江蘇省揚州市邗江中學2020學年高二數學下學期期中試題 理（含解析）（通用）

1、江蘇省邗江中學2020學年高二下學期期中考試數學（理）試題一、填空題：（本大題共14小題，每小題5分，共70分）1.已知復數（為虛數單位），則=_【答案】5【解析】【分析】直接利用復數的模的公式求解.【詳解】因為復數，所以.故答案為：5【點睛】（1）本題主要考查復數的模的計算，意在考查學生對該知識的掌握水平.(2) 復數的模.2.已知集合 ，則_【答案】【解析】【分析】求解出集合，根據交集定義求得結果.【詳解】本題正確結果：【點睛】本題考查集合運算中的交集運算，屬于基礎題.3.觀察下列不等式：；則第個不等式為_【答案】【解析】試題分析：不等式的規(guī)律是：，則第個不等式為考點：歸納推理點評：歸納推

2、理，關鍵在于觀察事實，尋求規(guī)律，然后得到結論。對此類題目，只要用心思考，都能做得很好。4.已知，用數學歸納法證明時，_【答案】【解析】試題分析：因為假設時，當時，所以 考點：數學歸納法【方法點晴】本題主要考查了數學歸納法，由歸納法的性質，我們由對成立，則它對也成立，由此類推，對于的任意整數均成立，其中熟記數學歸納法的步驟和推理結構是解答此類問題的關鍵，本題的解答中根據數學歸納法的思想，得出當和時，分別寫出和的表達式，即可作差求解的表示形式，屬于基礎題5.已知，是矩陣的屬于特征值的一個特征向量，則矩陣的另一個特征值為_【答案】-3【解析】【分析】由求得，則可得矩陣的特征多項式為，令求得結果.【詳

3、解】由題意得：，即可得：，解得： 特征多項式為則 或另一個特征值為：本題正確結果：【點睛】本題考查矩陣的特征向量問題，屬于基礎題.6.設隨機變量，且，則事件“”的概率為_（用數字作答）【答案】【解析】【分析】根據二項分布求得，再利用二項分布概率公式求得結果.【詳解】由可知：本題正確結果：【點睛】本題考查二項分布中方差公式、概率公式的應用，屬于基礎題.7.已知命題，命題，若命題且是真命題，則實數的取值范圍是_【答案】【解析】試題分析：是真命題，則為真命題，為真命題，命題為真命題，則，命題 為真命題，則，所以考點：1、命題的真假性；2、一元二次不等式恒成立【方法點睛】本題主要考察存在性問題，一元二

4、次不等式恒成立問題，存在性問題等價于或，對于恒成立問題，常用到以下兩個結論：（1），（2），一元二次不等式在上恒成立，看開口方向和判別式8.已知，設，則_【答案】1023【解析】【分析】根據組合數公式性質可得；分別代入和求得和，作差即可得到結果.【詳解】 即：代入可得：代入可得：本題正確結果：【點睛】本題考查組合數的性質、二項展開式系數和的應用問題，對于與二項展開式系數和有關的問題，常采用特殊值的方式來求解.9.在平面直角坐標系中，曲線的參數方程是（為參數）以原點O為極點，軸正半軸為極軸建立極坐標系，直線的極坐標方程是,直線被曲線截得的線段長為_【答案】【解析】【分析】將曲線的參數方程化為普通

5、方程；直線極坐標方程化為直角坐標方程，聯(lián)立后求得交點坐標，利用兩點間距離公式求得線段長.【詳解】由得的普通方程為：又的直角坐標方程為：聯(lián)立，解得交點坐標為：，直線被曲線截得的線段長為：本題正確結果：【點睛】本題考查直線被曲線截得的弦長問題，關鍵是能夠將參數方程化為普通方程、極坐標方程化為直角坐標方程，進而在直角坐標系中來求解.10.下列命題錯誤的是_（1）命題“若，則”的逆否命題為“若中至少有一個不為0，則”；（2）若命題：，則：；（3）中，“”是“”的充要條件；（4）若向量滿足，則的夾角為鈍角。【答案】【解析】試題分析：根據題意，由于命題“若，則” 的逆否命題為“若，中至少有一個不為，則”成

