高數(shù)第五章12-13.ppt

1、高等數(shù)學(xué)電子教案 2012-2013學(xué)年第一學(xué)期,主講教師：劉玉曉 單位：數(shù)理系高等數(shù)學(xué)教研室,一、復(fù)習(xí)積分公式,(22個),冪2個,指2個,三角10個,有理式4個,無理式4個,第四節(jié),一、有理函數(shù)的積分,二、可化為有理函數(shù)的積分舉例,有理函數(shù)的積分,第四章,1.有理函數(shù)的定義:兩個多項式的商表示的函數(shù)，即,2.有理函數(shù)的分類:,有理函數(shù),整式函數(shù),分式函數(shù),真分式,假分式,=多項式 + 真分式,一、 有理函數(shù)的積分,難點:,將真分式化為部分分式之和.,3.真分式 的分解:,(1)由于 在實數(shù)范圍內(nèi)可分解為若干個一次式與,二次質(zhì)因式的乘積.,(2) 可分解為部分分式之和.,(省去下列結(jié)論的正確

2、性的證明),分母中若有因式 ，則分解后為,特殊地：,分解后為,分母中若有因式 ，其中,則分解后為,特殊地：,分解后為,例1. 將下列真分式分解為部分分式 :,解:,(1) 用拼湊法,(2) 用賦值法,故,解:,例1. 將下列真分式分解為部分分式 :,(3) 待定系數(shù)法,原式 =,比較系數(shù)：,例1. 將下列真分式分解為部分分式 :,解:,例2. 求,解: 由例1知,說明：,將有理函數(shù)化為部分分式之和后,只出現(xiàn)三種情況：,多項式；,四種典型部分分式的積分:,再分項積分,結(jié)論: 有理函數(shù)的原函數(shù)都是初等函數(shù)(但不一 定是有理函數(shù)).,例3. 求,解：原式,另解: 原式,例4. 求,解:,說明: 將有

3、理函數(shù)分解為部分分式進(jìn)行積分雖可行,但不一定簡便,因此要注意根據(jù)被積函數(shù)的結(jié)構(gòu)尋求,簡便的方法.,又如：,1. 三角函數(shù)有理式的積分,定義：,由三角函數(shù)和常數(shù)經(jīng)過有限次四則運算構(gòu)成的函數(shù)稱為三角函數(shù)有理式.一般記為,t 的有理函數(shù)的積分,二 、可化為有理函數(shù)的積分舉例,(萬能置換公式),結(jié)論:三角函數(shù)有理式的原函數(shù)都是初等函數(shù).,例6. 求,解:,則,說明:三角函數(shù)有理式的積分方法化為有理函數(shù),1)萬能代換,2)萬能代換對三角函數(shù)的有理式的不定積分都可應(yīng)用,但,有時萬能代換不一定是最佳方法，,故計算三角有理式的,不定積分應(yīng)先考慮其它方法,不得已才用萬能置換公式.,例8. 求,解:,例7. 求,

4、解:,技巧：化分母為單項式.,另解:,被積函數(shù)為簡單根式的有理式 , 可通過根式代換,化為有理函數(shù)的積分.,例如:,2. 簡單無理函數(shù)的積分,內(nèi)容小結(jié),1. 可積函數(shù)的特殊類型,有理函數(shù),分解,多項式及部分分式之和,三角函數(shù)有理式,萬能代換,簡單無理函數(shù),三角代換,根式代換,2. 特殊類型的積分按上述方法雖然可以積出,但不一定,要注意綜合使用基本積分法 ,簡便計算 .,簡便 ,思考與練習(xí),如何求下列積分更簡便 ?,解: 1.,2. 原式,1.不定積分定義,或,若在I內(nèi)，,2.不定積分的性質(zhì),3.微分與積分的關(guān)系,第四章小結(jié),1)直接積分法：,(恒等變形后用公式),2)換元積分法：,第一類換元法

