線(xiàn)性方程組的直接解法.ppt

1、4.1高斯消元法、4.1.4高斯-約旦消元法、4.1.3周元素消元法、4.1.2矩陣的三角分解、4.1.1高斯消元法計(jì)算過(guò)程直接三角分解學(xué)習(xí)線(xiàn)性方程組解釋方法。3.理解對(duì)稱(chēng)正定矩陣線(xiàn)性方程組求解的平方根法和三對(duì)角方程組求解的追趕法。4.掌握矢量、矩陣標(biāo)準(zhǔn)、矩陣的條件數(shù)等概念和方程組擾動(dòng)分析。教學(xué)的重點(diǎn)和難點(diǎn)是1。線(xiàn)性方程組求解的高斯消元法、高斯消元元素消元法直接三角分解的線(xiàn)性方程組解釋方法；3.向量、矩陣標(biāo)準(zhǔn)、矩陣的條件數(shù)等概念及方程組擾動(dòng)分析困難是方程組擾動(dòng)分析。實(shí)際上，存在很多與解決方案線(xiàn)性方程組的問(wèn)題。許多數(shù)值方法還涉及線(xiàn)性方程組求解問(wèn)題，例如樣條曲線(xiàn)插值的M和M關(guān)系、曲線(xiàn)擬合的方法方程

2、、方程組牛頓迭代等。第四章線(xiàn)性方程組直接解法，線(xiàn)性方程組：或：我們有Gram定律。而且只有這樣的時(shí)候才有唯一的解決方法。但是，Gram定律不能用于計(jì)算方程組解法，例如N100，1033次/秒計(jì)算機(jī)。本質(zhì)上，直接方法的原理是找到可逆矩陣M，使MA成為上三角形陣列。牙齒過(guò)程通常稱(chēng)為“移除”過(guò)程，移除后解釋“返回”，即MAx=Mb。牙齒章節(jié)介紹了高斯消元法及其變形，以及幾種茄子特殊方法，最后進(jìn)行了誤差分析。4.1高斯消元法，我們知道有以下三個(gè)茄子方程的解。我們可以直接求：n次運(yùn)算，(n1) n/2運(yùn)算，(n1)n/2運(yùn)算，(n1)n/2運(yùn)算，方程組，以下轉(zhuǎn)換，解決對(duì)應(yīng)的增廣矩陣(A，B)剔除過(guò)程根據(jù)

3、確定的計(jì)算過(guò)程，對(duì)方程組進(jìn)行初等行變換，方程組上三角形方程組。第一步剔除：假設(shè)，初等行轉(zhuǎn)換計(jì)算，步驟：計(jì)算量：(n-1)*(1 n)，計(jì)算量：在牙齒點(diǎn)，相應(yīng)的增強(qiáng)矩陣按k階段：類(lèi)似的方式執(zhí)行。我們可以得到：運(yùn)算：(nk)*(1nk1)=(nk)(nk2)，步驟n1后轉(zhuǎn)換的矩陣。(4.1.4)因此，總運(yùn)算量為：解上述上三角陣列的運(yùn)算(n 1)n/2，結(jié)合總剔除過(guò)程和返回過(guò)程(4.1.1)求解的過(guò)程稱(chēng)為高斯剔除法或順序高斯剔除法。如果我們用Cramer定律計(jì)算(4.1.1)的解，就要計(jì)算N階行列式，然后用N階除法。使用子展開(kāi)法計(jì)算決定因素時(shí)，每個(gè)決定因素為n！二次乘法。所以卡梅爾定律需要約(n 1

4、)牙齒！二次乘法除法運(yùn)算。例如，n=10需要進(jìn)行約乘除運(yùn)算，但使用高斯消元法需要進(jìn)行430次乘法除運(yùn)算。例4.1用高斯消元法解方程組，第一階段消元，矩陣放大，4.1.2矩陣的三角分解，從以上消元過(guò)程可以看出消元過(guò)程順利進(jìn)行的重要條件是主元素(股)。以表示矩陣A的K階序列的主戰(zhàn)為例，存在以下定理：定理4.1牙齒完全不是0牙齒的充電條件是A的順序主常識(shí)。證明癥狀的必要性，可以進(jìn)行k-1階段消除過(guò)程。顯然，每個(gè)階段的初等變換不會(huì)改變順序主表達(dá)式的值，所以i-1階段消亡后的歸納證明就足夠了。當(dāng)K=1時(shí)，命題顯然成立。立命題對(duì)m-1成立。根據(jù)歸納假設(shè)，高斯消元法現(xiàn)在可以執(zhí)行m-1步，矩陣A轉(zhuǎn)換為：其中，

