大學(xué)概率統(tǒng)計(jì)教程第4章

1、2020/8/3,1,第四章 隨機(jī)變量的數(shù)字特征,數(shù)學(xué)期望,2020/8/3,2,4.1 數(shù)學(xué)期望,例4.1：某自動(dòng)化車床在一天內(nèi)加工的零件中，出現(xiàn)次品的數(shù)量X是一個(gè)隨機(jī)變量。由多日統(tǒng)計(jì)，得X的分布律如下：,問車床平均一天出幾個(gè)次品？,2020/8/3,3,數(shù)學(xué)期望,設(shè)車床工作100天，按分布律，理想化后 可得平均值為,2020/8/3,4,4.1.1 數(shù)學(xué)期望的定義,若級(jí)數(shù) 不收斂,我們稱X的數(shù)學(xué)期望不存在.,2020/8/3,5,例4.2 X服從01分布,則E(X)=p,2020/8/3,6,泊松分布的期望,例4.3 設(shè)X ，則 E(X) = 。,2020/8/3,7,離散隨機(jī)變量無期望例

2、子,2020/8/3,8,連續(xù)型隨機(jī)變量的數(shù)學(xué)期望,定義 4.2若連續(xù)型隨機(jī)變量Xf(x), 如果 廣義積分,此積分為隨機(jī)變量X的數(shù)學(xué)期望,記為,絕對(duì)收斂，則稱,2020/8/3,9,連續(xù)型隨機(jī)變量的數(shù)學(xué)期望,2020/8/3,10,連續(xù)型隨機(jī)變量的數(shù)學(xué)期望,2020/8/3,11,例4.4 分布的數(shù)學(xué)期望,X的密度函數(shù):,解:,2020/8/3,12,4.1.2 隨機(jī)變量函數(shù)的期望,定理4.1 設(shè)X為隨機(jī)變量，Y=g(X)是X的 連續(xù)函數(shù)或單調(diào)函數(shù),則,(1)若離散型隨機(jī)變量XPX=xk=pk, k=1,2, 如果級(jí)數(shù),絕對(duì)收斂，則,2020/8/3,13,X,P,g(x),P,2020/8

3、/3,14,4.1.2 隨機(jī)變量函數(shù)的期望,(2)若連續(xù)型隨機(jī)變量Xf(x), 如果廣義 積分,絕對(duì)收斂，則,2020/8/3,15,證明：,2020/8/3,16,證明過程,2020/8/3,17,2020/8/3,18,例4.6,某車站開往甲地的班車每小時(shí)10分,40分 發(fā)車,一乘客因不知車站發(fā)車的時(shí)間,在每 小時(shí)的任意時(shí)刻都隨機(jī)到達(dá)車站,求乘客 的平均等待時(shí)間.,解: 設(shè)乘客到達(dá)車站的時(shí)間為X,等車時(shí)間 為Y,則XU0,60,且,2020/8/3,19,例4.6,于是,乘客的平均等待時(shí)間E(Y)為:,2020/8/3,20,連續(xù)型隨機(jī)變量期望不存在的例子,2020/8/3,21,例,20

4、20/8/3,22,定理4.2 設(shè)(X,Y)為二維隨機(jī)變量, Z=g(X,Y)是(X,Y)的連續(xù)函數(shù),(1) 若離散型隨機(jī)變量(X,Y)PX=xi Y=yj)=pij, i,j=1,2,二維隨機(jī)變量函數(shù)的期望,絕對(duì)收斂,則,如果級(jí)數(shù),2020/8/3,23,二維隨機(jī)變量函數(shù)的期望,(2)若連續(xù)型隨機(jī)變量(X,Y)f(x,y), 如 果廣義積分,絕對(duì)收斂，則,2020/8/3,24,設(shè)隨機(jī)變量(X,Y)的分布律如下，求E(XY),例4.5(二維離散型的數(shù)學(xué)期望),解:,2020/8/3,25,例4.7,2020/8/3,26,例4.7,2020/8/3,27,例4.7,2020/8/3,28,4

