數(shù)字信號(hào)處理第三版西安科大出版高西全丁玉美課后答案第2章.ppt

1、第2章時(shí)域離散信號(hào)和系統(tǒng)的頻域分析,2.1學(xué)習(xí)要點(diǎn)與重要公式 2.2FT和ZT的逆變換 2.3分析信號(hào)和系統(tǒng)的頻率特性2.4例題 2.5習(xí)題與上機(jī)題解答,2.1學(xué)習(xí)要點(diǎn)與重要公式 數(shù)字信號(hào)處理中有三個(gè)重要的數(shù)學(xué)變換工具， 即傅里葉變換（FT）、 Z變換（ZT）和離散傅里葉變換（DFT）。 利用它們可以將信號(hào)和系統(tǒng)在時(shí)域空間和頻域空間相互轉(zhuǎn)換， 這方便了對(duì)信號(hào)和系統(tǒng)的分析和處理。 三種變換互有聯(lián)系， 但又不同。 表征一個(gè)信號(hào)和系統(tǒng)的頻域特性是用傅里葉變換。 Z變換是傅里葉變換的一種推廣， 單位圓上的Z變換就是傅里葉變換。,在z域進(jìn)行分析問題會(huì)感到既靈活又方便。 離散傅里葉變換是離散化的傅里葉變換

2、， 因此用計(jì)算機(jī)分析和處理信號(hào)時(shí)， 全用離散傅里葉變換進(jìn)行。 離散傅里葉變換具有快速算法FFT， 使離散傅里葉變換在應(yīng)用中更加方便與廣泛。 但是離散傅里葉變換不同于傅里葉變換和Z變換， 它將信號(hào)的時(shí)域和頻域， 都進(jìn)行了離散化， 這是它的優(yōu)點(diǎn)。 但更有它自己的特點(diǎn)， 只有掌握了這些特點(diǎn)， 才能合理正確地使用DFT。 本章只學(xué)習(xí)前兩種變換， 離散傅里葉變換及其FFT將在下一章學(xué)習(xí)。,2.1.1學(xué)習(xí)要點(diǎn) （1） 傅里葉變換的正變換和逆變換定義， 以及存在條件。 （2）傅里葉變換的性質(zhì)和定理： 傅里葉變換的周期性、 移位與頻移性質(zhì)、 時(shí)域卷積定理、 巴塞伐爾定理、 頻域卷積定理、 頻域微分性質(zhì)、 實(shí)序

3、列和一般序列的傅里葉變換的共軛對(duì)稱性。 （3）周期序列的離散傅里葉級(jí)數(shù)及周期序列的傅里葉變換表示式 。 （4）Z變換的正變換和逆變換定義， 以及收斂域與序列特性之間的關(guān)系。,（5） Z變換的定理和性質(zhì)： 移位、 反轉(zhuǎn)、 z域微分、 共軛序列的Z變換、 時(shí)域卷積定理、 初 值定理、 終值定理、 巴塞伐爾定理。 （6） 系統(tǒng)的傳輸函數(shù)和系統(tǒng)函數(shù)的求解。 （7） 用極點(diǎn)分布判斷系統(tǒng)的因果性和穩(wěn)定性。 （8） 零狀態(tài)響應(yīng)、 零輸入響應(yīng)和穩(wěn)態(tài)響應(yīng)的求解。 （9） 用零極點(diǎn)分布定性分析并畫出系統(tǒng)的幅頻特性。,2.1.2重要公式,（1）,這兩式分別是傅里葉變換的正變換和逆變換的公式。 注意正變換存在的條件是

4、序列服從絕對(duì)可和的條件， 即,（2）,這兩式是周期序列的離散傅里葉級(jí)數(shù)變換對(duì)， 可用以表現(xiàn)周期序列的頻譜特性。,（3）,該式用以求周期序列的傅里葉變換。 如果周期序列的周期是N， 則其頻譜由N條譜線組成， 注意畫圖時(shí)要用帶箭頭的線段表示。 （4） 若y(n)=x(n)*h(n), 則,這是時(shí)域卷積定理。,（5） 若y(n)=x(n)h(n), 則,這是頻域卷積定理或者稱復(fù)卷積定理。,（6）,式中, xe(n)和xo(n)是序列x(n)的共軛對(duì)稱序列和共軛反對(duì)稱序列， 常用以求序列的xe(n)和xo(n)。 （7）,這兩式分別是序列Z變換的正變換定義和它的逆Z變換定義。,（8）,前兩式均稱為巴塞

