3-2矩陣的秩.ppt

1、2 矩陣的秩,一、矩陣的秩的概念,定義：在 mn 矩陣 A 中，任取 k 行 k 列( k m，kn)， 位于這些行列交叉處的 k2 個元素，不改變它們在 A中所處 的位置次序而得的 k 階行列式，稱為矩陣 A 的 k 階子式 P22,顯然，mn 矩陣 A 的 k 階子式共有 個,概念辨析： k 階子式、矩陣的子塊、余子式、代數(shù)余子式,與元素a12相對應的余子式,相應的代數(shù)余子式,矩陣 A 的一個 2 階子塊,矩陣 A 的一個 2 階子式,定義：設矩陣 A 中有一個不等于零的 r 階子式 D，且所有 r +1 階子式（如果存在的話）全等于零，那么 D 稱為矩陣 A 的最高階非零子式，數(shù) r 稱

2、為矩陣 A 的秩，記作 R(A),規(guī)定：零矩陣的秩等于零,在秩是r的矩陣中，有沒有等于0的r-1階子式？有沒有等于0的r階子式？,矩陣 A 的一個 3 階子式,矩陣 A 的 2 階子式,如果矩陣 A 中所有 2 階子式都等于零，那么這個 3 階子式也等于零 ,定義：設矩陣 A 中有一個不等于零的 r 階子式 D，且所有 r +1 階子式（如果存在的話）全等于零，那么 D 稱為矩陣 A 的最高階非零子式，數(shù) r 稱為矩陣 A 的秩，記作 R(A),根據(jù)行列式按行（列）展開法則可知，矩陣 A 中任何一個 r +2 階子式（如果存在的話）都可以用 r +1 階子式來表示 如果矩陣 A 中所有 r +

3、1 階子式都等于零，那么所有 r +2階子式也都等于零 事實上，所有高于 r +1 階的子式（如果存在的話）也都等于零 因此矩陣 A 的秩就是 A 中非零子式的最高階數(shù),規(guī)定：零矩陣的秩等于零,矩陣 A 的秩就是 A 中非零子式的最高階數(shù),顯然， 若矩陣 A 中有某個 s 階子式不等于零，則 R(A) s ； 若矩陣 A 中所有 t 階子式等于零，則 R(A) t 若 A 為 n 階矩陣，則 A 的 n 階子式只有一個，即|A| 當|A|0 時， R(A) = n ; 可逆矩陣（非奇異矩陣）又稱為滿秩矩陣 當|A| = 0 時， R(A) n ; 不可逆矩陣（奇異矩陣）又稱為降秩矩陣 若 A

4、為 mn 矩陣，則 0R(A)min(m, n) R(AT) = R(A) ,矩陣 A 的一個 2 階子式,矩陣 AT 的一個 2 階子式,AT 的子式與 A 的子式對應相等，從而 R(AT) = R(A) ,例：求矩陣 A 和 B 的秩，其中,解：在 A 中，2 階子式 ,A 的 3 階子式只有一個，即|A|，而且|A| = 0，因此 R(A) = 2 ,例：求矩陣 A 和 B 的秩，其中,解（續(xù)）：B 是一個行階梯形矩陣，其非零行有 3 行，因此其 4 階子式全為零,以非零行的第一個非零元為對角元的 3 階子式,，因此 R(B) = 3 ,還存在其它3 階非零子式嗎？,例：求矩陣 A 和

5、B 的秩，其中,解（續(xù)）：B 還有其它 3 階非零子式，例如,結論：行階梯形矩陣的秩就等于非零行的行數(shù),二、矩陣的秩的計算,例：求矩陣 A 的秩，其中 ,分析：在 A 中，2 階子式 ,A 的 3 階子式共有 (個)， 要從40個子式中找出一個非零子式是比較麻煩的,一般的矩陣，當行數(shù)和列數(shù)較高時，按定義求秩是很麻煩的 .,行階梯形矩陣的秩就等于非零行的行數(shù).,一個自然的想法是用初等變換將一般的矩陣化為行階梯形矩陣.,兩個等價的矩陣的秩是否相等？,定理：若 A B，則 R(A) = R(B) ,應用：根據(jù)這一定理，為求矩陣的秩，只要用初等行變換把 矩陣化成行階梯形矩陣，行階梯形矩陣中非零行的行數(shù)

6、就是 該矩陣的秩,例：求矩陣 的秩，并求 A 的一個 最高階非零子式,解：第一步先用初等行變換把矩陣化成行階梯形矩陣,行階梯形矩陣有 3 個非零行，故R(A) = 3 ,第二步求 A 的最高階非零子式選取行階梯形矩陣中非零行 的第一個非零元所在的列,，與之對應的是選取矩陣 A 的第一、 二、四列,R(A0) = 3，計算 A0的前 3 行構成的子式,因此這就是 A 的一個最高階非零子式,分析：對 B 作初等行變換變?yōu)樾须A梯形矩陣，設 B 的行階梯 形矩陣為 ，則 就是 A 的行階梯形矩陣，因此可從 中同時看出R(A)及 R(B) ,例：設 ，求矩陣 A 及矩陣 B = (A, b) 的秩,解：

7、,R(A) = 2 R(B) = 3,例：求 的值，使矩陣 A 的秩為最小,解：,當 =0,R(A)=2 ,當 ,R(A)=3。所以,矩陣的秩的性質,若 A 為 mn 矩陣，則 0R(A)min(m, n) R(AT) = R(A) 若 A B，則 R(A) = R(B) 若 P、Q 可逆，則 R(PAQ) = R(B) maxR(A), R(B)R(A, B)R(A)R(B) 特別地，當 B = b 為非零列向量時，有 R(A)R(A, b)R(A)1 R(AB)R(A)R(B) R(AB)minR(A), R(B) 若 Amn Bnl = O，則 R(A)R(B)n ,例：設 A 為 n

8、階矩陣， 證明 R(AE)R(AE)n ,證明：因為 (AE) (EA) = 2E， 由性質“R(AB)R(A)R(B) ”有 R(AE)R(EA)R(2E) = n 又因為R(EA) = R(AE)，所以 R(AE)R(AE)n ,例：若 Amn Bnl = C，且 R(A) = n，則R(B) = R(C) ,解：因為 R(A) = n， 所以 A 的行最簡形矩陣為 ， 設 m 階可逆矩陣 P ，滿足 于是 因為 R(C) = R(PC)，而 ，故R(B) = R(C) ,行階梯形矩陣： 可畫出一條階梯線，線的下方全為零； 每個臺階只有一行； 階梯線的豎線后面是非零行的第一個非零元素.,行最簡形矩陣： 非零行的第一個非零元為1; 這些非零元所在的列的其它元素都為零.,分析：若 R(A) = n，則 A 的行最簡形矩陣應該 有 n 個非零行； 每個非零行的第一個非零元為 1 ； 每個非零元所在的列的其它元素都為零 于是 A 的行最簡形中應該包含以下 n 個列向量：,又因為 A 是 mn 矩陣，所以 A 的行最簡形矩陣為 ,前 n 行,后 m - n 行,例：若 Amn Bnl = C，且 R(A) = n，則R(B) = R(C) ,返回,例：若 Amn Bnl = C，且