《正弦定理和余弦定理應(yīng)用舉例》..ppt

1、能夠運用正弦定理、余弦定理等知識和方法解決一些與測量和幾何計算有關(guān)的實際問題.,1.仰角和俯角 與目標(biāo)視線同在一鉛垂平面內(nèi)的水平視線和目標(biāo)視線 的夾角，目標(biāo)視線在水平視線上方時叫仰角，目標(biāo)視線 在水平視線下方時叫俯角(如圖所示).,2.方位角 一般指北方向線順時針到目標(biāo)方向線的水平角，如方位 角45，是指北偏東45，即東北方向. 3.坡角 坡面與水平面的夾角(如圖所示).,4.坡比 坡面的鉛直高度與水平寬度之比，即i tan (i為坡比，為坡角).,1.從A處望B處的仰角為，從B處望A處的俯角為，則、 的關(guān)系為 () A. B. C.90 D.180,解析：根據(jù)仰角和俯角的定義可知.,答案：B

2、,2.若P在Q的北偏東44，則Q在P的 () A.東偏北46 B.東偏北44 C.南偏西44 D.西偏南44,解析：由方位角的定義可知，Q應(yīng)在P的南偏西44.,答案：C,3.已知兩座燈塔A和B與海洋觀察站C的距離相等，燈塔 A在觀察站C的北偏東40，燈塔B在觀察站C的南偏東 60，則燈塔A在燈塔B的 () A.北偏東10 B.北偏西10 C.南偏東10 D.南偏西10,解析：如圖所示，由已知ACB180406080， 又ACBC，AABC50，605010. 燈塔A位于燈塔B的北偏西10.,答案：B,4.如圖，在ABC中，若A120，AB5，BC7，則 SABC.,解析：在ABC中，由余弦定理

3、得BC2AB2AC22ABACcos120， 即4925AC25AC， 解之得AC3. SABC ABACsinA 53 ,答案：,5.在200 m高的山頂上，測得山下一塔的塔頂與塔底的俯 角分別是30、60，則塔高為m.,解析：如圖所示，設(shè)塔高為h m.由題意及圖可知： (200h)tan60 解得：h m.,答案：,解決該類問題的一般步驟： (1)分析：理解題意，分清已知與未知，畫出示意圖； (2)建模：根據(jù)已知條件與求解目標(biāo)，把已知量與求解量盡量 集中在有關(guān)的三角形中，建立一個解斜三角形的數(shù)學(xué)模型； (3)求解：利用正弦定理或余弦定理有序地解出三角形，求得 數(shù)學(xué)模型的解； (4)檢驗：檢

4、驗上述所求的解是否具有實際意義，從而得出實 際問題的解.,特別警示(1)要計算距離就必須把這個距離歸結(jié)到一個三角形中，通過正弦定理或余弦定理進行計算，但無論是正弦定理還是余弦定理都得至少知道三角形的一個邊長，即在解決問題時，必須把我們已經(jīng)知道長度的那個邊長和需要計算的那個邊長納入到同一個三角形中，或是通過間接的途徑納入到同一個三角形中，這是我們分析這類問題的一個基本出發(fā)點.,(2)測量不可直接到達(dá)的兩點之間的距離，只要在這兩個點所在的平面上選取兩個可以測量距離的點，測量出這兩點之間的距離，及這兩個點對所測量的兩個點的張角，就可以使用正弦定理、余弦定理解決問題.,(2009遼寧高考)如圖 所示，

5、A、B、C、D都在同一個 與水平面垂直的平面內(nèi)，B、 D為兩島上的兩座燈塔的塔頂. 測量船于水面A處測得B點和D 點的仰角分別為75,30，于水 面C處測得B點和D點的仰角均為60，AC0.1 km.試探究圖中B，D間距離與另外哪兩點間距離相等，然后求B、D的距離(計算結(jié)果精確到0.01 km， 1.414， 2.449).,思路點撥,課堂筆記在ACD中，DAC30， ADC60DAC30， 所以CDAC0.1. 又BCD180606060， 故CB是CAD底邊AD的中垂線， 所以BDBA. 在ABC中， 即AB 因此，BD 0.33 km. 故B、D的距離約為0.33 km.,正、余弦定理在