5、伐爾定理， 第一式是用序列的傅里葉變換表示， 第二式是用序列的Z變換表示。 如果令x(n)=y(n)， 可用第二式推導(dǎo)出第一式。 （9） 若x(n)=a|n|, 則,x(n)=a|n|是數(shù)字信號(hào)處理中很典型的雙邊序列， 一些測(cè)試題都是用它演變出來的。,2.2FT和ZT的逆變換 （1） FT的逆變換為,用留數(shù)定理求其逆變換， 或?qū)=ej代入X(ej)中， 得到X(z)函數(shù)， 再用求逆Z變換的方法求原序列。 注意收斂域要取能包含單位圓的收斂域， 或者說封閉曲線c可取 單位圓。,例如， 已知序列x(n)的傅里葉變換為,求其反變換x(n)。 將z=ej代入X(ej)中， 得到,因極點(diǎn)z=a， 取收斂

6、域?yàn)閨z|a|， 由X(z)很容易得到x(n)=anu(n)。,（2） ZT的逆變換為,求Z變換可以用部分分式法和圍線積分法求解。 用圍線積分法求逆Z變換有兩個(gè)關(guān)鍵。 一個(gè)關(guān)鍵是知道收斂域以及收斂域和序列特性之間的關(guān)系， 可以總結(jié)成幾句話： 收斂域包含點(diǎn)， 序列是因果序列； 收斂域在某圓以內(nèi)， 是左序列； 收斂域在某圓以外， 是右序列； 收斂域在整個(gè)z面， 是有限長(zhǎng)序列； 以上、 、 均未考慮0與兩點(diǎn)， 這兩點(diǎn)可以結(jié)合問題具體考慮。另一個(gè)關(guān)鍵是會(huì)求極點(diǎn)留數(shù)。,2.3分析信號(hào)和系統(tǒng)的頻率特性 求信號(hào)與系統(tǒng)的頻域特性要用傅里葉變換。 但分析頻率特性使用Z變換卻更方便。 我們已經(jīng)知道系統(tǒng)函數(shù)的極、

7、零點(diǎn)分布完全決定了系統(tǒng)的頻率特性， 因此可以用分析極、 零點(diǎn)分布的方法分析系統(tǒng)的頻率特性， 包括定性地畫幅頻特性， 估計(jì)峰值頻率或者谷值頻率， 判定濾波器是高通、 低通等濾波特性， 以及設(shè)計(jì)簡(jiǎn)單的濾波器（內(nèi)容在教材第5章）等。,根據(jù)零、 極點(diǎn)分布可定性畫幅頻特性。 當(dāng)頻率由0到2變化時(shí)， 觀察零點(diǎn)矢量長(zhǎng)度和極點(diǎn)矢量長(zhǎng)度的變化， 在極點(diǎn)附近會(huì)形成峰。 極點(diǎn)愈靠進(jìn)單位圓， 峰值愈高； 零點(diǎn)附近形成谷， 零點(diǎn)愈靠進(jìn)單位圓， 谷值愈低， 零點(diǎn)在單位圓上則形成幅頻特性的零點(diǎn)。 當(dāng)然， 峰值頻率就在最靠近單位圓的極點(diǎn)附近， 谷值頻率就在最靠近單位圓的零點(diǎn)附近。 濾波器是高通還是低通等濾波特性， 也可以通過

8、分析極、 零點(diǎn)分布確定， 不必等畫出幅度特性再確定。 一般在最靠近單位圓的極點(diǎn)附近是濾波器的通帶； 阻帶在最靠近單位圓的零點(diǎn)附近， 如果沒有零點(diǎn)， 則離極點(diǎn)最遠(yuǎn)的地方是阻帶。 參見下節(jié)例2.4.1。,2.4例題 例2.4.1已知IIR數(shù)字濾波器的系統(tǒng)函數(shù) 試判斷濾波器的類型（低通、 高通、 帶通、 帶阻）。 （某校碩士研究生入學(xué)考試題中的一個(gè)簡(jiǎn)單的填空題） 解： 將系統(tǒng)函數(shù)寫成下式:,系統(tǒng)的零點(diǎn)為z=0， 極點(diǎn)為z=0.9， 零點(diǎn)在z平面的原點(diǎn)， 不影響頻率特性， 而惟一的極點(diǎn)在實(shí)軸的0.9處， 因此濾波器的通帶中心在=0處。 毫無疑問， 這是一個(gè)低通濾波器。 例2.4.2假設(shè)x(n)=xr(

9、n)+jxi(n)， xr(n)和xj(n)為實(shí)序列， X(z)=ZTx(n)在單位圓的下半部分為零。 已知,求X（ej）=FTx(n)。,解： Xe(ej)=FTxr(n),因?yàn)閄(ej)=02 所以 X(e-j)=X(ej(2-)=00,當(dāng)0時(shí)， ， 故,當(dāng)2時(shí)， X(ej)=0， 故,0 2,因此 ReX(ej)=X(ej) ImX(ej)=0 例2.4.3已知,0nN N+1n2N n0, 2Nn,求x(n)的Z變換。,解： 題中x(n)是一個(gè)三角序列， 可以看做兩個(gè)相同的矩形序列的卷積。 設(shè)y(n)=RN(n)*RN(n), 則,n0 0nN1 Nn2N1 2Nn,將y(n)和x(n