5、.1.3 數(shù)學(xué)期望的性質(zhì),證:,(常數(shù)的期望等于它本身),(期望有線性性質(zhì)),2020/8/3,29,數(shù)學(xué)期望具有可加性,證,2020/8/3,30,(4)設(shè)Xi(i=1,2,n) 是n個(gè)隨機(jī)變量，Ci (i=1,2,n) 是n個(gè)常數(shù)，則,-線性性質(zhì),4.1.3 數(shù)學(xué)期望的性質(zhì),(5) 若X與Y獨(dú)立，則E(XY)=E(X).E(Y),(獨(dú)立時(shí),乘積的期望等于期望的乘積),2020/8/3,31,例4.8(數(shù)學(xué)期望的性質(zhì)),2020/8/3,32,例4.8(續(xù)),2020/8/3,33,例4.9 設(shè) X Bn, p,則 E(X) = np,解: 設(shè) X表示n次獨(dú)立重復(fù)試驗(yàn)中事件A發(fā)生的次數(shù)，,則

6、,而,故,2020/8/3,34,例4.10(數(shù)學(xué)期望的線性性質(zhì)),2020/8/3,35,例4.10,2020/8/3,36,課堂練習(xí),2020/8/3,37,4.2 方差,方差的定義及計(jì)算,定義4.3 設(shè)X是隨機(jī)變量，若E(X-E(X)2存在，則定義 D(X)= E(X-E(X)2 稱其為隨機(jī)變量X的方差，記作D(X)或Var(X)，稱 為標(biāo)準(zhǔn)差。,(方差本質(zhì)是隨機(jī)變量函數(shù)的期望),2020/8/3,38,方差的表現(xiàn)形式,2020/8/3,39,方差的計(jì)算式,(實(shí)數(shù)),2020/8/3,40,例：,2020/8/3,41,2020/8/3,42,2020/8/3,43,例4.11 泊松分布

7、的方差,2020/8/3,44,例4.11 泊松分布的方差,2020/8/3,45,例4.12 -分布的方差,-分布 (，),2020/8/3,46,例4.12 -分布的方差,2020/8/3,47,4.2.2 方差的性質(zhì),(常數(shù)的方差等于0),2020/8/3,48,性質(zhì)3的證明,證明:,X與Y獨(dú)立,2020/8/3,49,(4)設(shè)Xi(i=1,2,n) 是相互獨(dú)立的n個(gè)隨機(jī)變量，ci (i=1,2,n) 是n個(gè)常數(shù)，則,(5) DX=0 存在常數(shù)c ，使得PX=c=1。事實(shí)上c=EX。,4.2.2 方差的性質(zhì),2020/8/3,50,0-1分布的數(shù)學(xué)期望和方差,E(X)=p,E(X2)=p

8、,D(X)= E(X2)-E(X)2=p-p2=pq,2020/8/3,51,二項(xiàng)分布B(n,p)的方差,設(shè),第i次試驗(yàn)事件A發(fā)生,第i次試驗(yàn)事件A不發(fā)生,2020/8/3,52,其它結(jié)論,2020/8/3,53,例4.14 計(jì)算數(shù)學(xué)期望及方差,設(shè)隨機(jī)變量X，Y，Z相互獨(dú)立，且已知X U（1，3），Ye(2)，Z（3，2），設(shè) W=2X+3XYZ-Z+5，求E（W）； (2)U=3X-2Y+Z-4，求D（U）。,解：E(X)=2，E(Y)=1/2，E(Z)=3/2，且X，Y，Z 相互獨(dú)立，故得,2020/8/3,54,例4.14 計(jì)算數(shù)學(xué)期望及方差,2020/8/3,55,2020/8/3,5

9、6,$4.2.3 變異系數(shù) 矩及中心矩,2020/8/3,57,定義4.5,2020/8/3,58,原點(diǎn)矩和中心矩的關(guān)系,2020/8/3,59,例4.15 原點(diǎn)矩和中心矩的計(jì)算,2020/8/3,60,例4.15,2020/8/3,61,例4.15,2020/8/3,62,隨機(jī)變量的標(biāo)準(zhǔn)化,設(shè)隨機(jī)變量X的數(shù)學(xué)期望E(X),方差D(X) 均存在，且D(X) 0，定義一個(gè)新的隨機(jī) 變量,則 E(X*)=0,D(X*)=1。 稱X*是隨機(jī)變量X的標(biāo)準(zhǔn)化了的隨機(jī)變量。,2020/8/3,63,定義4.6:設(shè)(X，Y)為二維的隨機(jī)變量，Cov(X,Y)=EXE(X)YE(Y). 稱為X與Y的協(xié)方差;,

