7,1向量及其線性運(yùn)算

1、數(shù)量關(guān)系 ,第七章,第一部分 向量代數(shù),第二部分 空間解析幾何,在三維空間中:,空間形式 點(diǎn), 線, 面,基本方法 坐標(biāo)法; 向量法,坐標(biāo),方程（組）,空間解析幾何與向量代數(shù),四、利用坐標(biāo)作向量的線性運(yùn)算,第一節(jié),一、向量的概念,二、向量的線性運(yùn)算,三、空間直角坐標(biāo)系,五、向量的模、方向角、投影,機(jī)動(dòng) 目錄 上頁(yè) 下頁(yè) 返回 結(jié)束,向量及其線性運(yùn)算,第七章,表示法:,向量的模 :,向量的大小,一、向量的概念,向量:,(又稱矢量).,既有大小, 又有方向的量稱為向量,向徑 (矢徑):,自由向量:,與起點(diǎn)無(wú)關(guān)的向量.,起點(diǎn)為原點(diǎn)的向量.,單位向量:,模為 1 的向量,零向量:,模為 0 的向量,有

2、向線段 M1 M2 ,或 a ,機(jī)動(dòng) 目錄 上頁(yè) 下頁(yè) 返回 結(jié)束,規(guī)定: 零向量與任何向量平行 ;,記作,因平行向量可平移到同一直線上,故兩向量平行又稱,兩向量共線 .,若 k (3)個(gè)向量經(jīng)平移可移到同一平面上 ,則稱此 k,個(gè)向量共面 .,機(jī)動(dòng) 目錄 上頁(yè) 下頁(yè) 返回 結(jié)束,二、向量的線性運(yùn)算,1. 向量的加法,三角形法則:,平行四邊形法則:,運(yùn)算規(guī)律 :,交換律,結(jié)合律,三角形法則可推廣到多個(gè)向量相加 .,機(jī)動(dòng) 目錄 上頁(yè) 下頁(yè) 返回 結(jié)束,機(jī)動(dòng) 目錄 上頁(yè) 下頁(yè) 返回 結(jié)束,2. 向量的減法,三角不等式,機(jī)動(dòng) 目錄 上頁(yè) 下頁(yè) 返回 結(jié)束,3. 向量與數(shù)的乘法, 是一個(gè)數(shù) ,規(guī)定 :

3、,可見(jiàn),總之:,運(yùn)算律 :,結(jié)合律,分配律,因此,機(jī)動(dòng) 目錄 上頁(yè) 下頁(yè) 返回 結(jié)束,定理1.,設(shè) a 為非零向量 , 則,( 為唯一實(shí)數(shù)), 取 ,且,再證數(shù) 的唯一性 .,則,取正號(hào), 反向時(shí)取負(fù)號(hào),機(jī)動(dòng) 目錄 上頁(yè) 下頁(yè) 返回 結(jié)束,則,例1. 設(shè) M 為,解:,機(jī)動(dòng) 目錄 上頁(yè) 下頁(yè) 返回 結(jié)束,三、空間直角坐標(biāo)系,由三條互相垂直的數(shù)軸按右手規(guī)則,組成一個(gè)空間直角坐標(biāo)系.,坐標(biāo)原點(diǎn),坐標(biāo)軸,x軸(橫軸),y軸(縱軸),z 軸(豎軸),過(guò)空間一定點(diǎn) o ,坐標(biāo)面,卦限(八個(gè)),zox面,1. 空間直角坐標(biāo)系的基本概念,機(jī)動(dòng) 目錄 上頁(yè) 下頁(yè) 返回 結(jié)束,向徑,在直角坐標(biāo)系下,坐標(biāo)軸上的點(diǎn)