6、立。若命題：，則：，成立。中，是的充要條件成立。若向量，滿足，則與的夾角為鈍角，可能是平角，因此錯誤，故填寫考點：命題的真假判定點評：解決的關鍵是根據四種命題的關系，以及充要條件來求解，屬于基礎題。11.有個座位連成一排，現有4人就坐，則恰有個空座位相鄰的不同坐法有_種.（用數字作答）【答案】480【解析】【分析】根據題意，分2步進行分析：，將4人全排列，安排在4個座位上，排好后，有5個空檔可用，將3個空座位分成1、2的兩組，將其安排在5個空檔之中，由分步計數原理計算可得答案【詳解】根據題意，分2步進行分析：，將4人全排列，安排在4個座位上，有=24種情況，排好后，有5個空檔可用，將3個空座位

7、分成1、2的兩組，將其安排在5個空檔之中，有種情況，則恰有2個空座位相鄰的不同坐法有2420=480種；故答案為：480【點睛】(1)本題主要考查排列組合綜合應用，意在考查學生對該知識的掌握水平和分析推理能力.(2)排列組合常用的方法：一般問題直接法、相鄰問題捆綁法、不相鄰問題插空法、特殊對象優(yōu)先法、等概率問題縮倍法、至少問題間接法、復雜問題分類法、小數問題列舉法.12.對大于1的自然數m的三次冪可用奇數進行以下方式“分裂”：，仿此，若m3的“分裂數”中有一個是413，則m_【答案】20【解析】【分析】通過歸納推理，可知為分裂后的第個數；再根據分裂數的個數和為個，找到使得的第一個正整數即可.【

8、詳解】將分裂后的數字排序為：當時，即為分裂后的第個數由到的分裂數中，共有個由題意可知是第一個使得的正整數當時，當時，本題正確結果：【點睛】本題考查歸納推理相關應用，關鍵是通過已知歸納總結出規(guī)律，從而利用規(guī)律求得結果.13.已知復數滿足，則的最大值為_【答案】【解析】【分析】將等式變?yōu)?，根據復數模的運算性質得到，根據不等式求得最大值.【詳解】 由復數模的性質可得：，即解不等式可得：本題正確結果：【點睛】本題考查復數的模的性質的應用，通過模的性質構造出不等關系，解不等式求得最值.14.已知各項均為正數且項數為4的數列（n1，2，3，4）的首項為1，若存在，使得對于任意的 (7，8)，均有（1，2）

9、成立，則的取值范圍為_【答案】（2,3）【解析】【分析】分別代入和得到兩個不等式，可整理出滿足的關系式；兩個不等式聯(lián)立可得到與的關系，從而根據的范圍得到的取值范圍.【詳解】當時，即當時，由得： 由得： 綜上所述：【點睛】本題考查數列與不等式的綜合應用問題，關鍵是能夠通過所給出的遞推關系式，以作為橋梁，構建出與之間滿足的不等關系，從而能夠使范圍得以求解.本題對于不等式知識的應用要求較高，屬于較難題.二、解答題：本大題共6小題，共計90分，請在答題卷指定區(qū)域內作答，解答時應寫出文字說明、證明或演算步驟15.設函數定義域為，函數，的值域為（1）當時，求；（2）若“”是“”的必要不充分條件，求實數的取

10、值范圍【答案】（1）；（2）.【解析】試題分析：（1）借助題設條件解二次不等式和求值域求出集合求解；（2）借助題設運用充分必要條件的結論推斷求解.試題解析：（1）由，解得，所以，又函數在區(qū)間上單調遞減，所以，即當時，所以（2）首先要求，而“”是“”的必要不充分條件，所以是的真子集，從而， 解得考點：二次不等式及集合求交計算和子集的包含關系等有關知識的綜合運用.16.已知直線l：（1）矩陣A 所對應的變換將直線l變換為自身，求a的值；（2）若一條曲線C在關于直線l的反射變換下變?yōu)榍€C：，求此反射變換所對應的矩陣B，并求出曲線C的方程【答案】（1） （2）；【解析】【分析】（1）根據矩陣變換得到

