3.4生活中的優(yōu)化問題舉例

1、3.4 生活中的優(yōu)化問題舉例,生活中經(jīng)常遇到求利潤最大、用料最省、效率最高等問題，這些問題通常稱為優(yōu)化問題，通過前面的學(xué)習(xí)，知道，導(dǎo)數(shù)是求函數(shù)最大（?。┲档挠辛ぞ?，本節(jié)我們運(yùn)用導(dǎo)數(shù)，解決一些生活中的優(yōu)化問題。,問題1:海報版面尺寸的設(shè)計,學(xué)?；虬嗉壟e行活動，通常需要張貼海報進(jìn)行宣傳，現(xiàn)讓你設(shè)計一張如圖所示的豎向張貼的海報，要求版心面積為128dm2,上下邊各空2dm,左右空1dm,如何設(shè)計海報的尺寸，才能使四周空白面積最??？,解：設(shè)版心的高為xdm,則寬為,此時四周空白面積為,學(xué)?；虬嗉壟e行活動，通常需要張貼海報進(jìn)行宣傳，現(xiàn)讓你設(shè)計一張如圖所示的豎向張貼的海報，要求版心面積為128dm2,上

2、下邊各空2dm,左右空1dm,如何設(shè)計海報的尺寸，才能使四周空白面積最??？,解：設(shè)版心的高為xcm,則寬為,此時四周空白面積為：,求導(dǎo)數(shù)，有,解得，x=16 (x=-16舍去）,因此，x=16是函數(shù)s(x)的極小值點(diǎn)，也是最小值點(diǎn)。,所以，當(dāng)版心高為16dm,寬為8dm時，能使四周空白面積最小。,答：當(dāng)版心高為16dm,寬為8dm時，海報四周空白面積最小。,練習(xí)1、一條長為l的鐵絲截成兩段，分別 彎成兩個正方形，要使兩個正方形 的面積和最小，兩段鐵絲的長度分 別是多少？,則兩個正方形面積和為,由問題的實(shí)際意義可知：,問題2:飲料瓶大小對飲料公司利潤 有影響嗎?,你是否注意過,市場上等量的小包裝

3、的物品一般比大包裝的要貴些?你想從數(shù)學(xué)上知道它的道理嗎? 是不是飲料瓶越大,飲料公司的利潤越大?,問題情景二：飲料瓶大小對飲料公司利潤的影響 下面是某品牌飲料的三種規(guī)格不同的產(chǎn)品，若它們 的價格如下表所示，則 （1）對消費(fèi)者而言，選擇哪一種更合算呢？ （2）對制造商而言，哪一種的利潤更大？,某制造商制造并出售球形瓶裝的某種飲料.瓶子制造成本是0.8r2分.其中r是瓶子的半徑,單位是厘米.已知每出售1mL的飲料,制造商可獲利0.2分,且制造商能制造的瓶子的最大半徑為6cm.,（）瓶子半徑多大時，能使每瓶飲料的利潤最大？ （）瓶子半徑多大時，每瓶飲料的利潤最小？,解：,由于瓶子的半徑為r,所以每瓶

4、飲料的利潤為：,知識背景,令,解：,由于瓶子的半徑為r,所以每瓶飲料的利潤為：,令,因此，當(dāng)r2時，f(r)0,它表示f(r)單調(diào)遞增，即半徑越大，利潤越高；,當(dāng)r2時，f(r)0,它表示f(r)單調(diào)遞減，即半徑越大，利潤越低。,（1）半徑為2時，利潤最小。這時f(2)0,表示此種瓶內(nèi)飲料的利潤還不夠瓶子的成本，此時利潤是負(fù)值；,（2）半徑為6時，利潤最大。,練習(xí)2:在邊長為60cm的正方形鐵皮的四角切去邊長相等的正方形,再把它的邊沿虛線折起(如圖),做成一個無蓋的方底鐵皮箱.箱底邊長為多少時,箱子容積最大?最大容積是多少?,x,h,解 設(shè)箱底邊長為 x,則箱高為,箱子容積為,由,解得 x1=

5、0 (舍), x2=40.,x,h,解 設(shè)箱底邊長為 x,箱子容積為,由,解得 x1=0 (舍), x2=40.,當(dāng)x(0,40)時,V(x)0;當(dāng)x(40,60)時,V(x)0.,函數(shù)V (x)在x=40處取得極大值,這個極大值就是函數(shù)V (x)的最大值.,答 當(dāng)箱箱底邊長為40cm時,箱子容積最大, 最大值為16000cm3,2、若函數(shù) f ( x )在定義域內(nèi)只有一個極值點(diǎn)x0 ，則不需與端點(diǎn)比較， f ( x0 )即是所求的最大值或最小值.,說明,1、設(shè)出變量找出函數(shù)關(guān)系式；,(所說區(qū)間的也適用于開區(qū)間或無窮區(qū)間),確定出定義域；,所得結(jié)果符合問題的實(shí)際意義,練習(xí)3:某種圓柱形的飲料罐

6、的容積一定時,如何確定它的高與底半徑,使得所用材料最省?,R,h,解 設(shè)圓柱的高為h,底面半徑為R.,則表面積為 S(R)=2Rh+2R2.,又V=R2h(定值),即h=2R.,可以判斷S(R)只有一個極值點(diǎn),且是最小值點(diǎn).,答 罐高與底的直徑相等時, 所用材料最省.,問題3:如何使一個圓形磁盤儲存更多信息?,解:,存儲量=磁道數(shù)每磁道的比特數(shù).,設(shè)存儲區(qū)的半徑介于r與R之間,由于磁道之間的寬度必須大于m,且最外面的磁道不存儲任何信息,所以磁道數(shù)最多可達(dá)(R-r)/m。,由于每條磁道上的比特數(shù)相同，為了獲得最大的存儲量，最內(nèi)一條磁道必須裝滿，即每條磁道上的比特數(shù)可達(dá)到 ,所以，磁道總存儲量為：,(1) 它是一個關(guān)于r的二次函數(shù)，從函數(shù)的解析式可以判斷，不是r