(t)可以表示為,4.4.2 基本信號est激勵下的零狀態(tài)響應(yīng) 若線性時不變連續(xù)系統(tǒng)(LTI)的輸入為f(t), 零狀態(tài)響應(yīng)為yf(t)，沖激響應(yīng)為h(t)，由連續(xù)系統(tǒng)的時域分析可知:,若系統(tǒng)的輸入為基本信號，即f(t)=est,則,若h(t)為因果函數(shù)，則有,式中：,即，H（s）是沖激響應(yīng)h(t)的單邊拉普拉斯變換，稱為線性邊續(xù)系統(tǒng)的系統(tǒng)函數(shù)，est稱為系統(tǒng)的特征函數(shù)。,4.4.3 一般信號f(t)激勵下的零狀態(tài)響

20、應(yīng),系統(tǒng)的零狀態(tài)響應(yīng)可按以下步驟求解： (1) 求系統(tǒng)輸入f(t)的單邊拉普拉斯變換F(s); (2) 求系統(tǒng)函數(shù)H(s); (3) 求零狀態(tài)響應(yīng)的單邊拉普拉斯變換Yf(s)，Yf(s)=H(s)F(s); (4) 求Yf(s)的單邊拉普拉斯逆變換yf(t)；,例 4.4-1 已知線性連續(xù)系統(tǒng)的輸入為f1(t)=e-t(t)時，零狀態(tài)響應(yīng)yf1(t)=(e-t-e-2t)(t)。若輸入為f2(t)=t(t)，求系統(tǒng)的零狀態(tài)響應(yīng)yf2(t)。,f2(t)的單邊拉氏變換為,yf2(t)的單邊拉氏變換為,于是得,4.5 系統(tǒng)微分方程的復(fù)頻域解,設(shè)二階連續(xù)系統(tǒng)的微分方程為,式中，a0、a1和b0、b1

21、、b2為實常數(shù)；f(t)為因果信號，因此，f(0-)、f(0-)均為零。設(shè)初始時刻t0=0, y(t)的單邊拉普拉斯變換為Y(s)，對式(4.5-1)兩端取單邊拉普拉斯變換， 根據(jù)時域微分性質(zhì)，得,分別令,對式(4.5-4)取單邊拉普拉斯逆變換，就得到系統(tǒng)的完全響應(yīng)y(t)、零輸入響應(yīng)yx(t)和零狀態(tài)響應(yīng)yf(t)， 即,由于Yf(s)=H(s)F(s), 則二階系統(tǒng)的系統(tǒng)函數(shù)為,設(shè)n階邊續(xù)系統(tǒng)的微分方程為,n階系統(tǒng)的微分方程為,關(guān)于響應(yīng)的初始值需注意以下問題：,于是得,（1）對于n階線性連續(xù)系統(tǒng)，由于yx(t)+yf(t), 因此有,（2）對于n階線性連續(xù)因果系統(tǒng)，若在t0時yx(t)滿足

22、的微分方程相同，則,對于因果系統(tǒng)，若輸入f(t)為因果信號，則 一般不等于零，因此得,例 4.5-1 已知線性系統(tǒng)的微分方程為,求系統(tǒng)的零輸入響應(yīng)yx(t)、零狀態(tài)響應(yīng)yf(t)和完全響應(yīng)y(t)。,f(t)的單邊拉氏變換為,解 方法 1 根據(jù)單邊拉氏變換的時域微分性質(zhì)，對系統(tǒng)微分方程取單邊拉氏變換，得,求Y(s)、Yx(s)、Yf(s)的單邊拉氏逆變換，得,方法 2 分別根據(jù)yx(t)和yf(t)滿足的微分方程求yx(t)和yf(t)。yx(t)滿足的微分方程為,由于f(t)為因果信號，所以f(0-)=0，yf(0-)=yf(0-)=0。,yf(t)滿足的微分方程為,yx(t)的初始條件yx