10、)進(jìn)行比較， 得到y(tǒng)(n1)=x(n)。 因此 Y（z）z1=X(z) Y(z)=ZTRN(n)ZTRN(n),故,例2.4.4時(shí)域離散線性非移變系統(tǒng)的系統(tǒng)函數(shù)H(z)為,（1） 要求系統(tǒng)穩(wěn)定， 確定a和b的取值域。 （2） 要求系統(tǒng)因果穩(wěn)定， 重復(fù)（1）。 解： （1） H(z)的極點(diǎn)為a、 b， 系統(tǒng)穩(wěn)定的條件是收斂域包含單位圓， 即單位圓上不能有極點(diǎn)。 因此， 只要滿足|a|1, |b|1即可使系統(tǒng)穩(wěn)定， 或者說a和b的取值域?yàn)槌龁挝粓A以的整個(gè)z平面。（2） 系統(tǒng)因果穩(wěn)定的條件是所有極點(diǎn)全在單位圓內(nèi)， 所以a和b的取值域?yàn)?|a|1, 0|b|1,例2.4.5, f1=10 Hz， f2

11、=25 Hz， 用理想采樣頻率Fs=40 Hz對(duì)其進(jìn)行采樣得到。 （1） 寫出的表達(dá)式; （2） 對(duì)進(jìn)行頻譜分析， 寫出其傅里葉變換表達(dá)式， 并畫出其幅度譜； （3）如要用理想低通濾波器將cos(2f1t)濾出來， 理想濾波器的截止頻率應(yīng)該取多少？,解：,（2） 按照采樣定理, 的頻譜是x(t)頻譜的周期延拓， 延拓周期為Fs=40 Hz，x(t)的頻譜為,畫出幅度譜如圖2.4.1所示。,圖2.4.1,（3） 觀察圖2.4.1， 要把cos(2f1t)濾出來， 理想低通濾波器的截止頻率fc應(yīng)選在10 Hz和20 Hz之間，可選fc15 Hz。 如果直接對(duì)模擬信號(hào)x(t)=cos(2f1t)+c

12、os(2f2t)進(jìn)行濾波， 模擬理想低通濾波器的截止頻率選在10 Hz和25 Hz之間， 可以把10 Hz的信號(hào)濾出來， 但采樣信號(hào)由于把模擬頻譜按照采樣頻率周期性地延拓， 使頻譜發(fā)生變化，因此對(duì)理想低通濾波器的截止頻率要求不同。,例2.4.6對(duì)x(t)=cos(2t)+cos(5t)進(jìn)行理想采樣， 采樣間隔T=0.25 s， 得到， 再讓通過理想低通濾波器G(j)， G(j)用下式表示:,(1) 寫出的表達(dá)式; (2) 求出理想低通濾波器的輸出信號(hào)y(t)。,解：(1),（2） 為了求理想低通濾波器的輸出， 要分析的頻譜。 中的兩個(gè)余弦信號(hào)頻譜分別為在0.5和1.25的位置， 并且以2為周期

13、進(jìn)行周期性延拓， 畫出采樣信號(hào)的頻譜示意圖如圖2.4.2（a）所示， 圖2.4.2（b）是理想低通濾波器的幅頻特性。 顯然， 理想低通濾波器的輸出信號(hào)有兩個(gè)， 一個(gè)的數(shù)字頻率為0.5， 另一個(gè)的數(shù)字頻率為0.75， 相應(yīng)的模擬頻率為2和3， 這樣理想 低通濾波器的輸出為 y(t)=0.25cos(2t)+cos(3t),圖2.4.2,2.5習(xí)題與上機(jī)題解答 1 設(shè)X(ej)和Y(ej)分別是x(n)和y(n)的傅里葉變換， 試求下面序列的傅里葉變換： (1) x(nn0) (2) x*(n) (3) x(n) (4) x(n)*y(n) (5) x(n)y(n) (6) nx(n) (7) x

