八年級(jí)數(shù)學(xué)下冊(cè) 17.2 勾股定理的逆定理教案 （新版）新人教版

1、172 勾股定理的逆定理一、教學(xué)目的1體會(huì)勾股定理的逆定理得出過(guò)程，掌握勾股定理的逆定理。2探究勾股定理的逆定理的證明方法。3理解原命題、逆命題、逆定理的概念及關(guān)系。二、重點(diǎn)、難點(diǎn)1重點(diǎn)：掌握勾股定理的逆定理及證明。2難點(diǎn)：勾股定理的逆定理的證明。三、例題的意圖分析例1（補(bǔ)充）使學(xué)生了解命題，逆命題，逆定理的概念，及它們之間的關(guān)系。例2通過(guò)讓學(xué)生動(dòng)手操作，畫(huà)好圖形后剪下放到一起觀察能否重合，激發(fā)學(xué)生的興趣和求知欲，鍛煉學(xué)生的動(dòng)手操作能力，再通過(guò)探究理論證明方法，使實(shí)踐上升到理論，提高學(xué)生的理性思維。例3（補(bǔ)充）使學(xué)生明確運(yùn)用勾股定理的逆定理判定一個(gè)三角形是否是直角三角形的一般步驟：先判斷那條邊

2、最大。分別用代數(shù)方法計(jì)算出a2+b2和c2的值。判斷a2+b2和c2是否相等，若相等，則是直角三角形；若不相等，則不是直角三角形。四、課堂引入創(chuàng)設(shè)情境：怎樣判定一個(gè)三角形是等腰三角形？怎樣判定一個(gè)三角形是直角三角形？和等腰三角形的判定進(jìn)行對(duì)比，從勾股定理的逆命題進(jìn)行猜想。五、例習(xí)題分析例1（補(bǔ)充）說(shuō)出下列命題的逆命題，這些命題的逆命題成立嗎？同旁?xún)?nèi)角互補(bǔ)，兩條直線平行。如果兩個(gè)實(shí)數(shù)的平方相等，那么兩個(gè)實(shí)數(shù)平方相等。線段垂直平分線上的點(diǎn)到線段兩端點(diǎn)的距離相等。直角三角形中30角所對(duì)的直角邊等于斜邊的一半。分析：每個(gè)命題都有逆命題，說(shuō)逆命題時(shí)注意將題設(shè)和結(jié)論調(diào)換即可，但要分清題設(shè)和結(jié)論，并注意語(yǔ)言

3、的運(yùn)用。理順?biāo)麄冎g的關(guān)系，原命題有真有假，逆命題也有真有假，可能都真，也可能一真一假，還可能都假。解略。例2證明：如果三角形的三邊長(zhǎng)a，b，c滿足a2+b2=c2，那么這個(gè)三角形是直角三角形。分析：注意命題證明的格式，首先要根據(jù)題意畫(huà)出圖形，然后寫(xiě)已知求證。如何判斷一個(gè)三角形是直角三角形，現(xiàn)在只知道若有一個(gè)角是直角的三角形是直角三角形，從而將問(wèn)題轉(zhuǎn)化為如何判斷一個(gè)角是直角。利用已知條件作一個(gè)直角三角形，再證明和原三角形全等，使問(wèn)題得以解決。先做直角，再截取兩直角邊相等，利用勾股定理計(jì)算斜邊A1B1=c，則通過(guò)三邊對(duì)應(yīng)相等的兩個(gè)三角形全等可證。先讓學(xué)生動(dòng)手操作，畫(huà)好圖形后剪下放到一起觀察能否重

4、合，激發(fā)學(xué)生的興趣和求知欲，再探究理論證明方法。充分利用這道題鍛煉學(xué)生的動(dòng)手操作能力，由實(shí)踐到理論學(xué)生更容易接受。證明略。例3（補(bǔ)充）已知：在ABC中，A、B、C的對(duì)邊分別是a、b、c，a=n21，b=2n，c=n21（n1）求證：C=90。分析：運(yùn)用勾股定理的逆定理判定一個(gè)三角形是否是直角三角形的一般步驟：先判斷那條邊最大。分別用代數(shù)方法計(jì)算出a2+b2和c2的值。判斷a2+b2和c2是否相等，若相等，則是直角三角形；若不相等，則不是直角三角形。要證C=90，只要證ABC是直角三角形，并且c邊最大。根據(jù)勾股定理的逆定理只要證明a2+b2=c2即可。由于a2+b2= （n21）2（2n）2=n

