1.3.2楊輝三角.ppt

1、“楊輝三角”與二項(xiàng)式系數(shù)的性質(zhì)，復(fù)習(xí)題，1。二項(xiàng)式定理的內(nèi)容，右邊的多項(xiàng)式叫做(a b)n的二項(xiàng)式展開式；2。二項(xiàng)式系數(shù)：3。通項(xiàng)Tk 1=二項(xiàng)式展開式，對(duì)于(a b)n的標(biāo)準(zhǔn)形式，(b a)n和(a-b)n的通項(xiàng)分別為：4。在定理中，讓a=1，b=x，然后觀察和猜測，哪個(gè)是最大的二項(xiàng)式系數(shù)？為了研究它的一般規(guī)律，我們先來觀察當(dāng)n是一個(gè)特殊值時(shí)，二項(xiàng)式展開中二項(xiàng)式系統(tǒng)數(shù)的特征。你知道這是什么圖表嗎？在1261年中國南宋數(shù)學(xué)家楊輝的九章算法詳解一書中，已經(jīng)出現(xiàn)了新課的介紹、九章算法記錄表的詳解、楊輝三角、楊輝及上述二項(xiàng)式系數(shù)表等。這張表叫楊輝三角，楊輝指出這種方法是基于釋鎖計(jì)算書，中國北宋數(shù)學(xué)家

2、賈憲(約公元11世紀(jì))已經(jīng)使用過了。這表明我國最遲在11世紀(jì)發(fā)現(xiàn)了這塊手表。楊輝三角的發(fā)現(xiàn)比歐洲早約500年，這表明中國古代數(shù)學(xué)的成就非常值得中華民族驕傲。觀察：你能從這幅畫中得出什么性質(zhì)？思考：這些特性會(huì)被證明嗎？探索，a)。表中每一行的兩端都有一個(gè)。除了1之外的每個(gè)數(shù)都等于它肩上的兩個(gè)數(shù)之和。4 6=10，當(dāng)n不大時(shí)，二項(xiàng)式系數(shù)可由該表計(jì)算。概括和細(xì)化1:對(duì)稱、概括和細(xì)化2:等于兩個(gè)二項(xiàng)式系數(shù)，第一和最后端之間的距離相等。當(dāng)n是偶數(shù)時(shí)，如2、4和6，中間項(xiàng)最大。當(dāng)n是奇數(shù)時(shí)，如1、3和5，中間的兩項(xiàng)是最大的。知識(shí)調(diào)查：還有其他解釋嗎？最大項(xiàng)和增減，可視為以r為自變量的函數(shù)f(r ),其定義

3、域?yàn)?、1和n，函數(shù)角：知識(shí)查詢：當(dāng)n=6時(shí)，二項(xiàng)式系數(shù)(0r6)用圖像表示：、f(r),n為奇數(shù)；如果n=7，n是偶數(shù)；例如，n=6關(guān)于r=n/2對(duì)稱，當(dāng)r=3和r=4時(shí)獲得最大值。根據(jù)鏡像法，當(dāng)n為偶數(shù)時(shí)，中間項(xiàng)得到最大值。當(dāng)n是奇數(shù)時(shí)，中間兩項(xiàng)之和相等，同時(shí)得到最大值?？偨Y(jié)與提煉：知識(shí)探究4:二項(xiàng)式系數(shù)求和：啟示：在二項(xiàng)式定理中，A和B可以取任意數(shù)或公式，所以我們可以給A和B賦值，這是解決二項(xiàng)式相關(guān)問題的重要方法。設(shè)a=b=1，那么，在(a b) ncn0ancn 1 an-1 BCN 2 an-2 B2 cnran-rbrcnbn中，證明：進(jìn)一步考慮： (2)試圖證明在(a b)n的展

4、開式中，奇數(shù)項(xiàng)的二項(xiàng)式系數(shù)之和等于偶數(shù)項(xiàng)的二項(xiàng)式系數(shù)之和。還有其他的思考方式嗎？賦值方法，例2，小結(jié)：要找出奇數(shù)階系數(shù)和偶數(shù)階系數(shù)的和，可以先賦值，然后把方程組作為一個(gè)整體求解，思路：思路1證明：略證：由(1)n(1)n=(1)2n，兩邊展開后，比較xn的系數(shù)得到：再得到，思路2證明：證明(2)系數(shù)絕對(duì)值最大的項(xiàng)；(3)系數(shù)最大的項(xiàng)目；(3)因?yàn)榫哂姓禂?shù)的項(xiàng)是奇數(shù)，所以可以假設(shè)項(xiàng)2r-1的系數(shù)最大。(以下與2相同)r=5。1。學(xué)習(xí)斜律、創(chuàng)新與聯(lián)想、2。研究楊輝三角和斐波那契數(shù)列之間的關(guān)系。研究第一條斜線、第二條斜線、第三條斜線上的斜線：111 1 1=6，123 45=15，136 10=2

5、0，1410=15，m 1斜線上的第n個(gè)數(shù)字。結(jié)論1:在陽輝三角中，第m條斜線(從右上到左下)前的N個(gè)數(shù)之和等于第m條斜線上的N個(gè)數(shù)，即根據(jù)陽輝三角的對(duì)稱性，同樣可以得到陽輝三角中第m條斜線(從左上到右下)前的N個(gè)數(shù)之和等于第N個(gè)數(shù)，1，2，5，行5 1 5 10 10 5 1，行6 1 6 15 20 15 6 1，行7 1 7 21 35 21 71，行1 1 1 1，行0 1，行2 1 2 1，行3 1 3 1，行4 1 46 4 1，1，3，3。第8行，1 8 28 56 70 56 28 8 1，從第三個(gè)數(shù)開始，任何一個(gè)數(shù)都等于前兩個(gè)數(shù)的和；這就是著名的斐波那契數(shù)列。楊輝三角的其他定律，線0、線2k-1、線1、線2、線3、線13、線4、線14、線5、線15、線10、線10、線51、線6、線1、線1和線n-1的數(shù)字特征。陽輝三角的第7行1 7 21 35 35 21 7 1、第2行2k-第1行(k為正整數(shù))都有奇數(shù)(質(zhì)數(shù)的乘積)，第0行1 1、第1行11、第2行1 2 1、第3行1 3 3 1、第4行1 4 6 4 1、