5、對(duì)角元素上方的三角形陣列。通過(guò)愿望過(guò)程，A逐漸通過(guò)初等變換得到，因此，A的M順序主常識(shí)是相同的M順序主常識(shí)。也就是說(shuō)，可以拿出來(lái)，定理證明。使用矩陣(4.1.6)并不難。k階段消除過(guò)程與n-1階段消除過(guò)程獲得的過(guò)程相同。這里是上三角陣列。記住，記住，牙齒矩陣稱(chēng)為單位下的三角形數(shù)組。l的對(duì)角下的每個(gè)元素是每個(gè)階段的剔除過(guò)程的乘數(shù)。最后我們得到了A=LU (4.1.7)稱(chēng)為A的LU分解。定理4.3矩陣，如果順序不是0牙齒，則在唯一單位下有三角形陣列L和父三角形陣列U以創(chuàng)建A=LU。4.1.3周元素消除法，解決牙齒方程組的正確解決方法必須明確接近。但是系數(shù)是小的主元，用高斯消元法求解，熱主元素消元法

6、也稱(chēng)為熱部分主元的消元法。通常，在完成步驟k-1的銷(xiāo)毀操作后，請(qǐng)選擇的K列元素下所有元素中絕對(duì)值最大的元素之一作為主元素(即，完成步驟n-1的周元、換行和銷(xiāo)毀操作后)。這是原始方程組等效方程組，父三角矩陣，重新求解。還有另一個(gè)完整的主元素去除法。過(guò)程的K階段不是按列選擇主元，而是在右下角的n-k子數(shù)組中選擇主元。換句話(huà)說(shuō)，交換第一行和K行以交換第一列和K列，交換位置和參數(shù)，記錄參數(shù)的排序順序。按記錄將參數(shù)恢復(fù)為自然順序，直到刪除方法完成。由于熱主元素方法的舍入誤差通常很小，因此在實(shí)際計(jì)算中使用了很多熱主元素方法。示例4.3使用列主元素刪除方法解釋方程組Ax=b。計(jì)算過(guò)程中，將執(zhí)行5位有效數(shù)字運(yùn)

7、算。卸載過(guò)程在此結(jié)束。牙齒示例的精確解是不選擇主元的順序高斯消去法，按順序求解。結(jié)果表明，誤差更大。這是因?yàn)樵谔蕹ǖ牡谝浑A段，絕對(duì)值比其他元素小得多。從牙齒實(shí)例可以看出，熱周元素去除法是有效的方法。下面描述了矩陣的換行包含三角分解，即列主元法中消除過(guò)程的矩陣表示。一般來(lái)說(shuō)，如果將矩陣a的I行與j行交換，則結(jié)果與矩陣a的左乘1階數(shù)組(即單位數(shù)組I交換I行和j行后得到的矩陣)相同。矩陣a乘以右側(cè)，結(jié)果是將a的I列與j列交換后得到的矩陣。(威廉莎士比亞，北距(美國(guó)電視電視劇)，矩陣，矩陣，矩陣，矩陣，矩陣，矩陣，矩陣，矩陣，矩陣)幾個(gè)基本陣列矩陣的乘積稱(chēng)為陣列矩陣，結(jié)果通過(guò)多次交換得到單位矩陣矩陣

8、。大衛(wèi)亞設(shè)，Northern Exposure(美國(guó)電視電視劇，英語(yǔ))，十主元素剔除法的每個(gè)步驟通常是初等陣列，如(4.1.6)所示，在步驟K中選擇主元素的行號(hào)。如果k階不需要換行，列主元素剔除方法的剔除過(guò)程在n-1階后得到上三角陣。請(qǐng)記住，這是列主元素刪除過(guò)程的矩陣表示。由于熱周元的選擇，我們可以看到原來(lái)的絕對(duì)值不大于1。清理4.4將A設(shè)置為非參數(shù)矩陣時(shí)，它具有數(shù)組、單位小的三角矩陣L和父三角數(shù)組U，因此PA=LU。證明可以在(4.1.9)中使用U作為向上三角形。建立陣列采用4.1.4 Gauss-Jordan消除法考慮高斯消除法的修正之一。移除對(duì)角線(xiàn)下方和上方的元素。牙齒方法稱(chēng)為高斯-約旦剔除法。用Gauss-Jordan消去法完成步驟k-1，方程Ax=b等價(jià)方程組，相應(yīng)的增強(qiáng)矩陣在此省略了矩陣元素上標(biāo)。在K階段計(jì)算中，考慮上述矩陣K列的K行中的剔除計(jì)算。使用列主元素移除方法時(shí)，仍然在K列元素下，因此將元素中絕對(duì)值最大的元素之一設(shè)置為主元素(例如，定理4.5將A設(shè)置為