第3講 靜電場(chǎng)(I)(B422).ppt

1、2020年8月3日，星期一，電磁場(chǎng)和波電磁學(xué)，講座：李龍，2020年8月3日，李，復(fù)習(xí)，向量分析場(chǎng)的基本概念；標(biāo)量場(chǎng)的梯度；矢量場(chǎng)的散度和旋度；亥姆霍茲定理；柱面和球面坐標(biāo)系中的梯度、散度和旋轉(zhuǎn)。1.基本要求(1)掌握?qǐng)龅幕靖拍?，掌握?biāo)量場(chǎng)梯度、向量場(chǎng)散度和旋度的定義和運(yùn)算。(2)了解柱面坐標(biāo)系和球面坐標(biāo)系中梯度、散度和旋轉(zhuǎn)的運(yùn)算。2.重點(diǎn)和難點(diǎn)：場(chǎng)的基本概念；梯度、散度和旋度的定義、運(yùn)算和物理意義：向量微分算子、亥姆霍茲定理和向量公式。2020/8/3，L，Review，自旋自由，梯形自由，高斯公式，斯托克斯公式，2020/8/3，L，亥姆霍茲定理，源分為兩類：發(fā)散源，也稱為通量源；旋度源

2、，也稱為渦旋源。矢量場(chǎng)的屬性由激發(fā)該場(chǎng)的源決定。亥姆霍茲定理：如果向量場(chǎng)f在無(wú)限空間的任何地方都是單值的，并且它的導(dǎo)數(shù)是連續(xù)的和有界的，并且它的源分布在有限空間中，那么向量場(chǎng)由其散度和旋轉(zhuǎn)唯一地確定，它可以表示為標(biāo)量函數(shù)的梯度和向量函數(shù)的旋轉(zhuǎn)之和，也就是說(shuō)，如果它是已知的，它可以唯一地確定嗎？2020/8/3，L，第3講靜電場(chǎng)(一)，庫(kù)侖電場(chǎng)強(qiáng)度定律靜電場(chǎng)電勢(shì)的高斯定理，第3講靜電場(chǎng)(一)，靜電場(chǎng)是指由靜電荷相對(duì)于觀察者產(chǎn)生的場(chǎng)。人們對(duì)靜電的理解可以追溯到2000多年前。早在公元前585年，希臘哲學(xué)家泰勒斯就記錄了琥珀與木塊摩擦可以吸引小物體。對(duì)靜電場(chǎng)的系統(tǒng)性和科學(xué)性的研究始于1785年，當(dāng)時(shí)

3、法國(guó)科學(xué)家查維斯奧古斯丁庫(kù)侖(17361806)發(fā)現(xiàn)了以他命名的“庫(kù)侖定律”。庫(kù)侖定律和疊加原理共同構(gòu)成了靜電場(chǎng)的理論基礎(chǔ)?；趲?kù)侖定律和疊加原理，這節(jié)課將得到描述真空中靜電場(chǎng)的基本方程，然后討論介質(zhì)中的靜電場(chǎng)、它的基本解和它的能量。2020/8/3，l，庫(kù)侖定律，庫(kù)侖定律，是一個(gè)實(shí)驗(yàn)定律，是在大量實(shí)驗(yàn)結(jié)果的基礎(chǔ)上，描述真空中兩個(gè)靜態(tài)點(diǎn)電荷之間相互作用力的抽象定律。點(diǎn)電荷是指一種理想化的模型，即帶電體的尺寸比它們之間的距離小得多，電荷集中在一個(gè)點(diǎn)上。庫(kù)侖定律可以用矢量公式表示：R=r-r表示從R到R的矢量；R是從R到R的距離，0代表真空的電學(xué)性質(zhì)，這叫做真空的介電常數(shù)，它的值是2020/8/3

