扭轉(zhuǎn) 4

1、1,第四章 扭 轉(zhuǎn),材料力學(xué),2,41 引言 42 外力偶矩和扭矩 43 薄壁圓筒的扭轉(zhuǎn) 44 圓軸扭轉(zhuǎn)時(shí)的應(yīng)力 強(qiáng)度計(jì)算 45 圓軸扭轉(zhuǎn)時(shí)的變形 剛度計(jì)算 46 非圓截面桿扭轉(zhuǎn)簡介,第四章 扭 轉(zhuǎn),*圓軸扭轉(zhuǎn)超靜定問題,3,扭轉(zhuǎn),41 引 言,軸： 工程中以扭轉(zhuǎn)為主要變形的構(gòu)件。如：機(jī)器中的傳動(dòng)軸、石油鉆機(jī)中的鉆桿、汽車轉(zhuǎn)向軸、攪拌器軸等。,受力特點(diǎn)：在垂直于桿軸線的平面內(nèi)作用有力偶.,變形特點(diǎn)：任意橫截面繞桿軸相對(duì)轉(zhuǎn)動(dòng)。（桿表面縱線螺 旋線扭轉(zhuǎn)變形）,4,扭轉(zhuǎn),扭轉(zhuǎn)角(相對(duì)扭轉(zhuǎn)角)（）：任意兩橫截面繞軸線轉(zhuǎn)動(dòng)而 發(fā)生的角位移。 剪應(yīng)變(切應(yīng)變)（）：直角的改變量。,5,扭轉(zhuǎn),工 程 實(shí) 例

2、,6,扭轉(zhuǎn),42 外力偶矩和扭矩,一、外力偶矩,其中：P 功率，千瓦（kW） n 轉(zhuǎn)速，轉(zhuǎn)/分（rpm）,其中：P 功率，馬力（PS） n 轉(zhuǎn)速，轉(zhuǎn)/分（rpm）,1kW = 1000Nm/s = 1.36PS,使桿件產(chǎn)生扭轉(zhuǎn)變形的力偶矩。數(shù)值上等于桿件所受外力對(duì)桿軸的力矩。,傳動(dòng)軸的傳遞功率、轉(zhuǎn)速與外力偶矩的關(guān)系：,7,3 扭矩的符號(hào)規(guī)定： “T”的轉(zhuǎn)向與截面外法線方向滿足右手螺旋法則為正，反之為負(fù)。,扭轉(zhuǎn),二、扭矩及扭矩圖,1 扭矩：構(gòu)件受扭時(shí)，橫截面上的內(nèi)力偶矩，記作“T”。,2 截面法求扭矩,8,扭轉(zhuǎn),4 扭矩圖：表示扭矩沿軸線方向變化規(guī)律的圖線。,目 的,x,T,9,扭轉(zhuǎn),例1已知：

3、一傳動(dòng)軸， n =300r/min，主動(dòng)輪輸入 P1=500kW，從動(dòng)輪輸出 P2=150kW，P3=150kW，P4=200kW，試?yán)L制扭矩圖。,解：計(jì)算外力偶矩,10,扭轉(zhuǎn),求扭矩（扭矩按正方向設(shè)）,求扭矩: 任意截面的扭矩,數(shù)值上等于截面一側(cè)軸段所有外力偶矩的代數(shù)和. 轉(zhuǎn)向與這些外力偶矩的合力偶矩之轉(zhuǎn)向相反.,11,扭轉(zhuǎn),繪制扭矩圖,BC段為危險(xiǎn)截面。,x,T,4.78,9.56,6.37,12,扭轉(zhuǎn),43 薄壁圓筒的扭轉(zhuǎn),一、實(shí)驗(yàn)：,1.實(shí)驗(yàn)前：,繪縱向線，圓周線；,施加一對(duì)外力偶 m。,13,扭轉(zhuǎn),2.實(shí)驗(yàn)后：,圓周線的大小、形狀、間距不變； 縱向線變成斜直線，傾角相同。,3.結(jié)論：

4、各圓周線的間距均未改變橫截面上無正應(yīng)力.,圓周線的形狀、大小均未改變，只是繞軸線作了相對(duì)轉(zhuǎn)動(dòng)周向無正應(yīng)力,縱向線傾斜橫截面上有切應(yīng)力.,各縱向線均傾斜了同一微小角度 切應(yīng)力均勻分布.,14,扭轉(zhuǎn),橫截面上無正應(yīng)力 周向無正應(yīng)力 橫截面上各點(diǎn)處，只產(chǎn)生垂直于半徑的均勻分布的切應(yīng)力 ，沿周向大小不變，方向與該截面的扭矩方向一致。,微小矩形單元體如圖所示：,15,扭轉(zhuǎn),二、薄壁圓筒切應(yīng)力 與剪應(yīng)變g：,A0：平均半徑所作圓的面積。,切應(yīng)力,剪應(yīng)變,16,扭轉(zhuǎn),三、切應(yīng)力互等定理：,上式稱為切應(yīng)力互等定理。 該定理表明：在單元體相互垂直的兩個(gè)平面上，切應(yīng)力必然成對(duì)出現(xiàn)，且數(shù)值相等，兩者都垂直于兩平面的