14、(2n) (8) x2(n),(9),解：（1）,令n=nn0, 即n=n+n0， 則,（2）,（3）,令n=n， 則,（4） FTx(n)*y(n)=X(ej)Y(ej) 下面證明上式成立：,令k=nm, 則,（5）,或者,（6） 因?yàn)?對(duì)該式兩邊求導(dǎo)， 得到,因此,（7）,令n=2n， 則,或者,（8）,利用（5）題結(jié)果， 令x(n)=y(n), 則,（9）,令n=n/2， 則,2 已知,求X(ej)的傅里葉反變換x(n)。,解：,3. 線性時(shí)不變系統(tǒng)的頻率響應(yīng)（頻率響應(yīng)函數(shù)）H(ej)=|H(ej)|ej()， 如果單位脈沖響應(yīng)h(n)為實(shí)序列， 試證明輸入x(n)=A cos(0n+j

15、)的穩(wěn)態(tài)響應(yīng)為,解： 假設(shè)輸入信號(hào)x(n)=ej0n，系統(tǒng)單位脈沖響應(yīng)為h(n)， 則系統(tǒng)輸出為,上式說明當(dāng)輸入信號(hào)為復(fù)指數(shù)序列時(shí)， 輸出序列仍是復(fù)指數(shù)序列， 且頻率相同， 但幅度和相位取決于網(wǎng)絡(luò)傳輸函數(shù)。 利用該性質(zhì)解此題：,上式中|H(ej)|是的偶函數(shù)， 相位函數(shù)是的奇函數(shù)， |H(ej)|=|H(e-j)|， ()=(), 故,4設(shè),將x(n)以4為周期進(jìn)行周期延拓， 形成周期序列， 畫出x(n)和的波形， 求出的離散傅里葉級(jí)數(shù) 和傅里葉變換。,解： 畫出x(n)和的波形如題4解圖所示。,題4解圖,或者,5. 設(shè)題5圖所示的序列x(n)的FT用X(ej)表示， 不直接求出X(ej)，

16、完成下列運(yùn)算或工作：,題5圖,(1),(2),(3),(4) 確定并畫出傅里葉變換實(shí)部ReX(ej)的時(shí)間序列xa(n)；,(5),(6),解(1),(2),(3),（4） 因?yàn)楦道锶~變換的實(shí)部對(duì)應(yīng)序列的共軛對(duì)稱部分， 即,按照上式畫出xe(n)的波形如題5解圖所示。,題5解圖,(5),(6) 因?yàn)?因此,6 試求如下序列的傅里葉變換： (1) x1(n)=(n3),(2),(3) x3(n)=anu(n)0a1 (4) x4(n)=u(n+3)u(n4) 解,(1),(2),(3),(4),或者:,7 設(shè)： （1） x(n)是實(shí)偶函數(shù)， （2） x(n)是實(shí)奇函數(shù)， 分別分析推導(dǎo)以上兩種假設(shè)

17、下， 其x(n)的傅里葉變換性質(zhì)。 解：令,(1) 因?yàn)閤(n)是實(shí)偶函數(shù)， 對(duì)上式兩邊取共軛， 得到,因此 X(ej)=X*（ej） 上式說明x(n)是實(shí)序列， X(ej)具有共軛對(duì)稱性質(zhì)。,由于x(n)是偶函數(shù)， x(n) sin是奇函數(shù)， 那么,因此,該式說明X(ej)是實(shí)函數(shù)， 且是的偶函數(shù)。 總結(jié)以上, x(n)是實(shí)偶函數(shù)時(shí)， 對(duì)應(yīng)的傅里葉變換X(ej)是實(shí)函數(shù)， 是的偶函數(shù)。 （2） x(n)是實(shí)奇函數(shù)。 上面已推出， 由于x(n)是實(shí)序列， X(ej)具有共軛對(duì)稱性質(zhì)， 即 X(ej)=X*(ej),由于x(n)是奇函數(shù)， 上式中x(n) cos是奇函數(shù)， 那么,因此,這說明X(

18、ej)是純虛數(shù)， 且是的奇函數(shù)。 8 設(shè)x(n)=R4(n)， 試求x(n)的共軛對(duì)稱序列xe(n)和共軛反對(duì)稱序列xo(n)， 并分別用圖表示。 ,解：,xe(n)和xo(n)的波形如題8解圖所示。,題8解圖,9已知x(n)=anu(n), 0a1， 分別求出其偶函數(shù)xe(n)和奇函數(shù)xo(n)的傅里葉變換。 解：,因?yàn)閤e(n)的傅里葉變換對(duì)應(yīng)X(ej)的實(shí)部， xo(n)的傅里葉變換對(duì)應(yīng)X(ej)的虛部乘以j， 因此,10 若序列h(n)是實(shí)因果序列， 其傅里葉變換的實(shí)部如下式： HR(ej)=1+cos 求序列h(n)及其傅里葉變換H(ej)。 解：,11 若序列h(n)是實(shí)因果序列，