6、測高問題中的應(yīng)用,特別警示解決該類問題時，一定要準(zhǔn)確理解仰角和俯角的概念.,某人在塔的正東沿著南偏西60的方向前進40米后，望見塔在東北方向，若沿途測得塔頂?shù)淖畲笱鼋菫?0，求塔高.,思路點撥依題意畫圖，某人在C 處，AB為塔高，他沿CD前進，CD 40米，此時DBF45，從C到D沿 途測塔的仰角，只有B到測試點的距 離最短時，仰角才最大，這是因為 tanAEB ，AB為定值，BE最小時，仰角最大.要求出塔高AB，必須先求BE，而要求BE，需先求BD(或BC).,課堂筆記在BCD中，CD40，BCD30，DBC135，由正弦定理得 BD 20 . 過B作BECD于E顯然當(dāng)人在E處時，測得塔的仰

7、角最大，有BEA30，,在RtBED中， BDE1801353015. BEDBsin1520 10( 1). 在RtABE中， AEB30， ABBEtan30 (3 )(米). 故所求的塔高為 (3 )米.,1.測量角度，首先應(yīng)明確方位角、方向角的含義. 2.根據(jù)題意正確畫出示意圖，確定所求的角在哪個三角形 中，該三角形中已知哪些量，需求哪些量，然后采用正 弦定理或余弦定理解決.,如圖，為了解某海域海底構(gòu)造，在海平面內(nèi)一條直線上的A，B，C三點進行測量，已知AB50 m，BC120 m，于A處測得水深A(yù)D80 m，于B處測得水深BE200 m，于C處測得水深CF110 m，求DEF的余弦值

8、.,思路點撥,課堂筆記作DMAC交BE于N，交CF于M. DF DE EF,在DEF中，由余弦定理， cosDEF ,高考對正弦定理和余弦定理在實際中的應(yīng)用的考查，其常規(guī)考法為：依據(jù)實際問題背景，直接給出測量數(shù)據(jù)，通過考生作圖分析，然后選用恰當(dāng)?shù)墓街苯佑嬎?而09年寧夏、海南高考打破常規(guī)，并沒有直接給出測量數(shù)據(jù)讓考生直接計算，而是要求,考生親臨實際問題的環(huán)境里進行具體操作，找到解決問題的方案，并設(shè)計出計算步驟，可以說是一道真正意義上的應(yīng)用題，是一個新的考查方向.,考題印證 (2009寧夏、海南高考)(12分) 為了測量兩山頂M、N間的距 離，飛機沿水平方向在A、B 兩點進行測量.A、B、M、

9、N在同一個鉛垂平面內(nèi)(如示意圖).飛機能夠測量的數(shù)據(jù)有俯角和A、B間的距離.,設(shè)計一個方案，包括：指出需要測量的數(shù)據(jù)(用字母表示，并在圖中標(biāo)出)；用文字和公式寫出計算M、N間的距離的步驟.,【解】方案一：需要測量的數(shù)據(jù)有：A點到M、N點的俯角1、1；B點到M、N的俯角2、2；A、B間的距離d(如圖所示).(6分),第一步：計算AM.由正弦定理AM(8分) 第二步：計算AN.由正弦定理AN ；(10分) 第三步：計算MN.由余弦定理 MN (12分),方案二：需要測量的數(shù)據(jù)有： A點到M、N點的俯角1、1；B點到M、N點的俯角2、2；A、B的距離d(如圖所示).(6分) 第一步：計算BM.由正弦

