量子力學 初步

1、第三章 量子力學初步,3.1 物質的二象性,3.2 測不準原理,3.3 波函數及其物理意義,3.4 薛定諤波動方程,3.5 量子力學問題的幾個簡例,3.6 量子力學對氫原子的描述,19 世紀末，物理學晴朗的天空 飄著幾朵烏云,物理學面臨嚴重的危機!,黑體輻射,光電效應,康普頓效應,氫原子光譜實驗規(guī)律,., 3.1 物質的二象性,一. 光的二象性,光的干涉、衍射、偏振等現(xiàn)象波動性,黑體輻射、光電效應微粒性,Einstein認為：,光不僅是電磁波，而且還是一個粒子。 根據他的理論，電磁輻射不僅在發(fā)射和吸收時以能量 h的微粒形式出現(xiàn)，而且以這種形式在空間以光速 C 傳播，這種粒子叫做光量子，或光子。

2、,一個光子的能量：,按照相對論原理：,二. 微觀粒子的波動性,受Planck-Einstein 光量子論以及Bohr量子論的啟發(fā)，1924 年 de. Broglie設想：,（1）我們可以觀察到的宇宙由光和實物組成； （2）既然光具有波粒二象性，實物也可能具有這種波粒二象性。,de. Broglie假定： 一個能量為 E，動量 p 的實物粒子，同時具有波動性（稱之為“物質波”或“德布羅意波”） 。德布羅意波的頻率和波長分別為：,該關系稱為de. Broglie關系。,在宏觀上，飛行的子彈m=10-2Kg，速度V=5.0102m/s 對應的德布羅意波長為：,在微觀上，如電子m=9.110-31K

3、g，速度V=5.0107m/s, 對應的德布羅意波長為：,太小測不到！,例題：,三. 德布羅意波的實驗驗證,1927-1928年戴維孫（C.J.Davisson）和革末（L.S.Germer） 利用電子衍射實驗證實了物質波的存在。,1. 實驗裝置,G：電子源，發(fā)出電子束； T：晶體表面，可繞x軸旋轉 一周； C：電子接收器（測接收到的 電子的數量）;可轉動，中 心在軸上（如光柵一樣）,2. 實驗原理及實驗內容,如右圖，如果電子確有波動性，則射入晶體表面時就會發(fā)生衍射現(xiàn)象。,強波束射出的條件為：,根據德布羅意關系，電子的德布羅意波長為,實驗中,采用電場來使電子加速，則有,例：,所以，有,即，當保

4、持d和一定，隨著電壓的變化，滿足 時，接收器收到的電子數將增大。,3. 實驗結果,P82頁，圖3.3,同年，G.P.湯姆遜將電子射過金屬箔，獲得了多晶體上電子的透射衍射圖樣。,1928年，菊池正士將電子束射在云母片上，獲得了單晶體上電子的透射衍射圖樣。,1961年約恩還給出了電子的單縫和多縫衍射圖,1993年，Crommie等人用掃描隧道顯微鏡技術，把蒸發(fā)到銅（111）表面上的鐵原子排列成半徑為7.13nm的圓環(huán)形量子圍欄，用實驗觀測到了在圍欄內形成的同心圓狀的駐波(“量子圍欄”)，這是世界上首次觀察到電子駐波的直觀圖形。該圖直觀地證實了電子的波動性。,鐵原子形成的量子圍攔,3.2 測不準原理

5、(The uncertainty principle),一. 測不準關系（不確定關系）的表達和含義,1. 位置和動量的不確定關系式,1927年，海森伯提出，測不準關系反映了微觀粒子運動的基本規(guī)律，是物理學中的一個極為重要的關系式，包括多種表達式。,為普朗克常數,表示：測量時坐標和動量都有一定的不確定度，并且當其中一個量被測量的越準確另一個量就被測量的越不準確，它們的乘積滿足 的關系。,例1：電子的單縫衍射,設 y 方向運動的電子穿過狹縫前 ，若電子沒有波動性,它穿過狹縫時，仍有 。只要盡可能地將 縮小，就可同時準確地確定電子穿過狹縫時的坐標 和動量 。,考慮到微觀粒子具有波動性,當它穿過狹縫時

