(6)角動量、角動量守恒定律.ppt

1、角動量守恒定律,教材：5.2與5.5節(jié)（學(xué)習(xí)角動量守恒定律主要是為了研究剛體的定軸轉(zhuǎn)動問題，注意剛體是特殊的質(zhì)點(diǎn)系） 作業(yè)：練習(xí)6,一、概念：角動量、力矩、沖量矩、角量系統(tǒng) 二、質(zhì)點(diǎn)角動量定理 三、質(zhì)點(diǎn)系的角動量定理 四、角動量守恒定律,質(zhì)點(diǎn)的角動量守恒定律,概念： 剛體、定軸轉(zhuǎn)動,結(jié)構(gòu)框圖：,【引入】為什么提出“角動量”概念？,問題一：兩個質(zhì)點(diǎn)如右圖，以不同半徑的軌道轉(zhuǎn)動，動量大小相等，位移方向相同時(shí)連動量方向也相同，該如何區(qū)別兩個質(zhì)點(diǎn)？,但是系統(tǒng)有機(jī)械運(yùn)動，說明不宜使用動量來量度轉(zhuǎn)動物體的機(jī)械運(yùn)動量。,問題二：將一繞通過質(zhì)心的固定軸轉(zhuǎn)動的圓盤視為一個質(zhì)點(diǎn)系，系統(tǒng)總動量為,一、相關(guān)概念 1.

2、 質(zhì)點(diǎn)的角動量(angular momentum),定義：,大小：,方向：,質(zhì)點(diǎn)相對O點(diǎn)的矢徑,質(zhì)點(diǎn)的角動量的方向,質(zhì)點(diǎn)以角速度 作半徑為 的圓運(yùn)動，相對圓心的角動量,的方向符合右手法則。1）從位矢 轉(zhuǎn)向速度 2）夾角小于180度,四指代表質(zhì)點(diǎn)相對于0點(diǎn)的轉(zhuǎn)動趨勢，則大拇指代表角動量的方向,【特別】在圓軌跡運(yùn)動時(shí),直角坐標(biāo)系中角動量的分量表示,*必須指明參考點(diǎn)，角動量才有實(shí)際意義。 *質(zhì)點(diǎn)對某參考點(diǎn)的角動量反映質(zhì)點(diǎn)繞該參考點(diǎn)旋轉(zhuǎn)運(yùn)動的強(qiáng)弱。,2、力矩(moment of force),單位：牛米（N m）,定義：力對定點(diǎn)的力矩,四指代表該力作用下質(zhì)點(diǎn)相對于0點(diǎn)的轉(zhuǎn)動趨勢，則大拇指代表角動量的方

3、向,【特別】在圓軌跡運(yùn)動時(shí),例題、,解：,求角動量和力矩,直角坐標(biāo)系中力矩的分量式:,作用力和反作用力對同一參考點(diǎn)合力矩為零。 從而，質(zhì)點(diǎn)系內(nèi)力矩矢量和一定為零。,力矩為零的情況:,（1）力 等于零；,（2）力 的作用線與矢徑 共線(即 ）即過0點(diǎn)的有心力,有心力： 物體所受的力始終指向（或背離）某一固定點(diǎn),力心,按慣性定律知此時(shí)物體保持靜止或者勻速直線狀態(tài),作用于質(zhì)點(diǎn)的合力對參考點(diǎn) O 的力矩 ，等于質(zhì)點(diǎn)對該點(diǎn) O 的角動量隨時(shí)間的變化率.,二、質(zhì)點(diǎn)的角動量定理(theorem of angular momentum),質(zhì)點(diǎn)的角動量定理(theorem of angular momentum

4、),質(zhì)點(diǎn)角動量對時(shí)間的變化率等于作用于質(zhì)點(diǎn)的力矩質(zhì)點(diǎn)角動量定理的微分形式。 質(zhì)點(diǎn)角動量的增量等于外力矩對質(zhì)點(diǎn)的角沖量（沖量矩）角動量定理的積分形式,沖量矩,例 一半徑為 R 的光滑圓環(huán)置于豎直平面內(nèi).一質(zhì)量為 m 的小球穿在圓環(huán)上, 并可在圓環(huán)上滑動. 小球開始時(shí)靜止于圓環(huán)上的點(diǎn) A (該點(diǎn)在通過環(huán)心 O 的水平面上),然后從 A 點(diǎn)開始下滑.設(shè)小球與圓環(huán)間的摩擦略去不計(jì).求小球滑到點(diǎn) B 時(shí)對環(huán)心 O 的角動量和角速度.,質(zhì)點(diǎn)的角動量定理,小球受重力和支持力作用,圓環(huán)的支持力為有心力，力矩為零；重力矩垂直紙面向里,由質(zhì)點(diǎn)的角動量定理,質(zhì)點(diǎn)的角動量定理,解,得,由題設(shè)條件積分上式,本題也可以用