5、(也稱湊微分法):,第二類換元法:,(易積),(易積),令,d,3)分部積分法:,4.不定積分的積分法,1) 一般積分方法,有理函數(shù),分解,多項式及 部分分式之和,指數(shù)函數(shù)有理式,指數(shù)代換,三角函數(shù)有理式,萬能代換,簡單無理函數(shù),三角代換,根式代換,5.幾種特殊類型的積分,2) 需要注意的問題,(1) 一般方法不一定是最簡便的方法,(2) 初等函數(shù)的原函數(shù)不一定是初等函數(shù) ,要注意綜合,使用各種基本積分法, 進(jìn)行簡便計算 .,因此不一,定都能積出.,初等函數(shù),初等函數(shù),例如 ,備用： 求,解: 原式,注意本題技巧,本題用常規(guī)方法解很繁,解：,原式,P222第27題,作業(yè):P218T 3,6,8

6、,14,16; P221T6,9,18,19,28,31,38,40 .,預(yù)習(xí)：P223-235,第五章,積分學(xué),不定積分,定積分,定積分,第一節(jié),一、定積分問題舉例,二、 定積分的定義,三、 定積分的性質(zhì),定積分的概念及性質(zhì),第五章,矩形面積,梯形面積,a,b,實例1：求曲邊梯形的面積.,(1)曲邊梯形定義：,由一條連續(xù)曲線,所圍成的封閉圖形.,a,b,一、定積分問題舉例,曲線弧,直線段,曲邊梯形：,(2)求曲邊梯形面積的意義：,由平面曲線所圍成的平面圖形,的面積都可以轉(zhuǎn)化為曲邊梯形面積的代數(shù)和.,a,b,a,b,a,b,用矩形面積近似代替曲邊梯形面積,（四個小矩形）,（九個小矩形）,的解決

7、步驟 :,(1)分割：,在區(qū)間 a , b 中任意插入 n 1 個分點,用直線,將曲邊梯形分成 n 個小曲邊梯形;,(2)近似：,在第i 個窄曲邊梯形上任取,作以,為底 ,為高的小矩形,并以此小,矩形面積近似代替相應(yīng)的,窄曲邊梯形面積,得,把區(qū)間a,b分成n個小區(qū)間,長度為,曲邊梯形面積的近似值為,這時曲邊梯形面積為:,以上做法的步驟:,當(dāng)分割的無限細(xì)，,即最大的小區(qū)間的長度,分割,近似,取和,求極限.,(3)取和：,(4)求極限：,實例2 ：求變速直線運動的路程.,思路：,設(shè)某物體作直線運動，,已知速度,是時間間隔,上t 的一個連續(xù)函數(shù)，,且,求物體在這段時間,內(nèi)所經(jīng)過的路程.,把整段時間分

8、割成若干小段，,每小段上速度看作不變,便得到路程的近似值,求出各小段的路程再相加，,最后通過對時間的無限細(xì)分過程,求得路程的精確值.,解決步驟 :,(1)分割:,部分路程近似值,(3)求和:,(4)取極限:,則路程的精確值為：,(2)近似:,上述兩個問題的共性:,解決問題的方法步驟相同 :,“大化小 , 常代變 , 近似和 , 取極限 ”,所求量的極限結(jié)構(gòu)式相同:,特殊乘積和式的極限.,路程的精確值,曲邊梯形面積,所求量都是由一個函數(shù)及其自變量的取值范圍所確定的.,1.定義：,各小區(qū)間的長度為,在各小區(qū)間上,并作和,怎樣的分法,也不論在小區(qū)間,只要當(dāng),二、定積分的定義,我們稱這個極限,簡稱：積

9、分,注意：,(1),是一個確定的常數(shù).,定與不定的區(qū)別？,(2)定積分與區(qū)間的分割方法無關(guān)，,(3)積分值僅與被積函數(shù)及積分區(qū)間有關(guān)，,使用什么字母表示無關(guān).即,而與積分變量,的取法無關(guān).,與,(4)當(dāng),否則稱,(5),曲邊梯形面積,變速直線運動的路程,定理1.,2.存在定理,定理2.,且只有有限個間斷點,定理的證明省略,只要求記住結(jié)論.,定理3.,故改變積分區(qū)間內(nèi)有限個點處的函數(shù)值,不影響積分值.,曲邊梯形的面積,曲邊梯形面積的負(fù)值,A,表示各部分面積的,代數(shù)和.,即,3.定積分的幾何意義,之間的各部分面積的代數(shù)和.,且x軸上方的,在x軸下方的面積取負(fù)號.,面積取正號；,說明：可借助于定積分