6、,會發(fā)生衍射現(xiàn)象, 在x方向，粒子的坐標 , 動量Px 不可能同時有確定的值。,粒子的坐標不確定范圍為：,動量在 ox 方向的分量：,（單縫衍射一級極小的條件）,ox 軸上，動量的不確定量,將德布羅意關系式 代入上式得：,如果把次級極大包括在內，則有,對三維運動：,例2. 對速度為 v=105 m.s-1 的 射線， 若測量速度的精確度為 0.1% 即,求：電子位置的不確定量,解：,例3. 試比較電子和質量為10g 的子彈在確定它們位置時 的不確定量 x ，假定它們都在 x 方向以 200m.s-1 的速度運動，速度的測量誤差在 0.01% 以內。,解： 跟據不確定關系：,得,對電子,對子彈,

7、例4. 用不確定關系討論原子中電子的速度,*原子的線度的數量級是 10-10 m ，原子中確定電子位置的不準確量為 x 10-10 m ，,*原子中電子速度的不確定量按不確定關系,*按經典力學算氫原子的電子在軌道上速度的數量級為 10 6 m.s-1,不能用經典理論計算原子核外電子的速度。,估算為：,結論：,動量的不準確量為 P x h/ x .,關于h的幾句話：,非常小,令：h0,那么：在任何情況下都可有x=0、Px=0,波,粒子,波粒二象性就將從自然界中消失！,讓h大一點：,子彈射出槍口的橫向速度：,波粒二象性就將統(tǒng)治到宏觀世界中！,不大不小,正好！,2. 能量和時間的不確定關系式,推導：

8、,所以，,結論：測不準關系來源于物質的波粒二象性，是物質的客觀規(guī)律；凡是經典力學中共軛的動力變量之間都有這個關系。,二. 測不準關系的應用舉例,a) 對電子不能落入核內的解釋,玻爾理論中，只是根據實驗事實，假定電子處在一定的軌道上，不能輻射。但不能解釋電子為什么不能落入核內。因為當電子離核越來越近時， 越小， 必將越來越大。由于沒有這一能量來源，因此電子不能無限靠近原子核，更不要說落入核內了。,b) 譜線的自然寬度,原子中某激發(fā)態(tài)的平均壽命為,處于激發(fā)態(tài)能級上的電子都有一定的壽命,不確定關系,普朗克 能量子假說,譜線的自然寬度,3.3 波函數及其物理意義,1. 自由粒子的波函數,機械波：,電磁

9、波：,一個自由粒子的波：,自由粒子不受力,其中 的意義如圖示,圖3.5 有關平面波諸量的關系,寫成復數形式，則為，,其中 （1）是（ 2）的實數部分。,因為，,所以，（2）式又可以寫成,將表示微粒性的能量和動量代入即，,，則,量子力學中的一般表示：,二. 波函數的物理意義,1. 電子的雙縫干涉實驗,類似于光的楊氏雙縫干涉實驗，人們用電子束代替光源，通雙縫后，也觀察到了明暗相間的干涉條紋。,如果將電子束的強度減弱，使電子一個一個地通過狹縫，實驗表明，只要照射時間足夠長，仍然能觀察到干涉條紋 。,如果粒子的波函數為 ，則波函數的模方 代表某時刻在空間某地點，發(fā)現(xiàn)粒子的幾率（一般 為復數， 是 的共

10、扼復數） 。,1927年，波恩（M.Born）在解釋散射時首先提出波函數的物理意義，他認為：,所以，在任意體積 中發(fā)現(xiàn)一個粒子的幾率為,表示單位體積中發(fā)現(xiàn)一個粒子的幾率，稱為幾率密度。 德布羅意波函數的物理意義,a)連續(xù)性: 作為幾率, 在空間上不會發(fā)生突變, 因而必須處處連續(xù)。 b)單值性: 在空間任何一點，都只能有1個幾率。 c) 有限性: 幾率不可能無限大。 d)歸一性：粒子在空間各點出現(xiàn)的幾率的總和為1，即,波函數滿足的條件,3.4 薛定諤波動方程,一. 自由粒子的薛定諤方程,描述自由粒子的波函數為,上式對x，y，z求二階偏微商：,所以，,同理：,，,（1）,（2）,Erwin Sch