4、，L，庫(kù)侖定律，2020/8/3，L，庫(kù)侖定律，庫(kù)侖定律表明真空中兩點(diǎn)電荷之間的力與兩點(diǎn)電荷的乘積成正比，與距離的平方成反比；力的方向是沿著它們的連線；相同數(shù)目的電荷之間有排斥，不同數(shù)目的電荷之間有吸引。q對(duì)點(diǎn)電荷q施加的力是F，F(xiàn)=F，2020/8/3，L，庫(kù)侖定律和疊加原理。當(dāng)真實(shí)空間中存在兩個(gè)以上點(diǎn)電荷時(shí)，實(shí)驗(yàn)表明點(diǎn)電荷所受的力是所有其他點(diǎn)電荷所受力的矢量和，即滿足疊加性質(zhì)。其中，點(diǎn)電荷對(duì)Q的作用力，2020/8/3，L，庫(kù)侖定律，例1有三個(gè)點(diǎn)電荷，它們位于邊長(zhǎng)為1m的等邊三角形的頂點(diǎn)，如圖所示，計(jì)算q3上的力。求解庫(kù)侖定律，電荷分布。事實(shí)上，帶電體總是有一定的尺寸，這不能視為點(diǎn)電荷，而

5、應(yīng)視為一定區(qū)域內(nèi)的連續(xù)電荷分布。分布在某一區(qū)域的電荷稱為分布電荷。如果電荷分布在一個(gè)體積中，它被稱為散裝電荷。如果電荷分布在一個(gè)曲面上，它被稱為表面電荷；如果電荷分布在一條曲線上，它就叫做線電荷。為了定量描述一個(gè)區(qū)域內(nèi)電荷分布的密度，引入了電荷密度的概念。，2020/8/3，L，庫(kù)侖定律，庫(kù)侖定律只能直接用于點(diǎn)電荷。所謂的點(diǎn)電荷是一個(gè)理想化的模型。對(duì)于實(shí)際帶電體，電荷密度被用來(lái)定量描述電荷的空間分布。電荷體積密度在電荷分布區(qū)，取體積元素V。如果其中的電量為Q，則電荷體積密度以庫(kù)/m3 (c/m3)為單位。v趨于零，這是指相對(duì)于宏觀尺度的小體積，從而準(zhǔn)確地描述電荷的空間變化；與微觀尺度相比，體積

6、元素足夠大，可以攜帶大量帶電粒子，因此電荷分布可以看作是空間的連續(xù)函數(shù)。2020/8/3，L，庫(kù)侖定律，電荷面密度如果電荷分布在宏觀尺度很小的薄層中，可以認(rèn)為電荷分布在幾何曲面上，其分布可用面密度來(lái)描述。如果面積元素s中的電量是q，面積密度就是電荷的線密度。分布在細(xì)線上的電荷分布用線密度來(lái)描述。如果線元中的電量是，那么線密度是，庫(kù)侖定律。以體積電荷為例，根據(jù)疊加原理，介質(zhì)電量為：它將被視為點(diǎn)電荷，那么電荷上的作用力Q為：2020/8/3，L。2020/8/3，L，電場(chǎng)強(qiáng)度(電場(chǎng)強(qiáng)度)兩個(gè)電荷可以相互作用而不相互接觸，并且這種作用是通過(guò)電場(chǎng)進(jìn)行的。電場(chǎng)是一種特殊的物質(zhì)，看不見也摸不著，但可以通過(guò)

7、帶電體的相互作用來(lái)測(cè)試，電場(chǎng)的強(qiáng)度也可以通過(guò)相互作用的強(qiáng)度來(lái)測(cè)量。用來(lái)描述電場(chǎng)強(qiáng)度的物理量是電場(chǎng)強(qiáng)度。我們把作用在單位正電荷上的力定義為電場(chǎng)強(qiáng)度。它用E表示，單位是牛頓/庫(kù)侖。(V/m)定義：在該處放置點(diǎn)電荷Q(試驗(yàn)電荷)，它所承受的力是，那么電場(chǎng)強(qiáng)度是：2020/8/3，L，電場(chǎng)強(qiáng)度，注1:試驗(yàn)電荷應(yīng)該足夠小，以便試驗(yàn)電荷的引入不會(huì)影響原始電場(chǎng)；注2:源點(diǎn)由“略讀”組件表示，觀測(cè)點(diǎn)由“不略讀”組件表示；注3:點(diǎn)電荷在：點(diǎn)電荷在：分布電荷在：2020/8/3，L，電場(chǎng)強(qiáng)度組成的點(diǎn)電荷系統(tǒng)，例2 A環(huán)均勻分布總電荷Q，并從中心d計(jì)算其軸上的電場(chǎng)強(qiáng)度。解2020/8/3，L，電場(chǎng)強(qiáng)度，電力線為了形