5、42n21，c2=（n21）2= n42n21，從而a2+b2=c2，故命題獲證。六、課堂練習(xí)1判斷題。在一個(gè)三角形中，如果一邊上的中線等于這條邊的一半，那么這條邊所對(duì)的角是直角。命題：“在一個(gè)三角形中，有一個(gè)角是30，那么它所對(duì)的邊是另一邊的一半?！钡哪婷}是真命題。勾股定理的逆定理是：如果兩條直角邊的平方和等于斜邊的平方，那么這個(gè)三角形是直角三角形。ABC的三邊之比是1：1：，則ABC是直角三角形。2ABC中A、B、C的對(duì)邊分別是a、b、c，下列命題中的假命題是（ ）A如果CB=A，則ABC是直角三角形。B如果c2= b2a2，則ABC是直角三角形，且C=90。C如果（ca）（ca）=b2

6、，則ABC是直角三角形。D如果A：B：C=5：2：3，則ABC是直角三角形。3下列四條線段不能組成直角三角形的是（ ）Aa=8，b=15，c=17Ba=9，b=12，c=15Ca=，b=，c=Da：b：c=2：3：44已知：在ABC中，A、B、C的對(duì)邊分別是a、b、c，分別為下列長(zhǎng)度，判斷該三角形是否是直角三角形？并指出那一個(gè)角是直角？ a=，b=，c=； a=5，b=7，c=9；a=2，b=，c=； a=5，b=，c=1。七、課后練習(xí)，1敘述下列命題的逆命題，并判斷逆命題是否正確。如果a30，那么a20；如果三角形有一個(gè)角小于90，那么這個(gè)三角形是銳角三角形；如果兩個(gè)三角形全等，那么它們的對(duì)

7、應(yīng)角相等；關(guān)于某條直線對(duì)稱(chēng)的兩條線段一定相等。2填空題。任何一個(gè)命題都有 ，但任何一個(gè)定理未必都有 。“兩直線平行，內(nèi)錯(cuò)角相等。”的逆定理是 。在ABC中，若a2=b2c2，則ABC是 三角形， 是直角；若a2b2c2，則B是 。若在ABC中，a=m2n2，b=2mn，c= m2n2，則ABC是 三角形。3若三角形的三邊是 1、2； ； 32，42，52 9，40，41； （mn）21，2（mn），（mn）21；則構(gòu)成的是直角三角形的有（ ）A2個(gè) B個(gè)個(gè)個(gè)4已知：在ABC中，A、B、C的對(duì)邊分別是a、b、c，分別為下列長(zhǎng)度，判斷該三角形是否是直角三角形？并指出那一個(gè)角是直角？a=9，b=41

8、，c=40； a=15，b=16，c=6；a=2，b=，c=4； a=5k，b=12k，c=13k（k0）。八、參考答案：課堂練習(xí)：1對(duì)，錯(cuò)，錯(cuò)，對(duì)； 2D；3D； 4是，B；不是；是，C；是，A。課后練習(xí)：1如果a20，那么a30；假命題。如果三角形是銳角三角形，那么有一個(gè)角是銳角；真命題。如果兩個(gè)三角形的對(duì)應(yīng)角相等，那么這兩個(gè)三角形全等；假命題。兩條相等的線段一定關(guān)于某條直線對(duì)稱(chēng)；假命題。2逆命題，逆定理；內(nèi)錯(cuò)角相等，兩直線平行；直角，B，鈍角；直角。 3B 4是，B；不是，；是，C；是，C。課后反思：172 勾股定理的逆定理（二）教案總序號(hào)：14 時(shí)間：一、教學(xué)目的1靈活應(yīng)用勾股定理及逆