19、 h(0)=1， 其傅里葉變換的虛部為 HI(ej)=sin 求序列h(n)及其傅里葉變換H(ej)。 解：,12 設(shè)系統(tǒng)的單位脈沖響應(yīng)h(n)=anu(n), 0a1， 輸入序列為 x(n)=(n)+2(n2) 完成下面各題： (1) 求出系統(tǒng)輸出序列y(n)； (2) 分別求出x(n)、 h(n)和y(n)的傅里葉變換。 解(1),(2),13 已知xa(t)=2 cos(2f0t)， 式中f0=100 Hz， 以采樣頻率fs=400 Hz對(duì)xa(t)進(jìn)行采樣， 得到采樣信號(hào)和時(shí)域離散信號(hào)x(n)， 試完成下面各題： （1） 寫出的傅里葉變換表示式Xa(j)； （2） 寫出和x(n)的表達(dá)

20、式； （3） 分別求出的傅里葉變換和x(n)序列的傅里葉變換。 解：,上式中指數(shù)函數(shù)的傅里葉變換不存在， 引入奇異函數(shù)函數(shù)， 它的傅里葉變換可以表示成：,（2）,（3）,式中,式中 0=0T=0.5 rad 上式推導(dǎo)過程中， 指數(shù)序列的傅里葉變換仍然不存在， 只有引入奇異函數(shù)函數(shù)才能寫出它的傅里葉變換表示式。 14 求出以下序列的Z變換及收斂域: (1) 2nu(n)(2) 2nu(n1) (3) 2nu(n)(4) (n) (5) (n1)(6) 2nu(n)u(n10),解(1),(2),(3),(4) ZT(n)=10|z| (5) ZT(n1)=z10|z| (6),15 求以下序列的

21、Z變換及其收斂域， 并在z平面上畫出極零點(diǎn)分布圖。 (1) x(n)=RN(n)N=4 (2) x(n)=Arn cos(0n+j)u(n)r=0.9, 0=0.5 rad, j= 0.25 rad (3),式中， N=4。,解(1),由z41=0， 得零點(diǎn)為,由z3(z1)=0， 得極點(diǎn)為 z1, 2=0, 1 零極點(diǎn)圖和收斂域如題15解圖(a)所示， 圖中, z=1處的零極點(diǎn)相互對(duì)消。,題15解圖,(2),零點(diǎn)為,極點(diǎn)為,極零點(diǎn)分布圖如題15解圖(b)所示。 (3)令y(n)=R4(n), 則 x(n+1)=y(n)*y(n) zX(z)=Y(z)2, X(z)=z1Y(z)2,因?yàn)?因此

22、,極點(diǎn)為z1=0, z2=1 零點(diǎn)為,在z=1處的極零點(diǎn)相互對(duì)消， 收斂域?yàn)?|z|， 極零點(diǎn)分布圖如題15解圖(c)所示。,16 已知,求出對(duì)應(yīng)X(z)的各種可能的序列表達(dá)式。 解： X(z)有兩個(gè)極點(diǎn)： z1=0.5, z2=2， 因?yàn)槭諗坑蚩偸且詷O點(diǎn)為界， 因此收斂域有三種情況： |z|0.5，0.5|z|2， 2|z|。 三種收斂域?qū)?yīng)三種不同的原序列。 （1）收斂域|z|0.5：,令,n0時(shí)， 因?yàn)閏內(nèi)無極點(diǎn)，x(n)=0; n1時(shí)， c內(nèi)有極點(diǎn) 0 ， 但z=0是一個(gè)n階極點(diǎn)， 改為求圓外極點(diǎn)留數(shù)， 圓外極點(diǎn)有z1=0.5, z2=2， 那么,(2)收斂域0.5|z|2:,n0時(shí)，

23、 c內(nèi)有極點(diǎn)0.5，,n0時(shí)， c內(nèi)有極點(diǎn) 0.5、 0 ， 但 0 是一個(gè)n階極點(diǎn)， 改成求c外極點(diǎn)留數(shù)， c外極點(diǎn)只有一個(gè)， 即2， x(n)=ResF(z), 2=2 2nu(n1) 最后得到,（3）收斂域|z|2:,n0時(shí)， c內(nèi)有極點(diǎn) 0.5、 2，,n0時(shí)， 由收斂域判斷， 這是一個(gè)因果序列， 因此x(n)=0； 或者這樣分析， c內(nèi)有極點(diǎn)0.5、 2、 0， 但0是一個(gè)n階極點(diǎn)， 改求c外極點(diǎn)留數(shù)，c外無極點(diǎn)， 所以x(n)=0。,最后得到,17 已知x(n)=anu(n), 0a1。 分別求： (1) x(n)的Z變換； (2) nx(n)的Z變換； (3) anu(n)的Z變