4、 P, Q , R ;,坐標(biāo)面上的點(diǎn) A , B , C,點(diǎn) M,特殊點(diǎn)的坐標(biāo) :,有序數(shù)組,(稱為點(diǎn) M 的坐標(biāo)),原點(diǎn) O(0,0,0) ;,機(jī)動(dòng) 目錄 上頁(yè) 下頁(yè) 返回 結(jié)束,坐標(biāo)軸 :,坐標(biāo)面 :,機(jī)動(dòng) 目錄 上頁(yè) 下頁(yè) 返回 結(jié)束,2. 向量的坐標(biāo)表示,在空間直角坐標(biāo)系下,設(shè)點(diǎn) M,則,沿三個(gè)坐標(biāo)軸方向的分向量.,的坐標(biāo)為,機(jī)動(dòng) 目錄 上頁(yè) 下頁(yè) 返回 結(jié)束,四、利用坐標(biāo)作向量的線性運(yùn)算,設(shè),則,平行向量對(duì)應(yīng)坐標(biāo)成比例:,機(jī)動(dòng) 目錄 上頁(yè) 下頁(yè) 返回 結(jié)束,例2.,求解以向量為未知元的線性方程組,解:,2 3 , 得,代入得,機(jī)動(dòng) 目錄 上頁(yè) 下頁(yè) 返回 結(jié)束,例3. 已知兩點(diǎn),在A

5、B直線上求一點(diǎn) M , 使,解: 設(shè) M 的坐標(biāo)為,如圖所示,及實(shí)數(shù),得,即,機(jī)動(dòng) 目錄 上頁(yè) 下頁(yè) 返回 結(jié)束,說(shuō)明: 由,得定比分點(diǎn)公式:,點(diǎn) M 為 AB 的中點(diǎn) ,于是得,中點(diǎn)公式:,機(jī)動(dòng) 目錄 上頁(yè) 下頁(yè) 返回 結(jié)束,五、向量的模、方向角、投影,1. 向量的模與兩點(diǎn)間的距離公式,則有,由勾股定理得,因,得兩點(diǎn)間的距離公式:,對(duì)兩點(diǎn),與,機(jī)動(dòng) 目錄 上頁(yè) 下頁(yè) 返回 結(jié)束,例4. 求證以,證:,即,為等腰三角形 .,的三角形是等腰三角形 .,為頂點(diǎn),機(jī)動(dòng) 目錄 上頁(yè) 下頁(yè) 返回 結(jié)束,例5. 在 z 軸上求與兩點(diǎn),等距,解: 設(shè)該點(diǎn)為,解得,故所求點(diǎn)為,及,思考:,(1) 如何求在 x

6、oy 面上與A , B 等距離之點(diǎn)的軌跡方程?,(2) 如何求在空間與A , B 等距離之點(diǎn)的軌跡方程 ?,離的點(diǎn) .,機(jī)動(dòng) 目錄 上頁(yè) 下頁(yè) 返回 結(jié)束,提示:,(1) 設(shè)動(dòng)點(diǎn)為,利用,得,(2) 設(shè)動(dòng)點(diǎn)為,利用,得,且,例6. 已知兩點(diǎn),和,解:,求,機(jī)動(dòng) 目錄 上頁(yè) 下頁(yè) 返回 結(jié)束,2. 方向角與方向余弦,設(shè)有兩非零向量,任取空間一點(diǎn) O ,稱 =AOB (0 ) 為向量,的夾角.,類似可定義向量與軸, 軸與軸的夾角 .,與三坐標(biāo)軸的夾角 , , ,為其方向角.,方向角的余弦稱為其方向余弦.,機(jī)動(dòng) 目錄 上頁(yè) 下頁(yè) 返回 結(jié)束,方向余弦的性質(zhì):,機(jī)動(dòng) 目錄 上頁(yè) 下頁(yè) 返回 結(jié)束,例7. 已知兩點(diǎn),和,的模 、方向余弦和方向角 .,解:,計(jì)算向量,機(jī)動(dòng) 目錄 上頁(yè) 下頁(yè) 返回 結(jié)束,例8. 設(shè)點(diǎn) A 位于第一卦限,解: 已知,角依次為,求點(diǎn) A 的坐標(biāo) .,則,因點(diǎn) A 在第一卦限 ,故,于是,故點(diǎn) A 的坐標(biāo)為,向徑 OA 與 x 軸 y 軸的夾,第二節(jié) 目錄 上頁(yè) 下頁(yè) 返回 結(jié)束,備用題,解: 因,1. 設(shè),求向量,在 x 軸上的投影及在 y,軸上的分向量.,在 y 軸上的分向量