8、象地描述電場(chǎng)，引入了電力線的概念；電力線是這樣一組曲線，任何一點(diǎn)的切線方向與該點(diǎn)的電場(chǎng)方向一致，電力線的密度與電場(chǎng)強(qiáng)度成正比。電力線的方程是：電力線具有以下特征：1 .它以正電荷開始，以負(fù)電荷結(jié)束。在不帶電的空間中，電力線不會(huì)相交。2020/8/3，L，電力線圖，2020/8/3，L，高斯定律，垂直通過(guò)曲面的電力線數(shù)稱為通過(guò)曲面的電通量。以S上的一個(gè)面板為例，它在垂直于電力線的方向上的投影是，那么通過(guò)S區(qū)域的電通量是：如果S是一個(gè)封閉的曲面，那么：2020/8/3，L，高斯定理，高斯定理描述了通過(guò)封閉表面的電場(chǎng)強(qiáng)度通量和封閉表面中的電荷之間的關(guān)系。給出了一個(gè)算例，計(jì)算了在球中心點(diǎn)電荷q產(chǎn)生的電

9、場(chǎng)中，半直徑為r的球面上的電通量。球面上解點(diǎn)電荷的電場(chǎng)強(qiáng)度如下：由此可見，顯然，矢量直徑方向與面法線方向一致，所以通過(guò)以Q為球心的球面的電通量與球面尺寸無(wú)關(guān)。，2020/8/3，L，高斯定理，推廣到通過(guò)S1和S2的電力線在任何封閉表面上圍繞Q，并且通過(guò)S1和S2的電力線必須通過(guò)S；穿過(guò)S1和S2的電力線數(shù)量相等，所以穿過(guò)S的電力線穿過(guò)S而不增加或減少；通過(guò)s的電通量對(duì)于外部電荷效應(yīng)必須是可見的。不管閉合曲面是什么，總有：2020/8/3，L，高斯定理。根據(jù)疊加原理，對(duì)于多點(diǎn)電荷或分布電荷，仍然存在：其中q是被包圍的總電荷。在真空中，通過(guò)電場(chǎng)中任何封閉表面的電通量等于它所包圍的總電荷的1/0倍，

10、這就是真空中的高斯定理。高斯定理描述了通過(guò)封閉平面的電場(chǎng)強(qiáng)度通量與封閉平面內(nèi)電荷之間的關(guān)系。要分析一個(gè)點(diǎn)的情況，使用微分形式。如果封閉平面上的電荷是具有密度的體分布電荷，高斯定理可以寫成，2020/8/3，1，高斯定理。如實(shí)施例3中的圖所示，很明顯，僅三個(gè)點(diǎn)電荷源q1、q2和q3包含在S中，而q4和q5位于S之外，這對(duì)通過(guò)S的電通量沒有貢獻(xiàn)；根據(jù)高斯定理，通過(guò)S的電通量應(yīng)為：S，2020/8/3，l。應(yīng)用高斯定理可以直接計(jì)算一些對(duì)稱分布的電荷產(chǎn)生的電場(chǎng)強(qiáng)度。此時(shí)，我們應(yīng)該能夠找到一個(gè)滿足以下要求的閉曲面：1在S上處處存在，而E是相同的；如果2在S的一個(gè)部分上滿足1，在S的另一部分上滿足上述兩個(gè)

11、條件中的一個(gè)，則可以通過(guò)高斯定理得到電場(chǎng)強(qiáng)度。對(duì)于1:對(duì)于2:我們只能找到E，2020/8/3，L，高斯定理在S的應(yīng)用。例4在半徑為A的球體中分布密度為(常數(shù))的電荷，并計(jì)算球體內(nèi)外任意點(diǎn)的電場(chǎng)強(qiáng)度。這個(gè)解決方案是通過(guò)對(duì)稱性知道的。電場(chǎng)只有矢狀方向的分量。如果S平面被視為給定球體的同心球體，那么有：1。如果S在球體內(nèi)部；2.如果S在球體之外：2020/8/3，L，高斯定理的應(yīng)用，例5，在半徑為A的無(wú)限長(zhǎng)圓柱體上，軸對(duì)稱分布密度為(r)=3r的電荷，計(jì)算圓柱體中的電荷，圓柱體中的電荷，以及圓柱體中的電荷。電場(chǎng)強(qiáng)度只有一個(gè)方向分量。它可以在列中知道：同樣可以在列外獲得。摘要：用高斯定理求解電場(chǎng)，關(guān)