24、換。 解： (1),(2),(3),18 已知,分別求： （1） 收斂域0.52對(duì)應(yīng)的原序列x(n)。 ,解：,（1） 收斂域0.5|z|2: n0時(shí)，c內(nèi)有極點(diǎn)0.5， x(n)=ResF(z), 0.5=0.5n=2n n0時(shí)， c內(nèi)有極點(diǎn)0.5、 0， 但0是一個(gè)n階極點(diǎn)， 改求c外極點(diǎn)留數(shù)， c外極點(diǎn)只有2， x(n)=ResF(z), 2=2n,最后得到 x(n)=2nu(n)+2nu(n1)=2|n|2: n0時(shí)， c內(nèi)有極點(diǎn)0.5、 2，,n0時(shí)， c內(nèi)有極點(diǎn)0.5、 2、 0， 但極點(diǎn)0是一個(gè)n階極點(diǎn)， 改成求c外極點(diǎn)留數(shù)， 可是c外沒有極 點(diǎn)， 因此 x(n)=0 最后得到

25、x(n)=(0.5n2n)u(n) 19 用部分分式法求以下X(z)的反變換：,(1),(2),解： (1),(2),20 設(shè)確定性序列x(n)的自相關(guān)函數(shù)用下式表示：,試用x(n)的Z變換X(z)和x(n)的傅里葉變換X(ej)分別表示自相關(guān)函數(shù)的Z變換Rxx(z)和傅里葉變換Rxx(ej)。,解： 解法一,令m=n+m, 則,解法二,因?yàn)閤(n)是實(shí)序列， X(ej)=X*(ej)， 因此,21 用Z變換法解下列差分方程： (1) y(n)0.9y(n1)=0.05u(n)， y(n)=0 n1(2) y(n)0.9y(n1)=0.05u(n)， y(1)=1， y(n)=0n1(3) y

26、(n)0.8y(n1)0.15y(n2)=(n) y(1)=0.2, y(2)=0.5, y(n)=0, 當(dāng)n3時(shí)。解： (1) y(n)0.9y(n1)=0.05u(n)， y(n)=0n1,n0時(shí)，,n0時(shí)， y(n)=0 最后得到 y(n)=0.5 (0.9)n+1+0.5u(n),(2) y(n)0.9y(n1)=0.05u(n), y(1)=1, y(n)=0 n1,n0時(shí)，,n0時(shí)， y(n)=0 最后得到 y(n)=0.45(0.9)n+0.5u(n),(3) y(n)0.8y(n1)0.15y(n2)=(n) y(1)=0.2, y(2)=0.5, y(n)=0, 當(dāng)n2時(shí) Y

27、(z)0.8z1Y(z)+y(1)z0.15z2Y(z)+y(1)z+y(2)z2=1,n0時(shí)，,y(n)=4.365 0.3n+6.375 0.5n n0時(shí), y(n)=0 最后得到 y(n)=(4.365 0.3n+6.375 0.5n)u(n),22 設(shè)線性時(shí)不變系統(tǒng)的系統(tǒng)函數(shù)H(z)為,（1） 在z平面上用幾何法證明該系統(tǒng)是全通網(wǎng)絡(luò)， 即|H(ej)|=常數(shù)； （2） 參數(shù) a 如何取值， 才能使系統(tǒng)因果穩(wěn)定？畫出其極零點(diǎn)分布及收斂域。 解：,(1),極點(diǎn)為a, 零點(diǎn)為a1。 設(shè)a=0.6， 極零點(diǎn)分布圖如題22解圖(a)所示。 我們知道|H(ej)|等于極點(diǎn)矢量的長(zhǎng)度除以零點(diǎn)矢量的長(zhǎng)

28、度， 按照題22解圖(a)， 得到,因?yàn)榻枪茫?，且AOBAOC， 故,，即,故H(z)是一個(gè)全通網(wǎng)絡(luò)。 或者按照余弦定理證明:,題22解圖,（2） 只有選擇|a|1才能使系統(tǒng)因果穩(wěn)定。 設(shè)a=0.6， 極零點(diǎn)分布圖及收斂域如題22解圖(b)所示。 23 設(shè)系統(tǒng)由下面差分方程描述： y(n)=y(n1)+y(n2)+x(n1)（1） 求系統(tǒng)的系統(tǒng)函數(shù)H(z)， 并畫出極零點(diǎn)分布圖；（2） 限定系統(tǒng)是因果的， 寫出H(z)的收斂域， 并求出其單位脈沖響應(yīng)h(n)；（3） 限定系統(tǒng)是穩(wěn)定性的， 寫出H(z)的收斂域， 并求出其單位脈沖響應(yīng)h(n)。 解： （1） y(n)=y(n1)+y(n2)