23、(0-)=y(0-)、yx(0-)=y(0-)。,4.6 RLC系統(tǒng)的復(fù)頻域分析,4.6.1 KCL、KVL的復(fù)頻域形式,KCL和KVL的時域形式分別為,設(shè)RLC系統(tǒng)(電路)中支路電流i(t)和支路電壓u(t)的單邊拉普拉斯變換分別為I(s)和U(s)，對式(4.6 - 1)取單邊拉普拉斯變換，根據(jù)線性性質(zhì)， 得到,4.6.2 系統(tǒng)元件的復(fù)頻域模型,1. 電阻元件(R) 設(shè)線性時不變電阻R上電壓u(t)和電流i(t)的參考方向關(guān)聯(lián)， 則R上電流和電壓關(guān)系(VAR)的時域形式為,電阻R的時域模型如圖 4.6-1(a)所示。設(shè)u(t)和i(t)的象函數(shù)分別為U(s)和I(s)，對式(4.6-3)取

24、單邊拉普拉斯變換， 得,圖 4.6-1 R的時域和S域模型 (a) 時域模型； (b) S域模型,2. 電感元件(L) 設(shè)線性時不變電感L上電壓u(t)和電流i(t)的參考方向關(guān)聯(lián)， 則電感元件VAR的時域形式為,(4.6-5),圖 4.6-2 電感L的時域和零狀態(tài)S域模型 (a) 時域模型； (b) 零狀態(tài)S域模型,電感L的時域模型如圖4.6-2(a)所示。設(shè)i(t)的初始值i(0-)=0(零狀態(tài))，u(t)和i(t)的單邊拉普拉斯變換分別為U(s)和I(s)， 對式(4.6-5)取單邊拉普拉斯變換，根據(jù)時域微分、積分性質(zhì)， 得,若電感L的電流i(t)的初始值i(0-)不等于零，對式(4.6

25、-5)取單邊拉普拉斯變換，可得,圖 4.6-3 電感元件的非零狀態(tài)S域模型 (a) 串聯(lián)模型； (b) 并聯(lián)模型,3. 電容元件(C) 設(shè)線性時不變電容元件C上電壓u(t)和電流i(t)的參考方向關(guān)聯(lián)， 則電容元件VAR的時域形式為,電容元件的時域模型如圖 4.6-4(a)所示。若u(t)的初始值u(0-)=0(零狀態(tài))，u(t)和i(t)的單邊拉普拉斯變換分別為U(s)和I(s)， 對式(4.6-9)取單邊拉普拉斯變換，得,若電容元件C上電壓u(t)的初始值u(0-)不等于零，對式(4.6-9)取單邊拉普拉斯變換， 得,圖 4.6-4 電容元件的時域和零狀態(tài)S域模型 (a) 時域模型； (b

26、) 零狀態(tài)S域模型,圖 4.6-5 電容元件的非零狀態(tài)S域模型 (a) 串聯(lián)模型； (b) 并聯(lián)模型,4.6.3 RLC系統(tǒng)的復(fù)頻域模型及分析方法,例4.6-1 圖 4.6-6(a)所示RLC系統(tǒng)，us1(t)=2V, us2(t)=4V, R1=R2=1，L=1H，C=1。t0時電路已達穩(wěn)態(tài)，t=0時開關(guān)S由位置1接到位置2。求t0時的完全響應(yīng)iL(t)、零輸入響應(yīng)iLx(t)和零狀態(tài)響應(yīng)iLf(t)。,解 (1) 求完全響應(yīng)iL(t)：,圖 4.6-6 例 4.6-1 圖,則S域的網(wǎng)孔方程為,式中， ， 把Us2(s)及各元件的值代入網(wǎng)孔方程， 解網(wǎng)孔方程得,求IL(s)的單邊拉氏逆變換，

27、得,(2) 求零輸入響應(yīng)iLx(t)：設(shè)零輸入響應(yīng)iLx(t)的單邊拉氏變換為ILx(s)，網(wǎng)孔電流的象函數(shù)分別為I1x(s)和I2x(s)，如圖 4.6 - 6(c)所示。列網(wǎng)孔方程，得,把各元件的值及uC(0-)和iL(0-)的值代入網(wǎng)孔方程，,(3) 求零狀態(tài)響應(yīng)iLf(t)：,對圖 4.6 - 1(b)所示電路模型，令iL(0-)=0、uC(0-)=0，得到開關(guān)S在位置2時零狀態(tài)響應(yīng)的S域電路模型，如圖 4.6 -6(d)所示。設(shè)零狀態(tài)響應(yīng)ILf(t)的單邊拉氏變換為ILf(s)，可應(yīng)用網(wǎng)孔分析法求ILf(s)， 然后求ILf(s)的逆變換得到iLf(t)。此外，也可以根據(jù)S域電路模型