9、定理解決實(shí)際問(wèn)題。2進(jìn)一步加深性質(zhì)定理與判定定理之間關(guān)系的認(rèn)識(shí)。二、重點(diǎn)、難點(diǎn)1重點(diǎn)：靈活應(yīng)用勾股定理及逆定理解決實(shí)際問(wèn)題。2難點(diǎn)：靈活應(yīng)用勾股定理及逆定理解決實(shí)際問(wèn)題。三、例題的意圖分析例1（見(jiàn)教材例題）讓學(xué)生養(yǎng)成利用勾股定理的逆定理解決實(shí)際問(wèn)題的意識(shí)。例2（補(bǔ)充）培養(yǎng)學(xué)生利用方程思想解決問(wèn)題，進(jìn)一步養(yǎng)成利用勾股定理的逆定理解決實(shí)際問(wèn)題的意識(shí)。四、課堂引入創(chuàng)設(shè)情境：在軍事和航海上經(jīng)常要確定方向和位置，從而使用一些數(shù)學(xué)知識(shí)和數(shù)學(xué)方法。五、例習(xí)題分析例1（見(jiàn)教材）分析：了解方位角，及方位名詞；依題意畫(huà)出圖形；依題意可得PR=121.5=18，PQ=161.5=24， QR=30；因?yàn)?42+18

10、2=302，PQ2+PR2=QR2，根據(jù)勾股定理 的逆定理，知QPR=90；PRS=QPR-QPS=45。小結(jié)：讓學(xué)生養(yǎng)成“已知三邊求角，利用勾股定理的逆定理”的意識(shí)。例2（補(bǔ)充）一根30米長(zhǎng)的細(xì)繩折成3段，圍成一個(gè)三角形，其中一條邊的長(zhǎng)度比較短邊長(zhǎng)7米，比較長(zhǎng)邊短1米，請(qǐng)你試判斷這個(gè)三角形的形狀。分析：若判斷三角形的形狀，先求三角形的三邊長(zhǎng)；設(shè)未知數(shù)列方程，求出三角形的三邊長(zhǎng)5、12、13；根據(jù)勾股定理的逆定理，由52+122=132，知三角形為直角三角形。解略。六、課堂練習(xí)1小強(qiáng)在操場(chǎng)上向東走80m后，又走了60m，再走100m回到原地。小強(qiáng)在操場(chǎng)上向東走了80m后，又走60m的方向是 。

11、2如圖，在操場(chǎng)上豎直立著一根長(zhǎng)為2米的測(cè)影竿，早晨測(cè)得它的影長(zhǎng)為4米，中午測(cè)得它的影長(zhǎng)為1米，則A、B、C三點(diǎn)能否構(gòu)成直角三角形？為什么？3如圖，在我國(guó)沿海有一艘不明國(guó)籍的輪船進(jìn)入我國(guó)海域，我海軍甲、乙兩艘巡邏艇立即從相距13海里的A、B兩個(gè)基地前去攔截，六分鐘后同時(shí)到達(dá)C地將其攔截。已知甲巡邏艇每小時(shí)航行120海里，乙巡邏艇每小時(shí)航行50海里，航向?yàn)楸逼?0，問(wèn)：甲巡邏艇的航向？七、課后練習(xí)1一根24米繩子，折成三邊為三個(gè)連續(xù)偶數(shù)的三角形，則三邊長(zhǎng)分別為 ，此三角形的形狀為 。2一根12米的電線桿AB，用鐵絲AC、AD固定，現(xiàn)已知用去鐵絲AC=15米，AD=13米，又測(cè)得地面上B、C兩點(diǎn)之

12、間距離是9米，B、D兩點(diǎn)之間距離是5米，則電線桿和地面是否垂直，為什么？3如圖，小明的爸爸在魚(yú)池邊開(kāi)了一塊四邊形土地種了一些蔬菜，爸爸讓小明計(jì)算一下土地的面積，以便計(jì)算一下產(chǎn)量。小明找了一卷米尺，測(cè)得AB=4米，BC=3米，CD=13米，DA=12米，又已知B=90。八、參考答案：課堂練習(xí)：1向正南或正北。2能，因?yàn)锽C2=BD2+CD2=20，AC2=AD2+CD2=5，AB2=25，所以BC2+AC2= AB2；3由ABC是直角三角形，可知CAB+CBA=90，所以有CAB=40，航向?yàn)楸逼珫|50。 課后練習(xí)：16米，8米，10米，直角三角形；2ABC、ABD是直角三角形，AB和地面垂直。