11、變換后的方程，利用與原直線相同構造等式，求出；（2）求出反射變換在基上的作用，即與關于直線的對稱點坐標，即可得到矩陣；再根據矩陣變換的方法求得曲線.【詳解】（1）設為上任意一點，其在的作用下變?yōu)閯t，即，代入可得：，整理可得： （2）設點關于的對稱點 同理可求得關于的對稱點 設曲線上的任意一點為，其在的作用下變?yōu)?，代入得：，整理可得：【點睛】本題考查矩陣變換中的反射變換，關鍵是明確矩陣變換的基本運算原理和方法，屬于常規(guī)題型.17.某小組共10人，利用寒假參加義工活動，已知參加義工活動次數為1，2，3的人數分別為3，3，4現從這10人中選出2人作為該組代表參加座談會（1）記“選出2人參加義工活動

12、的次數之和為4”為事件，求事件發(fā)生的概率；（2）設為選出2人參加義工活動次數之差的絕對值，求隨機變量的分布列和數學期望【答案】（1） ； （2）.【解析】【分析】（1）分別計算次數之和為的兩種情況的選法，根據古典概型計算得到結果；（2）首先確定所有可能的取值為，分別結算每個取值所對應的概率，從而可得分布列；根據數學期望的公式計算可得期望.【詳解】（1）參加義工活動次數之和為，則人分別參加活動次數為“和”或“和”次數為“和”共有：種選法；次數為“和”共有：種選法則所以事件的發(fā)生的概率為（2）隨機變量的所有可能的取值為；所以隨機變量的分布列為：數學期望【點睛】本題考查古典概型、分布列與數學期望的相

13、關知識，涉及到簡單的排列組合的應用，屬于常規(guī)題型.18.如圖，在四棱錐中，底面是矩形，平面，.（1）求直線與平面所成角的正弦值；（2）若點分別在上，且平面，試確定點的位置【答案】（1）；（2）M為AB的中點，N為PC的中點【解析】【分析】（1）由題意知，AB，AD，AP兩兩垂直以為正交基底，建立空間直角坐標系，求平面PCD的一個法向量為，由空間向量的線面角公式求解即可；（2）設 ，利用平面PCD，所以，得到的方程，求解即可確定M,N的位置【詳解】（1）由題意知，AB，AD，AP兩兩垂直以為正交基底，建立如圖所示的空間直角坐標系，則從而設平面PCD的法向量則即不妨取則所以平面PCD的一個法向量為

14、 設直線PB與平面PCD所成角為所以即直線PB與平面PCD所成角的正弦值為 （2）設則設則而所以由（1）知，平面PCD的一個法向量為，因為平面PCD，所以所以解得，所以M為AB的中點，N為PC的中點 【點睛】本題考查空間向量的應用，求線面角，探索性問題求點位置，熟練掌握空間向量的運算是關鍵，是基礎題19.已知數列是等差數列，且是展開式的前三項的系數.（1）求的值；（2）求展開式的中間項；（3）當時，用數學歸納法證明：.【答案】（1）；（2）；（3）見解析【解析】【分析】（1）先求出，由可得m的值.(2)求展開式中的第五項即得解.(3)利用數學歸納法證明.【詳解】（1）依題意，由可得（舍去），或 （2）所以展開式的中間項是第五項為：； （3）證明：由題得，時，結論成立，設當時，則時， 由可知，即綜合可得，當時，【點睛】(1)本題主要考查二項式定理，考查求二項式展開式的指定項，考查數學歸納法證明不等式，意在考查學生對這些知識的掌握水平和分析推理能力.(2) 證明不等式時，有時根據需要把需證明的不等式的值適當放大或縮小，使其化繁為簡，化難為易，達到證明的目的，這種方法稱為放縮法.放縮的常見技巧：添加或舍去一些項，如：；將分子或分母放大或縮小，如： ；利用基本不等式等，如：.20.已知非空有限實數集的所有非空子集依次記為，集合中所有元素的平均值記為。將所有組