10、定理BM ；(8分) 第二步：計算BN.由正弦定理BN ；(10分) 第三步，計算MN.由余弦定理 MN (12分),自主體驗 2009年11月13日，中國 第四批護航編隊“馬鞍山” 艦、“溫州”艦順利抵達(dá)亞丁灣海域執(zhí)行護航任務(wù)，在一次護航過程位于C處的“馬鞍山”艦接到位于其東偏南15方向，相距2海里的A處某商船求救信號，稱在其東偏北45方向，相距( 1)海里的B處，一艘同行商船被海盜劫持，,并向北偏東30方向，以10海里每小時速度逃竄，“馬鞍山”艦最快速度為10 海里/小時，請你設(shè)計一套“馬鞍山”艦追擊海盜船只的方案，使“馬鞍山”艦?zāi)茏羁旖孬@海盜船，包括：“馬鞍山”艦航行的速度及方向；追上海

11、盜船所用時間.,解：如圖，設(shè)“馬鞍山”艦以 10 海里/小時速度追擊，t 小時后在D處截獲海盜船. 則CD10 t海里，BD10 t海里，在ABC中，由余弦定理得BC2AB2AC22ABACcosA ( 1)222( 1)2cos1206， BC 海里.,又 sinABC ABC45，B點在C點的正東方向上， CBD9030120. 在BCD中，由正弦定理，得,sinBCD BCD30，“鞍山艦”沿北偏東60的方向行駛. 又在BCD中，CBD120，BCD30， D30，BDBC，即10t . t 小時15分鐘. 綜上所述，“馬鞍山”航沿北偏東60方向，以10 海里/小時的速度航行，15分鐘后

12、能截獲海盜船.,1.一船向正北航行，看見正西方向有相距10海里的兩個燈 塔恰好與它在一條直線上，繼續(xù)航行半小時后，看見一 燈塔在船的南偏西60，另一燈塔在船的南偏西75，則這 只船的速度是每小時 () A.5海里B.5 海里 C.10海里 D.10 海里,解析：如圖，依題意有 BAC60，BAD75， 所以CADCDA15， 從而CDCA10，在直角三角形ABC中，可得AB5，于是這只船的速度是 10(海里/小時).,答案：C,2.某人向正東方向走x km后，向右轉(zhuǎn)150，然后朝新方向 走3 km，結(jié)果他離出發(fā)點恰好是 km，那么x的值為() A. B.2 C. 或2 D.,解析：如圖所示，設(shè)

13、此人從A出發(fā)，則ABx，BC3，AC ，ABC30， 由正弦定理 ， 得CAB60或120， 當(dāng)CAB60時，ACB90，AB2 ； 當(dāng)CAB120時，ACB30，AB .,答案：C,3.如圖所示，為了測量某障礙物兩側(cè)A、B間的距離，給定 下列四組數(shù)據(jù)，不能確定A、B間距離的是 () A.，a，bB.，a C.a，b， D.，b,.,解析：選項B中由正弦定理可求b，再由余弦定理可確定AB.選項C中可由余弦定理確定AB. 選項D同B類似.,答案：A,4.甲、乙兩樓相距20米，從乙樓底望甲樓頂?shù)难鼋?為60，從甲樓頂望乙樓頂?shù)母┙菫?0，則甲、 乙兩樓的高分別是 .,解析：如圖，依題意有 甲樓的高

14、度AB20tan60 20 米，又CMDB20米， CAM60，所以AMCM 米，故乙樓的高 度為CD20 米.,答案：20 米， 米,5.(2010保定模擬)在ABC中，若a3 ，cosC ， SABC4 ，則b.,解析：cosC ，sinC ， 又SABC4 ，即 absinC4 ，b2 .,答案：2,6.如圖，港口B在港口O正東120海 里處，小島C在港口O北偏東60 方向，港口B北偏西30方向上. 一艘科學(xué)考察船從港口O出發(fā)， 沿北偏東30的OA方向以20海里/小 時的速度駛離港口O，一艘快艇從港口B出發(fā)，以60海里/ 小時的速度駛向小島C，在C島裝運補給物資后給考察船 送去.現(xiàn)兩船同時出發(fā)，補給物資的裝船時間為1小時，問 快艇駛離港口B后，最少要經(jīng)過多少小時才能和考察船相遇？,解：設(shè)快艇駛離港口B后，最 少要經(jīng)過x小時，在OA上的點 D處與考察船相