10、的幾何意義計算簡單的定積分.,如計算,以及兩直線,所圍成的圖形的面積 A .,是由曲線,由定積分的幾何意義知：,4.和式極限與定積分的關(guān)系,(1)將定積分表示為和式極限,并計算其值.,例1. 利用定義計算定積分,解:,將 0,1 n 等分, 分點為,注. 當(dāng)n 較大時, 此值可作為 的近似值,2.將和式極限化為定積分.,例2. 用定積分表示極限:,解:,定理：,對定積分的補充規(guī)定:,說明:,在下面的性質(zhì)中，假定定積分都存在，,且沒有特別說明時不考慮積分上下限的大小,即,三、 定積分的性質(zhì),證:,(此性質(zhì)可以推廣到有限多個函數(shù)作和的情況),性質(zhì)1.,證:,性質(zhì)2.,性質(zhì)1.2稱為定積分的線性性質(zhì)

11、.,(k為常數(shù)),性質(zhì)3.,(定積分的可加性),c,證:,可以永遠(yuǎn)取 c 為分點 ,于是,在分割區(qū)間時,定積分對于積分區(qū)間具有可加性,得,證:,性質(zhì)4.,性質(zhì)5.,如果在區(qū)間a,b上,性質(zhì)5的推論：,推論1. 若在 a , b 上,證:,推論2.,證:,即,解:,例1.,比較積分值,的大小.,于是,證:,(此性質(zhì)可用于估計積分值的大致范圍),性質(zhì)6,(估值定理).,解:因為,例2.,估計積分,的值.,在區(qū)間0, 2上單調(diào)增加，,則它有最小值,最大值,即,于是,性質(zhì)7,(定積分中值定理).,則至少存在一點,證:,則由性質(zhì)6 知,根據(jù)閉區(qū)間上連續(xù)函數(shù)介值定理,使,因此定理成立.,積分中值公式,1)

12、積分中值公式的幾何解釋：,使得以區(qū)間a,b為底,以曲線,為曲邊的,曲邊梯形的面積等于同一底邊,說明:,2)積分中值定理對,3)可把,故它是有限個數(shù)的平均值概念的推廣.,因,-積分中值公式,1.定積分的定義：,3.定積分的思想和方法：,分割,化整為零,求和,積零為整,取極限,精確值定積分,特殊和式的極限,近似,以直代曲,內(nèi)容小結(jié),2.定積分的性質(zhì)：,線性性，,可加性，,可比性，,估值定理，,中值定理.,理解并熟記概念和性質(zhì),預(yù)習(xí)P236243,題13(4) 解:,即,4.和式極限與定積分的關(guān)系,(1)將定積分表示為和式極限,并計算其值.,例1. 利用定義計算定積分,解:,將 0,1 n 等分,

13、分點為,注. 當(dāng)n 較大時, 此值可作為 的近似值,2.將和式極限化為定積分.,例2. 用定積分表示極限:,解:,定理：,備用題：用定積分表示極限:,解:,另解:,P213,糾正作業(yè),法1. 原式,法2. 原式,法3. 原式,要記住代回原變量,P218,1.定積分定義,分割,2.定積分的思想和方法：,3.定積分的幾何意義,復(fù)習(xí),近似,取和,求極限.,x軸上方的取正號，,x軸下方的取負(fù)號.,曲邊梯形的面積,曲邊梯形面積的負(fù)值,A,表示各部分面積的,代數(shù)和.,4.幾個常用的等式,(1),(3),5.定積分的性質(zhì),(3),則,若,(4),(估值定理),(5),則,二、積分上限的函數(shù)及其導(dǎo)數(shù),三、牛頓