13、3提示：連結(jié)AC。AC2=AB2+BC2=25，AC2+AD2=CD2，因此CAB=90，S四邊形=SADC+SABC=36平方米。課后反思：172 勾股定理的逆定理（三）教案總序號(hào)：15 時(shí)間：一、教學(xué)目的1應(yīng)用勾股定理的逆定理判斷一個(gè)三角形是否是直角三角形。 2靈活應(yīng)用勾股定理及逆定理解綜合題。3進(jìn)一步加深性質(zhì)定理與判定定理之間關(guān)系的認(rèn)識(shí)。二、重點(diǎn)、難點(diǎn)1重點(diǎn)：利用勾股定理及逆定理解綜合題。2難點(diǎn)：利用勾股定理及逆定理解綜合題。三、例題的意圖分析例1（補(bǔ)充）利用因式分解和勾股定理的逆定理判斷三角形的形狀。例2（補(bǔ)充）使學(xué)生掌握研究四邊形的問(wèn)題，通常添置輔助線把它轉(zhuǎn)化為研究三角形的問(wèn)題。本題

14、輔助線作平行線間距離無(wú)法求解。創(chuàng)造3、4、5勾股數(shù)，利用勾股定理的逆定理證明DE就是平行線間距離。例3（補(bǔ)充）勾股定理及逆定理的綜合應(yīng)用，注意條件的轉(zhuǎn)化及變形。四、課堂引入勾股定理和它的逆定理是黃金搭檔，經(jīng)常綜合應(yīng)用來(lái)解決一些難度較大的題目。五、例習(xí)題分析例1（補(bǔ)充）已知：在ABC中，A、B、C的對(duì)邊分別是a、b、c，滿足a2+b2+c2+338=10a+24b+26c。試判斷ABC的形狀。分析：移項(xiàng)，配成三個(gè)完全平方；三個(gè)非負(fù)數(shù)的和為0，則都為0；已知a、b、c，利用勾股定理的逆定理判斷三角形的形狀為直角三角形。例2（補(bǔ)充）已知：如圖，四邊形ABCD，ADBC，AB=4，BC=6，CD=5，

15、AD=3。求：四邊形ABCD的面積。分析：作DEAB，連結(jié)BD，則可以證明ABDEDB（ASA）；DE=AB=4，BE=AD=3，EC=EB=3；在DEC中，3、4、5勾股數(shù)，DEC為直角三角形，DEBC；利用梯形面積公式可解，或利用三角形的面積。例3（補(bǔ)充）已知：如圖，在ABC中，CD是AB邊上的高，且CD2=ADBD。求證：ABC是直角三角形。 分析：AC2=AD2+CD2，BC2=CD2+BD2AC2+BC2=AD2+2CD2+BD2=AD2+2ADBD+BD2=（AD+BD）2=AB2六、課堂練習(xí)1若ABC的三邊a、b、c，滿足（ab）（a2b2c2）=0，則ABC是（ ）A等腰三角形

16、；B直角三角形；C等腰三角形或直角三角形；D等腰直角三角形。2若ABC的三邊a、b、c，滿足a：b：c=1：1：，試判斷ABC的形狀。3已知：如圖，四邊形ABCD，AB=1，BC=，CD=，AD=3，且ABBC。求：四邊形ABCD的面積。4已知：在ABC中，ACB=90，CDAB于D，且CD2=ADBD。求證：ABC中是直角三角形。七、課后練習(xí)，1若ABC的三邊a、b、c滿足a2+b2+c2+50=6a+8b+10c，求ABC的面積。2在ABC中，AB=13cm，AC=24cm，中線BD=5cm。求證：ABC是等腰三角形。3已知：如圖，1=2，AD=AE，D為BC上一點(diǎn)，且BD=DC，AC2=AE2+CE2。求證：AB2=AE2+CE2。4已知ABC的三邊為a、b、c，且a+b=4，ab=1，c=，試判定ABC的形狀。 八、參考答案：課堂練習(xí)：1C；2ABC是等腰直角三角形； 3 4提示：AC2=AD2+CD2，BC2=CD2+BD2，AC2+BC2=AD2+2CD2+BD2