線性方程組的直接解法.ppt

1、4.1高斯消元法、4.1.4高斯-約旦消元法、4.1.3周元素消元法、4.1.2矩陣的三角分解、4.1.1高斯消元法計算過程直接三角分解學(xué)習(xí)線性方程組解釋方法。3.理解對稱正定矩陣線性方程組求解的平方根法和三對角方程組求解的追趕法。4.掌握矢量、矩陣標(biāo)準(zhǔn)、矩陣的條件數(shù)等概念和方程組擾動分析。教學(xué)的重點(diǎn)和難點(diǎn)是1。線性方程組求解的高斯消元法、高斯消元元素消元法直接三角分解的線性方程組解釋方法；3.向量、矩陣標(biāo)準(zhǔn)、矩陣的條件數(shù)等概念及方程組擾動分析困難是方程組擾動分析。實(shí)際上，存在很多與解決方案線性方程組的問題。許多數(shù)值方法還涉及線性方程組求解問題，例如樣條曲線插值的M和M關(guān)系、曲線擬合的方法方程

2、、方程組牛頓迭代等。第四章線性方程組直接解法，線性方程組：或：我們有Gram定律。而且只有這樣的時候才有唯一的解決方法。但是，Gram定律不能用于計算方程組解法，例如N100，1033次/秒計算機(jī)。本質(zhì)上，直接方法的原理是找到可逆矩陣M，使MA成為上三角形陣列。牙齒過程通常稱為“移除”過程，移除后解釋“返回”，即MAx=Mb。牙齒章節(jié)介紹了高斯消元法及其變形，以及幾種茄子特殊方法，最后進(jìn)行了誤差分析。4.1高斯消元法，我們知道有以下三個茄子方程的解。我們可以直接求：n次運(yùn)算，(n1) n/2運(yùn)算，(n1)n/2運(yùn)算，(n1)n/2運(yùn)算，方程組，以下轉(zhuǎn)換，解決對應(yīng)的增廣矩陣(A，B)剔除過程根據(jù)

3、確定的計算過程，對方程組進(jìn)行初等行變換，方程組上三角形方程組。第一步剔除：假設(shè)，初等行轉(zhuǎn)換計算，步驟：計算量：(n-1)*(1 n)，計算量：在牙齒點(diǎn)，相應(yīng)的增強(qiáng)矩陣按k階段：類似的方式執(zhí)行。我們可以得到：運(yùn)算：(nk)*(1nk1)=(nk)(nk2)，步驟n1后轉(zhuǎn)換的矩陣。(4.1.4)因此，總運(yùn)算量為：解上述上三角陣列的運(yùn)算(n 1)n/2，結(jié)合總剔除過程和返回過程(4.1.1)求解的過程稱為高斯剔除法或順序高斯剔除法。如果我們用Cramer定律計算(4.1.1)的解，就要計算N階行列式，然后用N階除法。使用子展開法計算決定因素時，每個決定因素為n！二次乘法。所以卡梅爾定律需要約(n 1

4、)牙齒！二次乘法除法運(yùn)算。例如，n=10需要進(jìn)行約乘除運(yùn)算，但使用高斯消元法需要進(jìn)行430次乘法除運(yùn)算。例4.1用高斯消元法解方程組，第一階段消元，矩陣放大，4.1.2矩陣的三角分解，從以上消元過程可以看出消元過程順利進(jìn)行的重要條件是主元素(股)。以表示矩陣A的K階序列的主戰(zhàn)為例，存在以下定理：定理4.1牙齒完全不是0牙齒的充電條件是A的順序主常識。證明癥狀的必要性，可以進(jìn)行k-1階段消除過程。顯然，每個階段的初等變換不會改變順序主表達(dá)式的值，所以i-1階段消亡后的歸納證明就足夠了。當(dāng)K=1時，命題顯然成立。立命題對m-1成立。根據(jù)歸納假設(shè)，高斯消元法現(xiàn)在可以執(zhí)行m-1步，矩陣A轉(zhuǎn)換為：其中，