14、 萊布尼茲公式,一、引例,第二節(jié),微積分的基本公式,第五章,一、引例,在變速直線運動中, 已知位置函數(shù),與速度函數(shù),之間有關(guān)系:,物體在時間間隔,內(nèi)經(jīng)過的路程為,這種積分與原函數(shù)的關(guān)系在一定條件下具有普遍性 .,二、積分變上限的函數(shù)及其導(dǎo)數(shù),即,則稱之為積分變上限函數(shù).,就一定有一個數(shù),與之對應(yīng).,這樣得到一個新函數(shù)：,1.積分變上限函數(shù)的定義,2.積分變上限函數(shù)的性質(zhì),證:,則有,定理1.,并且,證畢,說明：,微分形式：,1) 定理 1 證明了“連續(xù)函數(shù)必有原函數(shù)”.,同時為,通過原函數(shù)計算定積分開辟了道路 .,2) 其他變限積分求導(dǎo):,求,解：,令,則,例1.,例2. 求,解:,原式,洛,

15、P242例8,解:,例3.,已知,求,解:,例4.,證:,由零點定理知,該方程在0,1內(nèi)至少有一個根.,證明：,例5.,定理2.(原函數(shù)存在定理),定理的重要意義：,(1)肯定了連續(xù)函數(shù)的原函數(shù)是存在的.,(2)初步揭示了積分學(xué)中的定積分與原函數(shù)之間的聯(lián)系.,則積分上限函數(shù),三、牛頓 萊布尼茨公式,( 牛頓 萊布尼茨公式),證:,根據(jù)定理 2,得,定理 3（微積分基本公式）,微積分基本公式表明：,注意：,求定積分的問題轉(zhuǎn)化為求原函數(shù)的問題.,一個連續(xù)函數(shù)在區(qū)間a,b上的定積分，,等于它的任意一個,原函數(shù)在區(qū)間a,b上的增量.,求下列定積分,(1)原式,解:,(2)原式,dx，,例1.,P240

16、例1、2,解:,解:,當(dāng)x0時，,的一個原函數(shù)是,dx,面圖形的面積.,面積,例2.,P240例3,P240例4,解:,原式,注意：,被積函數(shù)與積分區(qū)間的關(guān)系.,例4 . 求,解:,說明:,例5.,設(shè),原式=,第一類間斷點時,牛頓萊布尼茲公式仍成立，,但需可加性.,若是第二類間斷點，,該公式不成立.,如:,顯然錯誤.,解：,例6.,設(shè),求,證：,故它的原函數(shù)一定存在，,P241例6,積分中值定理,微分中值定理,說明：,牛頓 萊布尼茨公式,證：,P241例7,設(shè) 連續(xù)，且,解：,例9.,則,思考題：,試證: 當(dāng),時, = o( ) .,內(nèi)容小結(jié),則有,1. 微積分基本公式:,2.積分變上限函數(shù)及

17、其求導(dǎo)公式:,思考題:,它們的導(dǎo)數(shù)存在嗎？如存在等于什么？,作業(yè):P2432; 3;4;5(3);6(8)(10)(11)(12),9(2);10;12;13.,預(yù)習(xí):P244-251,備用題：如圖連續(xù)函數(shù),上的圖像分別是直徑為1,的上、下半圓周，在區(qū)間,上的圖形分別是直徑為,周，設(shè),，則下列結(jié)論正確的是（ ）,的下、上半圓,B.,C.,D.,A.,解:,原式 =,c 0 , 故,又由,得,備用題：,確定常數(shù) a , b , c 的值, 使,洛,3.微積分基本公式:,2.積分上限函數(shù):,1.定積分定義:,注意：積分上限函數(shù)存在且可導(dǎo)的條件是 在 上連續(xù).牛頓-萊布尼茲公式成立的條件是 在積分區(qū)