29、+x(n1)將上式進(jìn)行Z變換， 得到 Y(z)=Y(z)z1+Y(z)z2+X(z)z1,因此,零點(diǎn)為z=0。 令z2z1=0， 求出極點(diǎn)：,極零點(diǎn)分布圖如題23解圖所示。,題23解圖,(2) 由于限定系統(tǒng)是因果的， 收斂域需選包含點(diǎn)在內(nèi)的收斂域， 即。 求系統(tǒng)的單位脈沖響應(yīng)可以用兩種方法， 一種是令輸入等于單位脈沖序列， 通過解差分方程， 其零狀態(tài)輸入解便是系統(tǒng)的單位脈沖響應(yīng)； 另一種方法是求H(z)的逆Z變換。 我們采用第二種方法。,式中,，,令,n0時(shí)， h(n)=ResF(z), z1+ResF(z), z2,因?yàn)閔(n)是因果序列, n0時(shí)， h(n)=0， 故,(3) 由于限定系統(tǒng)

30、是穩(wěn)定的， 收斂域需選包含單位圓在內(nèi)的收斂域， 即|z2|z|z1|,n0時(shí)， c內(nèi)只有極點(diǎn)z2， 只需求z2點(diǎn)的留數(shù)，,n0時(shí)， c內(nèi)只有兩個(gè)極點(diǎn)： z2和z=0， 因?yàn)閦=0是一個(gè)n階極點(diǎn)， 改成求圓外極點(diǎn)留數(shù)， 圓外極點(diǎn)只有一個(gè)， 即z1, 那么,最后得到,24 已知線性因果網(wǎng)絡(luò)用下面差分方程描述： y(n)=0.9y(n1)+x(n)+0.9x(n1) （1） 求網(wǎng)絡(luò)的系統(tǒng)函數(shù)H(z)及單位脈沖響應(yīng)h(n)； （2） 寫出網(wǎng)絡(luò)頻率響應(yīng)函數(shù)H(ej)的表達(dá)式， 并定性畫出其幅頻特性曲線； （3） 設(shè)輸入x(n)=ej0n， 求輸出y(n)。 解： （1） y(n)=0.9y(n1)+x(

31、n)+0.9x(n1) Y(z)=0.9Y(z)z1+X(z)+0.9X(z)z1,令,n1時(shí)，c內(nèi)有極點(diǎn)0.9，,n=0時(shí)， c內(nèi)有極點(diǎn)0.9 ， 0，,最后得到 h(n)=2 0.9nu(n1)+(n),（2）,極點(diǎn)為z1=0.9, 零點(diǎn)為z2=0.9。 極零點(diǎn)圖如題24解圖(a)所示。 按照極零點(diǎn)圖定性畫出的幅度特性如題24解圖(b)所示。 （3）,題24解圖,25 已知網(wǎng)絡(luò)的輸入和單位脈沖響應(yīng)分別為 x(n)=anu(n),h(n)=bnu(n) 0a1, 0b1 （1） 試用卷積法求網(wǎng)絡(luò)輸出y(n)； （2） 試用ZT法求網(wǎng)絡(luò)輸出y(n)。 解： （1） 用卷積法求y(n)。,n0時(shí)

32、，,n0時(shí)， y(n)=0 最后得到,（2） 用ZT法求y(n)。,，,令,n0時(shí)， c內(nèi)有極點(diǎn)： a、 b, 因此,因?yàn)橄到y(tǒng)是因果系統(tǒng), 所以n0時(shí)， y(n)=0。 最后得到,26 線性因果系統(tǒng)用下面差分方程描述： y(n)2ry(n1) cos+r2y(n2)=x(n) 式中， x(n)=anu(n), 0a1, 0r1, =常數(shù)， 試求系統(tǒng)的響應(yīng)y(n)。 解： 將題中給出的差分方程進(jìn)行Z變換，,式中,，,因?yàn)槭且蚬到y(tǒng)， 收斂域?yàn)閨z|max(r, |a|)， 且n0時(shí)， y(n)=0， 故,c包含三個(gè)極點(diǎn)， 即a、 z1、 z2。,27 如果x1(n)和x2(n)是兩個(gè)不同的因果穩(wěn)

33、定實(shí)序列， 求證：,式中， X1(ej)和X2(ej)分別表示x1(n)和x2(n)的傅里葉變換。 解： FTx1(n)*x2(n)=X1(ej)X2(ej) 進(jìn)行IFT， 得到,令n=0, 則,由于x1(n)和x2(n)是實(shí)穩(wěn)定因果序列， 因此,(1),(2),(3),由（1）、（2）、（3）式， 得到,28 若序列h(n)是因果序列， 其傅里葉變換的實(shí)部如 下式：,求序列h(n)及其傅里葉變換H(ej)。,解：,求上式的Z的反變換， 得到序列h(n)的共軛對(duì)稱序列he(n)為,因?yàn)閔(n)是因果序列， he(n)必定是雙邊序列， 收斂域取： a|z|a1。 n1時(shí)， c內(nèi)有極點(diǎn)： a，,n