11、rdinger (18871961),相加，有,定義：,將（1）式再對時間取一階偏微商，有,如果對自由粒子，考慮非相對論情形，,，,（3）,（4）,將(3)(4)代入(5)得，,自由粒子的薛定諤方程,（5）,二. 力場中粒子的薛定諤方程,對于處在一個力場中的非自由粒子，由于其能量為動能勢能，即,同理，將(3)(4)代入上式得，,薛定諤方程的一般形式(The Schrdinger equation),它是描述力場中粒子行為的微分方程，這個方程的正確性要看其對問題的結論是否與實驗相符。,定態(tài)：能量不隨時間變化的狀態(tài)。,三定態(tài)薛定諤方程( the time-independent Schrdinge

12、r equation. ),在定態(tài)條件下，能量不隨時間變化，波函數可以被分離變量,代入薛定諤方程的一般形式得：,可設它們等于一個與時間和坐標都無關的常數E，則有,解這個微分方程可得：,則：,與自由粒子方程比較, 可見這時E就是能量, 稱這種狀態(tài)為定態(tài)。,2. 波函數可表示為,3. 空間波函數滿足,4. 定態(tài)條件下，發(fā)現(xiàn)粒子的幾率， 與時間無關；,5. 波函數還必須滿足三個條件（單值，連續(xù)，有限）。,稱為定態(tài)薛定諤方程；,1. 能量不隨時間變化；,粒子處于定態(tài)的特點：,四. 量子力學算符(operator),對應于經典力學中的每一個力學量，在量子力學中都可以用一個算符來表示。,1. 動量算符,所

13、以，對應動量 ，算符：,同理，對應動量 ，算符：,對應動量 ，算符：,由于，,所以，,算符：,2. 能量算符,因為，,所以，,算符：,又因為，,另外，,代表位置 的算符為其本身：,與坐標有關的勢能V(r) 的算符為其自身 ：,將P2，V的算符代入上式，得，, 經典力學中的哈密頓函數,或者, 哈密頓算符（或能量算符）,H只包含空間變量，不包含時間，將其作用于 ，即有,定態(tài)薛定諤方程（本征值方程 ）,其中E為哈密頓算符的本征值(eigenvalue) ，u為與本征值相應的本征函數(eigenfunction )。顯然本征值就是測量能量時的可能值。,對于其它的力學量 （如動量、角動量），也可以列出其

14、本征值方程,根據邊界條件（ boundary condition ）解這該本征方程，即可求出本征值 和相應的本征函數 。,3.5 量子力學問題的幾個簡例,1. 問題：在一維空間中運動的粒子，空間中勢能滿足,一. 無限高勢壁之間的一維運動,2. 經典力學描述（V的意義，相當于剛性壁）,對于任意能量的粒子，由于是剛性壁，它都只能在I區(qū)中運動。,3. 量子力學的描述,因為勢函數不隨時間變化，因此這是一個定態(tài)問題，可用定態(tài)薛定諤方程來求解。,一維運動的定態(tài)薛定諤方程為,即有，,由于V(x)在不同區(qū)域內有不同的形式，因此必須分區(qū)求解:,(1) 解方程求波函數,區(qū)域I:,(1)式變?yōu)椋?設,所以，,或,(

15、1),區(qū)域II:,(1)式變?yōu)椋?設,所以，,（即II區(qū)的波函數為零）,當，,當，,不符合波函數的有界條件，舍去,所以，,（2）求能量本征值,根據波函數的連續(xù)性，在 處，I和II區(qū)的波函數必須連續(xù)，則有,(3)+(4),可得,(3)-(4),可得,(3),(4),所以，有,相鄰能級間隔：,表明：(1) n越大，能級間隔越大； (2) m和a與h有相同的數量級時，能量的量子化才顯示出來。,即:,（3）對應于本征值的本征函數,根據前面的推導，區(qū)域II的波函數為零，區(qū)域I的波函數為：,因為，,所以，,由波函數的連續(xù)性， I區(qū)和II區(qū)的波函數應該相等, 即,（4）本征函數的歸一化,根據歸一化條件，,有