18、間上連續(xù),后推廣為積分區(qū)間上有有限個第一類間斷點時也成立,但需用可加性.,復(fù)習(xí),的區(qū)別與聯(lián)系：,一個確定的常數(shù),無數(shù)個函數(shù),一個函數(shù),5.定積分的值與積分變量使用的字母無關(guān).,代入如何？,第三節(jié),不定積分,換元積分法,分部積分法,定積分,換元積分法,分部積分法,定積分的換元法和,分部積分法,第五章,代入如何？,一、定積分的換元法,定理1.,1),2),證:,因此有,左端,右端,說明:,2) 必需注意：換元的同時應(yīng)換限,3) 與不定積分的換元公式相比,這里沒有要求,上限與上限對應(yīng),下限與下限對應(yīng).,單調(diào).,在這個值域上連續(xù)公式仍成立.,原函數(shù)中的變量不必代回.,例1. 計算,解：,且,由定積分的

19、幾何意義：,P246例1,例1. 計算,解：, 原式 =,說明：若由 x 的范圍求 t 的范圍時如下做法對嗎？,且,例2.求,令,2,3,解：,說明： 換元公式也可反過來使用 , 即,或配元,配元不換限,例3. 計算,解:,令,另解:,說明：,不換元時不換限，,換元的同時應(yīng)換限.,P246例2,例4.,計算,解:,由于,原式=,注意：,去絕對值或去根號時,應(yīng)注意其正負(fù),否則就會出錯.,P246例3,能湊微分就不換元,例5.,解:,P250例9,證:,則,令,P247例4,二、幾個重要的代換技巧及常用結(jié)論,1.奇偶函數(shù)的定積分,即,結(jié)論1：,且有,P247例5,證:,奇,偶,偶倍奇零,奇函數(shù),解

20、:,例1. 計算,原式,偶函數(shù),單位圓的面積,證:,例2.,證畢,則,經(jīng)驗：,特點：使限變號,特點：不改變積分限,P253第2題,結(jié)論2： 若,在,上連續(xù)，證明：,證:,特別的：,2.兩個常用公式,(n為正整數(shù)),P247例6,(2) 設(shè),證:,例3. 計算,解:,該被積函數(shù)的原函數(shù)不是初等函數(shù),3.周期函數(shù)的定積分,設(shè) 是以T 為周期的連續(xù)函數(shù)，則,證明：,由于,證畢,結(jié)論3：,P249例7,例4.,計算,周期的周期函數(shù),解:,4.積分上限函數(shù)的奇偶性,證明：,(1),同理可證明(2).,設(shè) 是連續(xù)函數(shù)， . 證明：,結(jié)論4：,P254第6題,當(dāng) 為周期函數(shù)， 也是周期函數(shù),設(shè) 是連續(xù)函數(shù)，

21、 是 的原函數(shù),則( ),設(shè) 是連續(xù)函數(shù),下列函數(shù)必為偶函數(shù)的是( ),02研,1999研,當(dāng) 為奇， 必偶,當(dāng) 為偶， 必奇,當(dāng) 為單調(diào)增函數(shù)， 也是單調(diào)增函數(shù),設(shè) 連續(xù)，則,解:,A,練習(xí)：,練習(xí)： 求,定積分的換元公式：,主要作用：,1.簡化定積分的計算，,2.證明一些等式.,不換元時不換限，換元的同時必?fù)Q限，上限對上限,下限對下限.,內(nèi)容小結(jié),幾個重要結(jié)論：,思考題：,解:,作業(yè)P253: 1(4)(10)(11)(16)(21)(24); 3；P270T13.,糾正作業(yè),內(nèi)單調(diào)遞減,另解：,1.定積分的計算方法：,復(fù)習(xí),(1)微積分基本公式：,(2)定積分的換元公式：,2.定積分計算

22、的特殊方法(公式法,奇偶性,周期性,幾何意義等),二、定積分的分部積分法,第三節(jié),不定積分,一、定積分的換元法,換元積分法,分部積分法,定積分,換元積分法,分部積分法,定積分的換元法和,分部積分法,第五章,不定積分的分部積分公式：,則有,二、定積分的分部積分法,定理2.,證明：,而,則,定積分的分部積分公式,例1. 計算,主要作用：,2.證明一些等式.,1.簡化定積分的計算,定積分的分部積分公式：,解：,原式 =,P251例10,解：,例2. 計算,分部法常見題型： 化簡計算； 出現(xiàn)循環(huán)； 遞推公式.,解：,例3. 計算,綜合運用各種積分方法,例4. 計算,解：,例5. 證明,證：,n 為偶數(shù)