5、交線，其方向則共同指向或共同背離該交線。,17,扭轉(zhuǎn),四、剪切虎克定律：,單元體的四個(gè)側(cè)面上只有切應(yīng)力而無正應(yīng)力作用，這種應(yīng)力狀態(tài)稱為純剪切應(yīng)力狀態(tài)。,薄壁圓筒體扭轉(zhuǎn)實(shí)驗(yàn),18,扭轉(zhuǎn),T=m,剪切虎克定律：當(dāng)切應(yīng)力不超過材料的剪切比例極限時(shí)（ p) (在彈性范圍內(nèi))，切應(yīng)力與剪應(yīng)變成正比關(guān)系。,在一定范圍內(nèi),19,扭轉(zhuǎn),式中：G是材料的一個(gè)彈性常數(shù)，稱為剪切彈性模量，因 無量綱，故G的量綱與 相同，不同材料的G值可通過實(shí)驗(yàn)確定，鋼材的G值約為80GPa。,剪切彈性模量、彈性模量和泊松比是表明材料彈性性質(zhì)的三個(gè)常數(shù)。對(duì)各向同性材料，這三個(gè)彈性常數(shù)之間存在下列關(guān)系（推導(dǎo)詳見后面章節(jié)）：,可見，在三

6、個(gè)彈性常數(shù)中，只要知道任意兩個(gè)，第三個(gè)量就可以推算出來。,20,扭轉(zhuǎn),44 圓軸扭轉(zhuǎn)時(shí)的應(yīng)力 強(qiáng)度計(jì)算,圓軸橫截面應(yīng)力,變形幾何方面 物理關(guān)系方面 靜力學(xué)方面,1. 橫截面變形后 仍為平面； 2. 軸向無伸縮； 3. 縱向線變形后仍為平行。,一、等直圓軸扭轉(zhuǎn)實(shí)驗(yàn)觀察：,21,22,扭轉(zhuǎn),二、等直圓軸扭轉(zhuǎn)時(shí)橫截面上的應(yīng)力：,1. 變形幾何關(guān)系：,距圓心為 任一點(diǎn)處的與到圓心的距離成正比。, 扭轉(zhuǎn)角沿長度方向變化率(單位長度扭轉(zhuǎn)角)。,23,扭轉(zhuǎn),T,2. 物理關(guān)系：,胡克定律： 代入上式得：,距圓心等距離處的切應(yīng)力相等,24,扭轉(zhuǎn),3. 靜力學(xué)關(guān)系：,令,代入物理關(guān)系式 得：,25,扭轉(zhuǎn),橫截面

7、上距圓心為處任一點(diǎn)切應(yīng)力計(jì)算公式。,4. 公式討論： 僅適用于各向同性、線彈性材料，在小變形時(shí)的等圓截面 直桿。, 式中：T橫截面上的扭矩，由截面法通過外力偶矩求得。 該點(diǎn)到圓心的距離。 Ip極慣性矩，純幾何量，無物理意義。,26,扭轉(zhuǎn),單位：mm4，m4。, 盡管由實(shí)心圓截面桿推出，但同樣適用于空心圓截面桿， 只是Ip值不同。,D,d,O,27,扭轉(zhuǎn),O,d,28,扭轉(zhuǎn), 應(yīng)力分布,T,t,max,t,max,t,max,T,（實(shí)心截面）,（空心截面）,工程上采用空心截面構(gòu)件：提高強(qiáng)度，節(jié)約材料， 結(jié)構(gòu)輕便，應(yīng)用廣泛。,29,扭轉(zhuǎn), 確定最大切應(yīng)力：,Wt 抗扭截面系數(shù)（抗扭截面模量）， 幾