34、=0時(shí)，,c內(nèi)有極點(diǎn)： a、 0，,因?yàn)閔e(n)=he(n)， 所以,29 若序列h(n)是因果序列， h(0)=1， 其傅里葉變換的虛部為,求序列h(n)及其傅里葉變換H(ej)。,解：,令z=ej, 有,jHI(ej)對(duì)應(yīng)h(n)的共軛反對(duì)稱序列ho(n)， 因此jHI(z)的反變換就是ho(n),因?yàn)閔(n)是因果序列， ho(n)是雙邊序列， 收斂域取: a|z|a1。,n1時(shí)， c內(nèi)有極點(diǎn)： a,n=0時(shí)， c內(nèi)有極點(diǎn)： a、 0，,因?yàn)閔I(n)=h(n), 所以,30*. 假設(shè)系統(tǒng)函數(shù)如下式：,試用MATLAB語言判斷系統(tǒng)是否穩(wěn)定。 解： 調(diào)用MATLAB函數(shù)filter計(jì)算該

35、系統(tǒng)。 系統(tǒng)響應(yīng)的程序ex230.m如下：,%程序ex230.m %調(diào)用roots函數(shù)求極點(diǎn)， 并判斷系統(tǒng)的穩(wěn)定性 A=3， 3.98， 1.17， 2.3418， 1.5147； %H(z)的分母多項(xiàng)式系數(shù) p=roots(A) %求H(z)的極點(diǎn) pm=abs(p)； %求H(z)的極點(diǎn)的模 if max(pm)1 disp(系統(tǒng)因果穩(wěn)定)， else， disp(系統(tǒng)不因果穩(wěn)定)， end 程序運(yùn)行結(jié)果如下： 極點(diǎn)： 0.7486 0.69960.7129i0.6996+0.7129i 0.6760 由極點(diǎn)分布判斷系統(tǒng)因果穩(wěn)定。,31*. 假設(shè)系統(tǒng)函數(shù)如下式：,(1) 畫出極、 零點(diǎn)分布

36、圖， 并判斷系統(tǒng)是否穩(wěn)定； (2) 用輸入單位階躍序列u(n)檢查系統(tǒng)是否穩(wěn)定。,解： （1） 求解程序ex231.m如下： %程序ex231.m %判斷系統(tǒng)的穩(wěn)定性 A=2， 2.98， 0.17， 2.3418， 1.5147； %H(z)的分母多項(xiàng)式系數(shù) B=0， 0， 1， 5， -50； %H(z)的分子多項(xiàng)式系數(shù)用極點(diǎn)分布判斷系統(tǒng)是否穩(wěn)定 subplot(2， 1， 1)； zplane(B， A)； %繪制H(z)的零極點(diǎn)圖 p=roots(A)； %求H(z)的極點(diǎn) pm=abs(p)； %求H(z)的極點(diǎn)的模,if max(pm)1 disp(系統(tǒng)因果穩(wěn)定)， else， d

37、isp(系統(tǒng)不因果穩(wěn)定)， end%畫出u(n)的系統(tǒng)輸出波形進(jìn)行判斷un=ones(1， 700)； sn=filter(B， A， un)； n=0： length(sn)1； subplot(2， 1， 2)； plot(n， sn)xlabel(n)； ylabel(s(n)程序運(yùn)行結(jié)果如下： 系統(tǒng)因果穩(wěn)定。 系統(tǒng)的零極點(diǎn)圖如題31*解圖所示。,題31*解圖,（2） 系統(tǒng)對(duì)于單位階躍序列的響應(yīng)如題31*解圖所示， 因?yàn)樗呌诜€(wěn)態(tài)值， 因此系統(tǒng)穩(wěn)定。 32*. 下面四個(gè)二階網(wǎng)絡(luò)的系統(tǒng)函數(shù)具有一樣的極點(diǎn)分布：,試用MATLAB語言研究零點(diǎn)分布對(duì)于單位脈沖響應(yīng)的影響。 要求： （1） 分別畫出各系統(tǒng)的零、 極點(diǎn)分布圖； （2） 分別求出各系統(tǒng)的單位脈沖響應(yīng)， 并畫出其 波形； （3） 分析零點(diǎn)分布對(duì)于單位脈沖響應(yīng)的影響。 解： 求解程序?yàn)閑x232.m， 程序如下：,%程序ex232.m A=1， 1.6， 0.9425； %