12、鍵在于閉合曲面S的選擇，2020年8月3日高斯定理的應(yīng)用，以及無(wú)限平面上均勻分布著密度為S的電荷。如何選擇高斯平面？應(yīng)用高斯定理，例6知道半徑為A的球體內(nèi)外的電場(chǎng)強(qiáng)度，并計(jì)算電荷分布。從高斯定理的微分形式可以看出，電荷密度等于球坐標(biāo)的散度公式：可以看出：2020/8/3，L，靜電場(chǎng)的旋度和電勢(shì)，靜電場(chǎng)是一個(gè)矢量場(chǎng)，我們已經(jīng)討論了它的散度和通量，現(xiàn)在我們開始研究它的旋度和環(huán)流。首先，我們知道一個(gè)常見的公式：看看電場(chǎng)強(qiáng)度，其中積分用于源點(diǎn)，運(yùn)算符用于場(chǎng)點(diǎn)。2020/8/3，L，靜電場(chǎng)的旋度和電勢(shì)，電場(chǎng)強(qiáng)度可以表示為標(biāo)量勢(shì)函數(shù)的負(fù)梯度，這是矢量場(chǎng)理論所知道的：這個(gè)標(biāo)量函數(shù)是靜電場(chǎng)的勢(shì)函數(shù)，簡(jiǎn)稱為電勢(shì)

13、；電勢(shì)的單位是伏特(V)，所以電場(chǎng)強(qiáng)度的單位是伏特/米(V/m)。場(chǎng)點(diǎn)R處分布電荷的電勢(shì)為2020/8/3，位于源點(diǎn)R處的點(diǎn)電荷的電勢(shì)為2020/8/3，即靜電場(chǎng)的旋度和電勢(shì)，靜電場(chǎng)是一個(gè)非旋轉(zhuǎn)場(chǎng)，在任何閉合回路中為零循環(huán)。靜電場(chǎng)是保守場(chǎng)，沿某一路徑的積分只與起點(diǎn)和終點(diǎn)有關(guān)，與路徑無(wú)關(guān)。(P)-(P0)是P和P0之間的電位差(或電壓)，2020/8/3，L，靜電場(chǎng)的旋度和電勢(shì)。通常，選擇一個(gè)固定點(diǎn)，并將其電位設(shè)置為零，這稱為參考點(diǎn)。當(dāng)P0作為參考點(diǎn)，電位為其中，直角坐標(biāo)系中的2是，靜電場(chǎng)的旋度和電勢(shì)，2020/8/3，L，靜電場(chǎng)的旋度和電勢(shì)，以及電場(chǎng)力的功荷應(yīng)受電場(chǎng)力的作用。當(dāng)電荷在電場(chǎng)中運(yùn)動(dòng)時(shí)，電場(chǎng)力應(yīng)該對(duì)它作功。假設(shè)電荷q0在電場(chǎng)中沿著路徑L從點(diǎn)A移動(dòng)到點(diǎn)B，電場(chǎng)力確實(shí)起作用。如果電場(chǎng)是由點(diǎn)電荷Q產(chǎn)生的，也就是說(shuō)，在點(diǎn)電荷的電場(chǎng)中，電場(chǎng)力不管路徑如何都起作用；根據(jù)疊加定理，在點(diǎn)電荷系統(tǒng)或分布電荷的電場(chǎng)中，電場(chǎng)力所做的功與路徑無(wú)關(guān)，這再次證明了靜電場(chǎng)是一個(gè)保守場(chǎng)。2020/8/3，L，靜電場(chǎng)的旋度和電勢(shì)，等電位面電場(chǎng)中電勢(shì)相等的面稱為等電位面，等電位面方程是，