5、質(zhì)點(diǎn)的功能原理求解。,因?yàn)?三、質(zhì)點(diǎn)的角動量守恒定律,所以,角動量守恒定律,（2）力 的作用線與矢徑 共線，即過0點(diǎn) （即 ，有心力）,力矩為零的情況,（1）力 等于零；,這也是自然界普遍適用的一條基本規(guī)律。,如果作用于質(zhì)點(diǎn)的合力矩不為零, 而合力矩沿z軸的分量為零,則,恒量 ( 當(dāng)Mz = 0時(shí) ),當(dāng)質(zhì)點(diǎn)所受對z軸的力矩為零時(shí),質(zhì)點(diǎn)對該軸的角動量保持不變質(zhì)點(diǎn)對軸的角動量守恒定律。,例、,已知：地球 R=6378 km（地球均勻球體） 衛(wèi)星 近地：h1= 439 km v1=8.1 km.s-1 遠(yuǎn)地: h2= 2384 km 求 ： v2=?,解：,由于衛(wèi)星是在地球的萬有引力有心力作用下運(yùn)

6、動，故衛(wèi)星 m 對地心 o的 角動量守恒,近地,遠(yuǎn)地,例：行星運(yùn)動的開普勒第二定律認(rèn)為, 對于任一 行星, 由太陽到行星的徑矢在相等的時(shí)間內(nèi)掃過相等 的面積。試用角動量守恒定律證明之。,解:將行星看為質(zhì)點(diǎn),在dt 時(shí)間內(nèi)以速度 完成的 位移為 ,矢徑 在d t 時(shí)間內(nèi)掃過的面積為dS（圖中陰影）。,根據(jù)質(zhì)點(diǎn)角動量的定義,則,矢徑在單位時(shí)間內(nèi)掃過的面積（稱為掠面速度）,萬有引力屬于有心力, 行星相對于太陽所在處的 點(diǎn)O的角動量是守恒的, 即 = 恒矢量,故有,恒量,行星對太陽所在點(diǎn)O 的角動量守恒,不僅角動量的 大小不隨時(shí)間變化, 即掠面速度恒定, 而且角動量 的方向也是不隨時(shí)間變化的, 即行星

7、的軌道平面在 空間的取向是恒定的。,例：質(zhì)量為m的小球系于細(xì)繩的一端 ,繩的另一 端縛在一根豎直放置的細(xì)棒上, 小球被放在水平桌面上 內(nèi)繞細(xì)棒旋轉(zhuǎn), 某時(shí)刻角速度為1，細(xì)繩的長度為r1。 當(dāng)旋轉(zhuǎn)了若干圈后, 由于細(xì)繩纏繞在細(xì)棒上, 繩長變 為r2, 求此時(shí)小球繞細(xì)棒旋轉(zhuǎn)的角速度2 。,解：小球受力 繩子的張力 ,指向細(xì)棒； 重力 ，豎直向下；支撐力 ,豎直向上。 與繩子平行, 不產(chǎn)生力矩； 與 平衡，力矩始終為零。所以, 作用于小 球的力對細(xì)棒的力矩始終等于零, 故小 球?qū)?xì)棒的角動量必定是守恒的。,根據(jù)質(zhì)點(diǎn)對軸的角動量守恒定律,式中v1是半徑為r1時(shí)小球的線速度, v2是半徑為r2時(shí)小球的線

8、速度。,代入上式得,解得,可見, 由于細(xì)繩越轉(zhuǎn)越短, , 小球的角速度 必定越轉(zhuǎn)越大, 即 。,而,例：光滑的水平面上用一彈性繩（k）系一小球(m)。開始時(shí)，彈性繩自然伸長(L0)。今給小球與彈性繩垂直的初速度V0, 試求當(dāng)彈性繩轉(zhuǎn)過90度且伸長了L 時(shí)，小球的速度大小與方向。,習(xí) 題 訓(xùn) 練,解 由機(jī)械能守恒有：,如何求角度？,由于質(zhì)點(diǎn)在有心力作用下運(yùn)動，故角動量守恒。有：,解 設(shè)飛船在點(diǎn) A 的速度 , 月球質(zhì)量 mM ,由萬有引力和牛頓定律,得,得,當(dāng)飛船在A點(diǎn)以相對速度u 向外噴氣的短時(shí)間里 , 飛船的質(zhì)量減少了m 而為 , 并獲得速度的增量 , 使飛船的速度變?yōu)?, 其值為,質(zhì)量 在

9、 A 點(diǎn)和 B 點(diǎn)只受有心力作用 , 角動量守恒,飛船在 A點(diǎn)噴出氣體后, 在到達(dá)月球的過程中, 機(jī)械能守恒,即,于是,而,例3 質(zhì)量很小長度為l 的均勻細(xì)桿,可繞過其中心 O并與紙面垂直的軸在豎直平面內(nèi)轉(zhuǎn)動.當(dāng)細(xì)桿靜止于水平位置時(shí), 有一只小蟲以速率 垂直落在距點(diǎn)O為 l/4 處, 并背離點(diǎn)O 向細(xì)桿的端點(diǎn)A 爬行.設(shè)小蟲與細(xì)桿的質(zhì)量均為m.問:欲使細(xì)桿以恒定的角速度轉(zhuǎn)動, 小蟲應(yīng)以多大速率向細(xì)桿端點(diǎn)爬行?,解 小蟲與細(xì)桿的碰撞視為完全非彈性碰撞，碰撞前后系統(tǒng)角動量守恒,系統(tǒng)角動量守恒,由角動量定理,即,考慮到,例4 一雜技演員 M 由距水平蹺板高為 h 處自由下落到蹺板的一端A,并把蹺板另一端的演員N 彈了起來.設(shè)蹺板是勻質(zhì)的,長度為l,質(zhì)量為 ,蹺板可