定積分的換元法.ppt

1、定積分的換元法,上一節(jié)我們建立了積分學(xué)兩類(lèi)基本問(wèn)題之間的聯(lián)系微積分基本公式，利用這個(gè)公式計(jì)算定積分的關(guān)鍵是求出不定積分，而換元法和分部積分法是求不定積分的兩種基本方法，如果能把這兩種方法直接應(yīng)用到定積分的計(jì)算，相信定能使得定積分的計(jì)算簡(jiǎn)化，下面我們就來(lái)建立定積分的換元積分公式和分部積分公式。,先來(lái)看一個(gè)例子,例1,換元求不定積分,令,則,故,為去掉根號(hào),令,則,當(dāng) x 從0連續(xù)地增加到4時(shí)，t 相應(yīng)地從1連續(xù)地增加到3,于是,嘗試一下直接換元求定積分,將上例一般化就得到定積分的換元積分公式,由此可見(jiàn)，定積分也可以象不定積分一樣進(jìn)行換元，所不同的是不定積分換元時(shí)要回代原積分變量，而對(duì)定積分則只需

2、將其上、下限換成新變量的上、下限即可計(jì)算出定積分，而不必回代原積分變量,一、換元公式,證,應(yīng)用換元公式時(shí)應(yīng)注意:,（1）,（2）,計(jì)算,解1,由定積分的幾何意義,等于圓周的第一象限部分的面積,解2,故,o,例2,令,解4,令,仍可得到上述結(jié)果,解3,解,令,例3 計(jì)算,定積分的換元積分公式也可以反過(guò)來(lái)使用,為方便計(jì),將換元公式的左、右兩邊對(duì)調(diào),同時(shí)把 x 換成 t ， t 換成 x,這說(shuō)明可用,引入新變量,但須注意如明確引入新變量，則必須換限 如沒(méi)有明確引入新變量，而只是把 整體視為新變量，則不必?fù)Q限,注,例4 計(jì)算,解,例5 計(jì)算,解,原式,例6 計(jì)算,解一,令,原式,解二,接解一,對(duì),令,則,證,即： 奇函數(shù)在對(duì)稱(chēng)區(qū)間上的積分等于0 偶函數(shù)在對(duì)稱(chēng)區(qū)間上的積分等于對(duì)稱(chēng)的 部分區(qū)間上積分的兩倍 由定積分的幾何意義，這個(gè)結(jié)論也是比較明顯的,例8 計(jì)算,解,原式,偶函數(shù),奇函數(shù),四分之一單位圓的面積,（1）設(shè),（2）設(shè),證,另證,將上式改寫(xiě)為,奇函數(shù),例10 設(shè) f(x) 是以L為周期的連續(xù)函數(shù)，證明,證明,與 a 的值無(wú)關(guān),例11 設(shè) f(x) 連續(xù)，常數(shù) a 0 證明,證明,比較等式兩邊的被積函數(shù)知，,例12 設(shè) f ( x ) 連續(xù),解,定積分的換元法,幾個(gè)特殊積分、定積分的幾個(gè)等式,二、小結(jié)