28、求出系統(tǒng)函數(shù)H(s)，然后通過H(s)求ILf(s)和iLf(t)。令ab端的輸入運算阻抗為Z(s)，則有,于是得,把Z(s)的表示式代入上式得到H(s)為,因此得,求ILf(s)的單邊拉氏逆變換， 得,4.7 連續(xù)系統(tǒng)的表示和模擬,4.7.1 連續(xù)系統(tǒng)的方框圖表示,圖 4.7-1 系統(tǒng)的方框圖表示,一個連續(xù)系統(tǒng)可以用一個矩形方框圖簡單地表示，如圖 4.7-1 所示。 方框圖左邊的有向線段表示系統(tǒng)的輸入f(t)，右邊的有向線段表示系統(tǒng)的輸出y(t)，方框表示聯(lián)系輸入和輸出的其他部分， 是系統(tǒng)的主體。此外，幾個系統(tǒng)的組合連接又可構(gòu)成一個復(fù)雜系統(tǒng)，稱為復(fù)合系統(tǒng)。組成復(fù)合系統(tǒng)的每一個系統(tǒng)又稱為子系統(tǒng)

29、。系統(tǒng)的組合連接方式有串聯(lián)、并聯(lián)及這兩種方式的混合連接。此外，連續(xù)系統(tǒng)也可以用一些輸入輸出關(guān)系簡單的基本單元(子系統(tǒng))連接起來表示。這些基本單元有加法器、數(shù)乘器(放大器)、 積分器等。,1. 連續(xù)系統(tǒng)的串聯(lián),圖 4.7-2 連續(xù)系統(tǒng)的串聯(lián) (a) 時域形式； (b) 復(fù)頻域形式,設(shè)復(fù)合系統(tǒng)的沖激響應(yīng)為h(t)，根據(jù)線性連續(xù)系統(tǒng)時域分析的結(jié)論， h(t)與hi(t)的關(guān)系為,若h(t)和hi(t)為因果函數(shù)，h(t)的單邊拉普拉斯變換即系統(tǒng)函數(shù)為H(s)，根據(jù)單邊拉普拉斯變換的時域卷積性質(zhì)，H(s)與Hi(s)的關(guān)系為,2. 連續(xù)系統(tǒng)的并聯(lián),圖 4.7-3 連續(xù)系統(tǒng)的并聯(lián) (a) 時域形式； (

30、b) 復(fù)頻域形式,復(fù)合系統(tǒng)的沖激響應(yīng)h(t)與子系統(tǒng)沖激響應(yīng)hi(t)之間的關(guān)系為,h(t)的單邊拉普拉斯變換，即系統(tǒng)函數(shù)H(s)與hi(t)的單邊拉普拉斯變換Hi(s)之間的關(guān)系為,例 4.7-1 某線性連續(xù)系統(tǒng)如圖 4.7-4 所示。 其中，h1(t)=(t), h2(t)=(t-1), h3(t)=(t-3)。 (1) 試求系統(tǒng)的沖激響應(yīng)h(t); (2) 若f(t)=(t)， 試求系統(tǒng)的零狀態(tài)響應(yīng)yf(t)。 解 (1) 求系統(tǒng)沖激響應(yīng)h(t): 圖示復(fù)合系統(tǒng)是由子系統(tǒng)h1(t)與子系統(tǒng)h2(t)串聯(lián)后再與子系統(tǒng)h3(t)并聯(lián)組成的。設(shè)由子系統(tǒng)h1(t)和h2(t)串聯(lián)組成的子系統(tǒng)的沖

31、激響應(yīng)為h4(t)，由式(4.7-1)和式(4.7-2)得,復(fù)合系統(tǒng)的沖激響應(yīng)和系統(tǒng)函數(shù)分別為,(2) 求f(t)=(t)時系統(tǒng)的零狀態(tài)響應(yīng)yf(t): 設(shè)系統(tǒng)零狀態(tài)響應(yīng)yf(t)的單邊拉氏變換為Yf(s)，則,求Yf(s)的單邊拉氏逆變換得,圖 4.7-4 例 4.7-1 圖,3. 用基本運算器表示系統(tǒng),圖 4.7-5 基本運算器的時域和S域模型 (a) 數(shù)乘器； (b) 加法器；(c) 積分器,4.7-2 某線性連續(xù)系統(tǒng)如圖 4.7-6 所示。求系統(tǒng)函數(shù)H(s), 寫出描述系統(tǒng)輸入輸出關(guān)系的微分方程。,圖 4.7-6 例 4.7-2 圖,解,Y(s)為右邊加法器的輸出，該加法器有兩個輸入，