10、4.3.1協(xié)方差,Cov(X, Y)=E(XY)-E(X)E(Y).,協(xié)方差的計(jì)算式為:,特別地, Cov(X,X)=D(X),2020/8/3,64,協(xié)方差的性質(zhì),(1) Cov(X,Y) Cov(Y,X),(2) Cov(X,a) =0,(3) Cov(aX,bY)=abCov(X,Y),(4) Cov(X+Y,Z)=Cov(X,Z)+Cov(Y,Z),(6) 若X與Y獨(dú)立，則Cov(X,Y)=0,2020/8/3,65,二維向量的數(shù)字特征,對(duì)二維隨機(jī)變量(X,Y),稱向量,為(X,Y)的協(xié)方差矩陣.可推廣到n維.,稱矩陣,為(X,Y)的數(shù)學(xué)期望(均值向量).,2020/8/3,66,例4

11、.16 (X,Y)有二維分布律,XY,0 1 2,0 1,1/6 1/12 1/6,1/12 1/3 1/6,求(X,Y)的數(shù)學(xué)期望和協(xié)方差矩陣.,解: (1)先求X,Y的邊緣分布律;,2020/8/3,67,例4.16,(2)計(jì)算X,Y的期望和方差,得:,(3)為計(jì)算Cov(X,Y),必須計(jì)算二維隨機(jī) 變量函數(shù)Z=XY的期望:,2020/8/3,68,例4.16,2020/8/3,69,例4.17,隨機(jī)變量,且X,Y獨(dú)立,求D(3X-2Y+Z),解:本題主要考察協(xié)方差的性質(zhì),D(3X-2Y+Z)=D(3X-2Y)+D(Z) +2Cov(3X-2Y,Z),D(3X-2Y)=?,=D(3X)+D

12、(2Y),2Cov(3X,Z) -2Cov(2Y,Z),2Cov(3X-2Y,Z)=?,2020/8/3,70,例4.17,2020/8/3,71,標(biāo)準(zhǔn)化以后的隨機(jī)變量協(xié)方差,常數(shù),2020/8/3,72,定義4.4 若隨機(jī)變量 X，Y的方差和協(xié)方差均存在, 且D(X)0,D(Y)0，則,稱為X與Y的相關(guān)系數(shù).,4.3.2 相關(guān)系數(shù),2020/8/3,73,相關(guān)系數(shù)的性質(zhì),定理4.4 (1)R(X,Y)=R(Y,X),(2)|R(X,Y)|1,(3)|R(X,Y)|=1的充要條件為:存在常 數(shù)a,b,且a0,使得P(Y=aX+b)=1,特別地,若a0,可得R(X,Y)=1,稱為 正線性相關(guān);反

13、之,稱為負(fù)線性相關(guān);,2020/8/3,74,f(t)是關(guān)于t的一元二次方程，對(duì)任意t都有,證明：(2)|R(X,Y)|1,2020/8/3,75,定理4.4的證明,2020/8/3,76,定理4.4的證明,2020/8/3,77,X,Y的線性相關(guān)性,2020/8/3,78,課堂練習(xí),2020/8/3,79,獨(dú)立與不相關(guān),X,Y獨(dú)立時(shí),可以推出Cov(X,Y)=0, 因而可以推出R(X,Y)=0,即不相關(guān); 反之不一定成立; 也就是說,X,Y不相關(guān)不能說明X,Y獨(dú)立.,例4.19 設(shè)XU(-1,1),Y=X2則X,Y不相 關(guān).,解:,2020/8/3,80,例4.19,2020/8/3,81,例4.20,設(shè)二維隨機(jī)變量(X,Y)在G上服從均勻分布 其中,求X,Y的期望與方差; 證明:X與Y不相關(guān),不