5、對角元素上方的三角形陣列。通過愿望過程，A逐漸通過初等變換得到，因此，A的M順序主常識是相同的M順序主常識。也就是說，可以拿出來，定理證明。使用矩陣(4.1.6)并不難。k階段消除過程與n-1階段消除過程獲得的過程相同。這里是上三角陣列。記住，記住，牙齒矩陣稱為單位下的三角形數(shù)組。l的對角下的每個元素是每個階段的剔除過程的乘數(shù)。最后我們得到了A=LU (4.1.7)稱為A的LU分解。定理4.3矩陣，如果順序不是0牙齒，則在唯一單位下有三角形陣列L和父三角形陣列U以創(chuàng)建A=LU。4.1.3周元素消除法，解決牙齒方程組的正確解決方法必須明確接近。但是系數(shù)是小的主元，用高斯消元法求解，熱主元素消元法

6、也稱為熱部分主元的消元法。通常，在完成步驟k-1的銷毀操作后，請選擇的K列元素下所有元素中絕對值最大的元素之一作為主元素(即，完成步驟n-1的周元、換行和銷毀操作后)。這是原始方程組等效方程組，父三角矩陣，重新求解。還有另一個完整的主元素去除法。過程的K階段不是按列選擇主元，而是在右下角的n-k子數(shù)組中選擇主元。換句話說，交換第一行和K行以交換第一列和K列，交換位置和參數(shù)，記錄參數(shù)的排序順序。按記錄將參數(shù)恢復(fù)為自然順序，直到刪除方法完成。由于熱主元素方法的舍入誤差通常很小，因此在實(shí)際計算中使用了很多熱主元素方法。示例4.3使用列主元素刪除方法解釋方程組Ax=b。計算過程中，將執(zhí)行5位有效數(shù)字運(yùn)

7、算。卸載過程在此結(jié)束。牙齒示例的精確解是不選擇主元的順序高斯消去法，按順序求解。結(jié)果表明，誤差更大。這是因?yàn)樵谔蕹ǖ牡谝浑A段，絕對值比其他元素小得多。從牙齒實(shí)例可以看出，熱周元素去除法是有效的方法。下面描述了矩陣的換行包含三角分解，即列主元法中消除過程的矩陣表示。一般來說，如果將矩陣a的I行與j行交換，則結(jié)果與矩陣a的左乘1階數(shù)組(即單位數(shù)組I交換I行和j行后得到的矩陣)相同。矩陣a乘以右側(cè)，結(jié)果是將a的I列與j列交換后得到的矩陣。(威廉莎士比亞，北距(美國電視電視劇)，矩陣，矩陣，矩陣，矩陣，矩陣，矩陣，矩陣，矩陣，矩陣)幾個基本陣列矩陣的乘積稱為陣列矩陣，結(jié)果通過多次交換得到單位矩陣矩陣

8、。大衛(wèi)亞設(shè)，Northern Exposure(美國電視電視劇，英語)，十主元素剔除法的每個步驟通常是初等陣列，如(4.1.6)所示，在步驟K中選擇主元素的行號。如果k階不需要換行，列主元素剔除方法的剔除過程在n-1階后得到上三角陣。請記住，這是列主元素刪除過程的矩陣表示。由于熱周元的選擇，我們可以看到原來的絕對值不大于1。清理4.4將A設(shè)置為非參數(shù)矩陣時，它具有數(shù)組、單位小的三角矩陣L和父三角數(shù)組U，因此PA=LU。證明可以在(4.1.9)中使用U作為向上三角形。建立陣列采用4.1.4 Gauss-Jordan消除法考慮高斯消除法的修正之一。移除對角線下方和上方的元素。牙齒方法稱為高斯-約旦剔除法。用Gauss-Jordan消去法完成步驟k-1，方程Ax=b等價方程組，相應(yīng)的增強(qiáng)矩陣在此省略了矩陣元素上標(biāo)。在K階段計算中，考慮上述矩陣K列的K行中的剔除計算。使用列主元素移除方法時，仍然在K列元素下，因此將元素中絕對值最大的元素之一設(shè)置為主元素(例如，定理4.5將A設(shè)置為