16、，,將，,代入上式，得,由此算出，,所以，I區(qū)歸一化的本征函數為：,（5）宇稱,偶函數（空間對稱性為偶性，稱為具有偶宇稱）,注意：宇稱不僅是函數的性質，也是函數所代表的物理狀態(tài)（量子態(tài)）所具有的性質。,若：波函數滿足,奇函數（空間對稱性為奇性，稱為具有奇宇稱）,若：波函數滿足,例：,偶宇稱,奇宇稱,二. 簡諧振子,在穩(wěn)定平衡態(tài)附近作微振動的任何體系，都可以作為線性諧振子來處理，其受力為,設平衡位置x=0，并選取能量尺度的原點使V（0）=0，則 勢能：,（1）線性諧振子的薛定諤方程,哈密頓函數：,哈密頓算符：,定態(tài)薛定諤方程：,即，,（1）,（1）式可改寫為，,令,（2）,（2）式可以簡化為,（

17、3）,（2）本征函數與本征值,方程（3）的解為,其中， 為厄米（Hermite）多項式,為了使函數 滿足有限性條件，必須有,于是最后得：,基態(tài)能量： E0=(1/2) 0，稱為零點能（zero-point energy ）。,（3）簡諧振子能級及波函數圖,當n為偶數式，波函數的宇稱為偶性偶宇稱； 當n為奇數式，波函數的宇稱為奇性奇宇稱； 波函數與能級的交叉點（節(jié)點）個數等于n。,對于基態(tài)，其幾率密度是： 0() = |u0()|2 = A02 exp-2 分析: (1)在= 0處找到粒子的幾率最大； ( 2)在|1處，即在阱外找到粒子的幾率不為零， *與經典情況完全不同。,（4）幾率密度,二.

18、 一維方勢壘中粒子的運動,1. 問題：如右圖所示，粒子在一維勢壘情況運動，空間中勢能滿足,圖3.10 勢壘,2. 經典力學描述,當入射粒子的能量低于V2時，粒子不進入勢壘，將全部彈回。,3. 量子力學的描述,勢函數不隨時間變化量子力學的定態(tài)問題 定態(tài)薛定諤方程：,即，,在I區(qū)，,，方程變?yōu)?其解為：,在II區(qū)，,方程變?yōu)?設其解為：,（第一項為入射， 第二項為反射）,在III區(qū)，,因此其解為:,方程形式及解的形式與I同，但由于沒有反射，,最后，根據波函數在點x1和x2的連續(xù)條件及歸一化條件，可以確定出各常數。,下圖給出了勢壘中和勢壘兩側區(qū)域的波函數：,表明：勢壘厚度 a=x2-x1 越大，通過

19、的幾率越??； 勢壘越高（即V-E 越大），粒子穿過勢壘的幾率也越小。,可以算出，粒子從I到III的穿透幾率為,經典力學： 在I中的粒子不可能進入II中，更不可能透過II而進入III區(qū)。,4. 掃描隧道顯微鏡(Scanning Tunneling Microscope (STM),1981年IBM公司蘇黎世實驗室的賓尼格(G.Binmng)與羅雷爾(H.Rohrer)發(fā)明了STM (獲得了1984年的諾貝爾物理學獎)。 其主要原理是電子的隧道效應，即當把一個呈現(xiàn)尖狀的探針和一塊平板形的樣品互相靠近時（幾個），它們的表面電子云就可能發(fā)生重疊。如果在兩金屬間加一微小的電壓VT，那么就可以觀察到它們之

20、間的電流IJ（隧道電流）：,A為常數，S為兩金屬間距離，為樣品表面的平均勢壘高度。如果S以1為單位，則A=1，的量級為eV。因此，當S變化1時，JT呈數量級變化，十分靈敏。這樣，當探針在樣品上掃描時，表面上小到原子尺度的特征就顯現(xiàn)為隧道電流的變化。依次，可分辨表面上分立的原子，揭示出表面上原子的臺階、平臺和原子陣列。,掃描隧道顯微鏡（STM）原理,目前STM已可以直接給出表面的三維圖像，橫向的分辨率達1，縱向的分辨率達0.01。不足之處是只適用于導體和半導體樣品。,碘原子在鉑晶體上的吸附,硅表面的硅原子排列,砷化鉀表面的砷原子排列,掃描隧道顯微鏡圖片（NIST),7nm x 7nm, of a