23、,n 為奇數(shù),由此得,積分 關(guān)于下標(biāo)的遞推公式,由此得,(n為偶數(shù)),于是,n 為偶數(shù)時,n 為奇數(shù)時,(n 為奇數(shù)),故所證結(jié)論成立 .,n 為偶數(shù),n 為奇數(shù),例6.,計算,解：,設(shè),則,于是,定積分的分部積分公式：,（注意與不定積分分部積分法的區(qū)別）,公式:,內(nèi)容小結(jié),定積分小結(jié),1.定積分定義：,2.定積分的幾何意義：,3.定積分的性質(zhì)：,線性性,可加性,比較大小,估值定理,中值定理.,4.定積分的計算方法(常規(guī)計算方法有三種),(1)微積分基本公式:,dx,(2)定積分的換元公式：,(3)定積分的分部積分公式：,5.定積分計算的特殊方法(公式法,奇偶性,周期性,幾何意義等),6.重要

24、函數(shù),(1)積分上限函數(shù):,7.常考題型,比較大??；求定積分；證明積分等式；證明積分不等式；與積分變上限函數(shù)有關(guān)的題目.,注意：各公式成立是有條件的.,例題與解答,解:,1.,右端,設(shè) 為連續(xù)函數(shù)，試證,分部積分,= 左端,P270第11題,2. 設(shè),證 : 設(shè),且,試證 :,則,故 F(x)在a,b 上單調(diào)遞增 ,證畢,P270第9題,3.,解:,考研題,計算,另解 求,解: 令,則,原式,解：,P244第11題,5. 證明,證：,是以 為周期的函數(shù).,證畢,04研數(shù)一,提示：,6. 設(shè),解法1:,解法2:,對已知等式兩邊求導(dǎo),得,思考:,若改題為,解:,原式 =,c 0 , 故,又由,得,

25、7.,確定常數(shù) a , b , c 的值, 使,洛,8. 設(shè) 求,解:,無法直接求出f(x),所以采用分部積分法.,練習(xí): 如圖, 曲線 C 的方程為,解:,是它的一,個拐點,線, 其交點為(2,4),設(shè)函數(shù)f (x)具有三階連續(xù)導(dǎo)數(shù),計算定,積分,直線 l1與 l2 分別是曲線C在點(0, 0)與(3, 2)處的切,(2005 考研),0,設(shè) 連續(xù)，則,解:,A,練習(xí)：,練習(xí): 求,作業(yè)P253：7 (1)(4)(5)(9)(10)(11)(13),練習(xí)：設(shè),在,上連續(xù)，,為偶函數(shù),且 滿足條件,(1)證明：,(2) 利用(1)的結(jié)論計算:,提示：,09研數(shù)一：,糾正作業(yè),用奇偶性較簡單.,

26、證明：,左端,=右端,P270T 13,回憶：,1.由一條連續(xù)曲線,所圍成的曲邊梯形的面積是,3.定積分,2.定積分定義:,二、無界函數(shù)的反常積分,第四節(jié),常義積分,積分限有限,被積函數(shù)有界,推廣,一、無窮限的反常積分,反常積分,(廣義積分),反常積分,第五章,如右圖中的開口曲邊梯形：,定義1：,則稱此極限為函數(shù),上的反常積分.,一、無窮限的反常積分,解：,例1.,解：,例2. 計算反常積分,注意:,為了簡便起見,另解：,原式,例3. 計算反常積分,解：,因為：,0.,對反常積分,收斂時才可以象定積分一樣用分部積分法 .,P257例2,證：,例4.,證明反常積分,P257例3,類似地：,定義：,則稱此極限為函數(shù),上的反常積分.,定義：,一般地：,計算方法：,例5.,計算,解：,P256例1,思考:,分析:,所以,原積分發(fā)散 !,注意: 對反常積分, 只有在收斂的條件下才能使用,“偶