32、如圖所示。 因此有,于是得,(4.7 - 6),(4.7 - 5),把式(4.7 - 5)代入式(4.7 - 6)， 得,系統(tǒng)函數(shù)為,對上式應(yīng)用時域微分性質(zhì)， 得到系統(tǒng)微分方程為,4.7.2 連續(xù)系統(tǒng)的信號流圖表示,圖 4.7-7 信號流圖的規(guī)則,關(guān)于信號流圖， 還有如下常用術(shù)語： (1) 節(jié)點：信號流圖中表示信號的點稱節(jié)點。 (2) 支路：連接兩個節(jié)點的有向線段稱為支路。寫在支路旁邊的函數(shù)稱為支路的增益或傳輸函數(shù)。 (3) 源點與匯點： (5) 開路：一條通路與它經(jīng)過的任一節(jié)點只相遇一次，該通路稱開路。 (6) 環(huán)(回路)：如果通路的起點和終點為同一節(jié)點，并且與經(jīng)過的其余節(jié)點只相遇一次，則該

33、通路稱為環(huán)或回路。,1. 連續(xù)系統(tǒng)的信號流圖表示,圖 4.7-8 信號流圖與方框圖的對應(yīng)關(guān)系,例 4.7-3 某線性連續(xù)系統(tǒng)的方框圖表示如圖 4.7-9(a)所示。畫出系統(tǒng)的信號流圖。,圖 4.7-9 例 4.7-3 圖 (a) 方框圖； (b) 信號流圖,解 系統(tǒng)的方框圖中，H1(s)、H2(s)、H3(s)分別是三個子系統(tǒng)的系統(tǒng)函數(shù)。設(shè)加法器的輸出為X1(s), 子系統(tǒng)H1(s)的輸出為X2(s)，則有,例 4.7-4 某線性連續(xù)系統(tǒng)的方框圖表示如圖 4.7-10(a)所示。 畫出系統(tǒng)的信號流圖。,圖 4.7-10 例 4.7-4 圖 (a) 方框圖； (b) 信號流圖,解 設(shè)左邊加法器的

34、輸出為X1(s)，左邊第一和第二個積分器的輸出分別為X2(s)和X3(s)，則有,2. 梅森公式(Masons Rule),式中，稱為信號流圖的特征行列式，表示為,例 4.7-5 已知連續(xù)系統(tǒng)的信號流圖如圖 4.7-11所示。求系統(tǒng)函數(shù)H(s)。,圖 4.7-11 例 4.7-5 圖,解 系統(tǒng)信號流圖共有四個環(huán)，環(huán)傳輸函數(shù)分別為,系統(tǒng)信號流圖中從F(s)到Y(jié)(s)只有一條開路，開路傳輸函數(shù)P1和對應(yīng)的剩余流圖特征行列式分別為,得到系統(tǒng)信號流圖的特征行列式為,得到系統(tǒng)函數(shù)為,4.7.3 連續(xù)系統(tǒng)的模擬,1. 直接形式,以二階系統(tǒng)為例， 設(shè)二階線性連續(xù)系統(tǒng)的系統(tǒng)函數(shù)為,給H(s)的分子分母乘以s-

35、2，得到,圖 4.7-12 二階系統(tǒng)直接形式信號流圖 (a) 直接形式; (b) 直接形式的方框圖表示； (c) 直接形式; (d) 直接形式的方框圖表示,2. 級聯(lián)(串聯(lián))形式,如果線性連續(xù)系統(tǒng)由n個子系統(tǒng)級聯(lián)組成，如圖 4.7-2 所示， 則系統(tǒng)函數(shù)H(s)為,例 4.7-6 已知線性連續(xù)系統(tǒng)的系統(tǒng)函數(shù)為,求系統(tǒng)級聯(lián)形式信號流圖。,解用一階節(jié)和二階節(jié)的級聯(lián)模擬系統(tǒng)。H(s)又可以表示為,式中，H1(s)和H2(s)分別表示一階和二階子系統(tǒng)。 它們的表示式為,圖 4.7-13 例 4.7-6 圖 (a) 子系統(tǒng)信號流圖； (b) 系統(tǒng)的級聯(lián)形式信號流圖,3. 并聯(lián)形式 若系統(tǒng)由n個子系統(tǒng)并聯(lián)