21、 single zigzag chain of Cs atoms (red) on the GaAs(110) surface (blue).,掃描隧道顯微鏡圖片（NIST),原子分子的搬運,用掃描隧道顯微鏡的針尖將原子一個個地排列成漢字，漢字的大小只有幾個納米。,48個Fe原子形成“量子圍欄”，圍欄中的電子形成駐波.,原子分子的搬運,3.6 量子力學對氫原子的描述,一氫原子（類氫離子）的波函數,假定氫原子的原子核不動，電子在原子核的庫侖場中運動, 體系的勢能:,定態(tài)薛定諤方程為：,采用極坐標，,則，,(1),因為,V(r)僅是r的函數,與,無關，因此波函數u(r,)可以表示為,將上式代入定態(tài)

22、薛定諤方程（2）, 并兩邊同除以 可得,(4),上式左側僅是變量r的函數, 右側僅是, 的函數, 要兩側相等,只能等于一個常數,令其為, 則有,所以，有,即有，,(3),(5),(6),同理, (6)式兩側也等于同一常數, 令其為,則有,(7),(8),分別求解（5）,（7）,（8）, 可得其解分別為：,變形,可得,是連帶的勒讓德函數,為拉蓋爾函數，當 時趨于零。,二能量和角動量本征值,1.能量本征值：,由方程所滿足的邊界條件可得,為主量子數或稱能量量子數。,對于給定的 取 個量子化值。,與玻爾理論的結論完全一致，但這里沒有量子化假設。,對于給定的 取 個量子化值。,因此，氫原子的的能級是簡并

23、的，簡并度為,2. 角動量本征值,（1）角動量平方算符,（2）角動量平方算符的本征方程,將L2 的算符作用于本征函數 ,可以得,所以，,的本征值為 ，相應的本征函數為Ylm 。,與玻爾理論比較：,原子物理中通常用字母: s, p, d, f, g, 代表其值。,角動量L的本征值為,對于給定的n:,區(qū)別：,在以后的討論中我們將采用量子力學的結果：,（3）角動量z分量的本征值,為角動量z分量的本征值， 為相應的本征函數。,對于給定的,所以，對于給定的軌道角動量 ,其在Z（或磁場）方向的分量有2l+1個值，分別為,與玻爾理論比較：,對同一個 ,有 個 的值。,例：,三. 電子在本征態(tài)上的幾率密度,在

24、任意體積 中發(fā)現(xiàn)一個粒子的幾率為,根據歸一化條件：,則有，,a)幾率密度隨 的變化,b)幾率密度隨 的變化,例：,電子云演示,在不同的 角，在單位體積中發(fā)現(xiàn)電子的幾率相同( 同）,c)幾率密度隨r的變化,在半徑 r 到 r+dr 的球殼內找到電子的幾率,單位體積中發(fā)現(xiàn)電子的幾率隨r的分布。,節(jié)點數n-l-1,波腹數n-l,下圖給出了幾種情況時的電子的徑向幾率分布：,通常把節(jié)點數為零（ ）的“態(tài)”，稱為圓軌道，例如：1s,2p,3d,，它們極大值的位置： ，其中 是第一玻爾軌道半徑。,稱 為最概然半徑。,小結：氫原子中電子的穩(wěn)定狀態(tài)用一組量子數n, l, m (ms)來描述,主量子數 決定電子的

25、能量。,角量子數 決定電子軌道角動量,磁量子數 決定軌道角動量 的空間取向，,補充題： 根據量子力學初步知識，寫出n=2時，氫原子的定態(tài)能量、氫原子可能的軌道角動量L以及軌道角動量在外磁場方向的投影的各種可能值 LZ ；若為類氫的He離子，結果又如何？,作業(yè)：P113， 1，2，6，7，8,德布羅意,法國著名物理學家，1892年出生于第厄普的一個貴族世家。在中學時期，他的興趣是文科，在20歲時志趣轉向自然科學，并用兩年時間學習了自然科學的基礎課程。,1920年他指出，一切物質都具有粒子和波的兩重性，這就是著名的物質波理論。這個大膽的創(chuàng)造性假設轟動了整個學術界，因為按照經典物理的觀念，粒子與波是完全不同的兩種物質形態(tài)，根本不可能融合在一起，因此許多學者都對此持懷疑態(tài)度。但愛因斯坦對此卻十分贊賞，說道：“一幅巨大