七年級數(shù)學(xué) 14 乘法公式培優(yōu)和競賽二合一講煉教程 人教新課標(biāo)版

1、(14 )乘法式【知識精讀】1 .乘法公式也被稱為簡并式，將乘以特殊多項式的結(jié)果匯總后直接適用。表達(dá)式中的每個字符可以表示數(shù)字、一元表達(dá)式或多項式。 此外，也可以推廣到分式、根式。公式的應(yīng)用不僅可以從左到右的順用(乘法展開)，也可以從右到左的逆用(因子分解)，記住重要的變形及其逆運算的除法等。2 .基本公式是最常用、最基本的公式，從而可以導(dǎo)出其他公式。完全平方公式： (ab)2=a22ab b2，平方差公式： (a b)(a-b)=a2-b2立方和(差)公式： (ab)(a2ab b2)=a3b33 .式的推進(jìn)：多項式平方公式： (ABCD )2=a2b2c2a b2a c2ad2BD2CD即

2、，多項式的平方等于各項的平方和加上每2項的積的2倍。二項式定理： (ab)3=a33a2b 3ab2b3(ab)4=a44a3b 6a2b24ab3 b4。(ab)5=a55a4b 10a3b2 10a2b3 5ab4b5。注意觀察右展開公式的項數(shù)、指數(shù)、系數(shù)和符號規(guī)律從平方誤差、立方和(差)式中擠出的公式(a b)(a3-a2b ab2-b3)=a4-b4(a4- a3b a2b2- ab3b4)=a5b 5(ab ) (a5- a4b a3b2- a2b3ab4- b5)=a6- b 6注意，觀察左側(cè)第二個因子表達(dá)式的項數(shù)、指數(shù)、系數(shù)和符號規(guī)則在正整數(shù)指數(shù)的條件下，能把n歸納為正整數(shù)(ab

3、 ) (a2n-1-a2n-2 ba2n-3 b2-ab2n-2-b2n-1 )=a2n-b2n(ab ) (a2n-a2n-1 ba2n-2 b2- ab2n-1 b2n )=a2n1b2n 1同樣地：(a-b ) (an-1 an-2 ban-3 b 2ABN-2 bn-1 )=an-bn4 .公式的變形及其逆運算從(a b)2=a2 2ab b2得到a2 b2=(a b)2-2ab根據(jù)(a b )3=a3a3b3ab2b3=a3b3ab (a b )得到a3 b3=(a b)3-3ab(a b )。從式的推進(jìn)可知，n為正整數(shù)時an-bn可以被a-b整除。a2n 1 b2n 1可以被a b

4、整除。a2n-b2n可以被a b和a-b整除。【分類解析】示例1 .已知的x y=a xy=b求出x2 y2 x3 y3 x4 y4 x5 y5解：x2 y2=(x y)2-2xy=a2-2bx3 y3=(x y)3-3xy(x y)=a3-3abx4y4=(xy )4-4xy (x2y2)-6 x2y2=a4-4a2b2b 2x5 y5=(x y)(x4-x3y x2y2-xy3 y4)=(x4y4- xy (x2y2) x2y2)=aa4-4a2b 2b2-b(a2-2b) b2=a5-5a3b 5ab2例2 .求證：四個連續(xù)整數(shù)的乘積加上1之和，必定是整數(shù)的平方。證明：將這4個個數(shù)分別設(shè)

5、為a、a 1、a 2、a 3 (a為整數(shù))a 1，a 2，a 3，1=a 3，a 1，a 2，1=a 23 a 2，1=(a2 3a)2 2(a2 3a) 1=(a2 3a 1)2a是整數(shù)，整數(shù)之和、差、積、商也是整數(shù)a2 3a 1完成整數(shù)認(rèn)證例3 .求證： 2222 3111可以被7整除證明： 2222 3111=(22)111 3111=4111 3111根據(jù)a2n 1 b2n 1可以被a b整除(參照內(nèi)容提要4 )4111 3111可以被4 3整除2222 3111可以被7整除例4 .從完全平方公式導(dǎo)出“位數(shù)為5的二位的平方”的修正規(guī)則解：(10 a5)2=100 a 2210 a 52

6、5=100 a (a1) 25“1位數(shù)字是5的2位平方”的特征是，應(yīng)該最后的2位數(shù)字是底數(shù)的1位數(shù)字5的平方，應(yīng)該100位以上的數(shù)字是底數(shù)的10位數(shù)字乘以比它大1的數(shù)的乘積。例如，應(yīng)該是152=225的百位數(shù)字2=12 )，252=625 (6=23 )，352=1225 (12=34) 452=2025 (20=45 )【實戰(zhàn)模擬】1 .填補(bǔ)：a2b2=(ab )2- _ _ _ _ _ _ _ _ _ _ _ _ _ _ _ _ _ _ _ _ _ _ _ _ _ _ _ _ _ _ _ _ _ _ _ _ _ _ _ _ _ _ _ _ _ _ _ _ _ _ _ _ _ _。a3b3=

7、(ab )3-3ab (_ _ _ ) a4b4=(a2b2)2- _ _ _ _ _ _a5b5=(a4b4)-_ _ _ _ _ a5b5=(a2b2)-_ _ _ _ _ u2 .填補(bǔ)：指的是x4-y4 (x-y )。x5y 5；x5y 5；x5y 5；x5y 5；x5y 53 .訂正算法：552=652=752=852=952=4 .修訂了下列各項問題，找到了什么規(guī)則？1119=2228=3436=4347=7674=5.用已知的x=3求出x2 x3 x4的值6 .簡化：(a b)2(a-b)2(a b)(a2-ab b2)(a-b)(a b)3-2ab(a2-b2) )(a b-c )和(a-b-c )和(-a b-c )。7 .自我知識a b=1，尋求證據(jù)： a3 b3-3ab=18 .求出已知a2=a 1、代數(shù)式a5-5a 2的值9 .尋求證據(jù)： 233 1可以被9整除10 .求證：兩個連續(xù)整數(shù)的乘積加上其中較大一方的數(shù)之和等于較大一方的數(shù)的平方11 .如圖所示，三個小圓心在大圓的直徑上，它們是的直徑分別為a、b、c求證：三個小圓周長之和等于大圓周長求：大圓面積減去小圓面積之和的三個差。練習(xí)4.10位的數(shù)字相同