36、組成，如圖 4.7-3 所示，則系統(tǒng)函數(shù)H(s)為,這種情況下，先把每個子系統(tǒng)用直接形式信號流圖模擬， 然后把它們并聯(lián)起來，就得到系統(tǒng)并聯(lián)形式的信號流圖。,例 4.7-7 已知線性連續(xù)系統(tǒng)的系統(tǒng)函數(shù)H(s)為,求系統(tǒng)級聯(lián)形式信號流圖。,解 用一階節(jié)和二階節(jié)的級聯(lián)模擬系統(tǒng)。H(s)又可以表示為,式中：,圖 4.7-14 例 4.7-7 圖,4.8 系統(tǒng)函數(shù)與系統(tǒng)特性,4.8.1 H(s)的零點和極點,線性時不變連續(xù)系統(tǒng)的系統(tǒng)函數(shù)H(s)通常是復(fù)變量s的有理分式， 可以表示為,4.8.2 H(s)的零、極點與時域響應(yīng),1. 左半平面極點 若H(s)在左半平面負實軸上有一階極點p=-(0)，則H(s

37、)的分母A(s)就有因子(s+)，h(t)中就有對應(yīng)的函數(shù)Ae-t(t)；若p=-為r重極點，則A(s)中就有因子(s+)r，h(t)中就有對應(yīng)的函數(shù)Aitie-t(t)(i=1, 2, , r-1)。A、Ai為實常數(shù)。 若H(s)在左半平面負實軸以外有一階共軛復(fù)極點p1,2=-j，則A(s)中就有因子(s+)2+2， h(t)中就有對應(yīng)的函數(shù)Ae-tcos(t+)(t)；若p1,2=-j為r重極點，則A(s)中有因子(s+)2+2r，h(t)中就有對應(yīng)的函數(shù)Aitie-tcos(t+i)(t)(i=1, 2, , r-1)。A，Ai, i為實常數(shù)。,2. 虛軸上極點,若H(s)在坐標原點有一

38、階極點p=0，則A(s)中有因子s，h(t)中就有對應(yīng)函數(shù)A(t), A為常數(shù)；若p=0為r重極點，則A(s)中有因子sr，h(t)中就有對應(yīng)函數(shù)Aiti(t)(i=1, 2, , r-1)，Ai為實常數(shù)。 若H(s)在虛軸上有一階共軛虛極點p1,2=j，則A(s)中有因子(s2+2)，h(t)中就有對應(yīng)函數(shù)A cos(t+)(t)，A、為實常數(shù)；若p1,2=j為r重極點，則A(s)中有因子(s2+2)r，h(t)中就有對應(yīng)函數(shù)Aiti cos(t+i)(t)(i=1, 2, , r-1)， Ai、i為實常數(shù)。,3. 右半平面極點,圖 4.8-1 H(s)的極點分布與時域函數(shù)的對應(yīng)關(guān)系,4.8

39、.3 H(s)與系統(tǒng)的頻率特性,由線性連續(xù)系統(tǒng)的頻域分析可知，系統(tǒng)沖激響應(yīng)h(t)的傅里葉變換H(j)表示系統(tǒng)的頻率特性，稱為系統(tǒng)的頻率響應(yīng)。下面討論H(j)與系統(tǒng)函數(shù)H(s)的關(guān)系。根據(jù)傅里葉變換的定義和單邊拉普拉斯變換的定義，若h(t)為因果信號， 則有,H(s)的收斂域包含j軸，意味著H(s)的極點全部在左半平面。在這種情況下，H(s)對應(yīng)的系統(tǒng)稱為穩(wěn)定系統(tǒng)。根據(jù)以上討論，可以得到以下結(jié)論：若因果系統(tǒng)的系統(tǒng)函數(shù)H(s)的極點全部在左半平面， 則,設(shè)bm0，并且令,則式又可以表示為,式中：,圖 4.8-2 H(s)零、極點的矢量表示及差矢量表示,例 4.8-1 已知二階線性連續(xù)系統(tǒng)的系統(tǒng)函

40、數(shù)為,式中，0, 00, 0。粗略畫出系統(tǒng)的幅頻和相頻特性曲線。 解 H(s)有一個零點s1=; 有兩個極點，分別為,式中， 。 于是H(s)又可表示為,由于H(s)的極點p1和p2都在左半平面，因此，系統(tǒng)的頻率特性為,令 則H(j)又可表示為,幅頻特性和相頻特性分別為,圖 4.8-3 例 4.8-1 圖 (a) H(s)零、極點的矢量和差矢量表示； (b) 系統(tǒng)的幅頻特性和相頻特性,4.8.4 H(s)與系統(tǒng)的穩(wěn)定性,1. 穩(wěn)定系統(tǒng) 一個連續(xù)系統(tǒng)，如果對任意有界輸入產(chǎn)生的零狀態(tài)響應(yīng)也是有界的，則稱該系統(tǒng)是有界輸入有界輸出意義下的穩(wěn)定系統(tǒng)。 即對有限正實數(shù)Mf和My，若|f(t)|Mf，并且|

41、yf(t)|My，則系統(tǒng)是穩(wěn)定系統(tǒng)。 線性連續(xù)系統(tǒng)是穩(wěn)定系統(tǒng)的充分必要條件是系統(tǒng)的沖激響應(yīng)h(t)絕對可積。 設(shè)M為有限正實數(shù)，系統(tǒng)穩(wěn)定的充分必要條件可表示為,充分性：設(shè)線性連續(xù)系統(tǒng)的輸入f(t)有界，即|f(t)|Mf。系統(tǒng)的零狀態(tài)響應(yīng)yf(t)為,因此有,即,若h(t)絕對可積，,必要性：所謂式(4.8-16)對系統(tǒng)穩(wěn)定是必要的，是當h(t)不滿足絕對可積條件時，則至少有某個有界輸入f(t)產(chǎn)生無界輸出yf(t)。為此，設(shè)f(t)有界，則f(-t)也有界，并且表示為,h(t)0,h(t)=0,h(t)0,于是有,因為,令t=0, 根據(jù)式(4.8 - 17)則有,若h(t)不絕對可積， 即,

42、 則yf(0)=。,2. 羅斯-霍爾維茲準則 設(shè)n階線性連續(xù)系統(tǒng)的系統(tǒng)函數(shù)為,式中，mn，ai(i=0, 1, 2, , n)、bj(j=0, 1, 2, , m)是實常數(shù)。H(s)的分母多項式為,H(s)的極點就是A(s)=0的根。若A(s)=0的根全部在左半平面，則A(s)稱為霍爾維茲多項式。 A(s)為霍爾維茲多項式的必要條件是：A(s)的各項系數(shù)ai都不等于零，并且ai全為正實數(shù)或全為負實數(shù)。若ai全為負實數(shù)，可把負號歸于H(s)的分子B(s)，因而該條件又可表示為ai0。顯然， 若A(s)為霍爾維茲多項式， 則系統(tǒng)是穩(wěn)定系統(tǒng)。 羅斯和霍爾維茲提出了判斷多項式為霍爾維茲多項式的準則，稱

43、為羅斯-霍爾維茲準則(R-H準則)。羅斯-霍爾維茲準則包括兩部分，一部分是羅斯陣列，一部分是羅斯判據(jù)(羅斯準則)。,羅斯和霍爾維茲提出了判斷多項式為霍爾維茲多項式的準則，稱為羅斯-霍爾維茲準則 (R-H準則)。羅斯-霍爾維茲準則包括兩部分，一部分是羅斯陣列，一部分是羅斯判據(jù)(羅斯準則)。,若n為偶數(shù)，則第二行最后一列元素用零補上。羅斯陣列共有n+1行(以后各行均為零)，第三行及以后各行的元素按以下規(guī)則計算：,羅斯判據(jù)(羅斯準則) 指出： 多項式A(s)是霍爾維茲多項式的充分和必要條件是羅斯陣列中第一列元素全為正值。 若第一列元素的值不是全為正值， 則表明A(s)=0在右半平面有根， 元素值的符號改變的次數(shù)(從正值到負值或從負值到正值的次數(shù))等于A(s)=0在右半平面根的數(shù)目。根據(jù)羅斯準則和霍爾維茲多項式的定義，若羅斯陣列第一列元素值的符號相同(全為正值)，則H(s)的極點全部在左半平面， 因而系統(tǒng)是穩(wěn)定系統(tǒng)。 若羅斯陣列第一列元素值的符號不完全相同， 則系統(tǒng)是不穩(wěn)