8、何量，單位：mm3或m3。,30,扭轉(zhuǎn),三、等直圓桿扭轉(zhuǎn)時(shí)斜截面上的應(yīng)力,低碳鋼試件： 沿橫截面斷開。,鑄鐵試件： 沿與軸線約成45的螺旋線斷開。,因此還需要研究斜截面上的應(yīng)力。,31,扭轉(zhuǎn),1. 點(diǎn)M的應(yīng)力單元體如圖(b)：,(a),(b),t,t,(c),2. 斜截面上的應(yīng)力； 取分離體如圖(d)：,(d),32,扭轉(zhuǎn),(d),n,t,轉(zhuǎn)角規(guī)定： 軸正向轉(zhuǎn)至截面外法線,逆時(shí)針：為“+” 順時(shí)針：為“”,由平衡方程：,解得：,33,扭轉(zhuǎn),分析：,當(dāng) = 0時(shí)，,當(dāng) = 45時(shí)，,當(dāng) = 45時(shí)，,當(dāng) = 90時(shí)，,由此可見：圓軸扭轉(zhuǎn)時(shí)，在橫截面和縱截面上的切應(yīng)力為最大值；在方向角 = 45的

9、斜截面上作用有最大壓應(yīng)力和最大拉應(yīng)力。根據(jù)這一結(jié)論，就可解釋前述的破壞現(xiàn)象。,34,扭轉(zhuǎn),四、圓軸扭轉(zhuǎn)時(shí)的強(qiáng)度計(jì)算,強(qiáng)度條件：,對(duì)于等截面圓軸：,( 稱為許用切應(yīng)力。),強(qiáng)度計(jì)算三方面：, 校核強(qiáng)度：, 設(shè)計(jì)截面尺寸：, 計(jì)算許可載荷：,靜載下: = ( 0.5 0.6 ) s ( 鋼 ) = ( 0.8 1.0 ) s ( 鑄鐵 ),35,扭轉(zhuǎn),例2 功率為150kW，轉(zhuǎn)速為15.4轉(zhuǎn)/秒的電動(dòng)機(jī)轉(zhuǎn)子軸如圖， 許用切應(yīng)力 =30M Pa, 試校核其強(qiáng)度。,T,m,解：求扭矩及扭矩圖,計(jì)算并校核切應(yīng)力強(qiáng)度,此軸滿足強(qiáng)度要求。,x,36,扭轉(zhuǎn),45 圓軸扭轉(zhuǎn)時(shí)的變形 剛度計(jì)算,一、扭轉(zhuǎn)時(shí)的變形,

10、由公式,知：長為 l一段等截面桿兩截面間相對(duì)扭轉(zhuǎn)角 為,單位: 弧度(rad),37,扭轉(zhuǎn),二、單位扭轉(zhuǎn)角q：,或,三、剛度條件,或,GIp反映了截面抵抗扭轉(zhuǎn)變形的能力，稱為截面的抗扭剛度。,q稱為許用單位扭轉(zhuǎn)角。,38,扭轉(zhuǎn),剛度計(jì)算的三方面：, 校核剛度：, 設(shè)計(jì)截面尺寸：, 計(jì)算許可載荷：,有時(shí)，還可依據(jù)此條件進(jìn)行選材。,q 根據(jù)機(jī)器要求、軸的工作條件確定。 可查手冊。,精密機(jī)器軸： q = （ 0.15 0.30 ）/m,一般傳動(dòng)軸： q = （ 0.30 .0 ）/m,精度不高的軸： q = （ .0 . ）/m,39,扭轉(zhuǎn),例3長為 L=2m 的圓桿受均布力偶 m=20Nm/m 的

11、作用，如圖，若桿的內(nèi)外徑之比為 =0.8 ，G=80GPa ，許用切應(yīng)力 =30MPa，試設(shè)計(jì)桿的外徑；若q=2/m ，試校核此桿的剛度，并求右端面轉(zhuǎn)角。,解：設(shè)計(jì)桿的外徑,40,扭轉(zhuǎn),40Nm,x,T,代入數(shù)值得：,D 0.0226m。, 由扭轉(zhuǎn)剛度條件校核剛度,41,扭轉(zhuǎn),40Nm,x,T,右端面轉(zhuǎn)角為：,42,例4 某傳動(dòng)軸設(shè)計(jì)要求轉(zhuǎn)速n = 500 r / min，輸入功率N1 = 500 馬力， 輸出功率分別 N2 = 200馬力及 N3 = 300馬力，已知：G=80GPa ， =70M Pa，f=1/m ，試確定： AB 段直徑 d1和 BC 段直徑 d2 ？ 若全軸選同一直徑，

12、應(yīng)為多少？ 主動(dòng)輪與從動(dòng)輪如何安排合理？,扭轉(zhuǎn),解：圖示狀態(tài)下,扭矩如圖，由強(qiáng)度條件得：,T,x,7.024, 4.21,(kNm),43,扭轉(zhuǎn),由剛度條件得：,T,x,7.024,4.21,(kNm),44,扭轉(zhuǎn),綜上：,全軸選同一直徑時(shí),45,扭轉(zhuǎn), 軸上的絕對(duì)值最大的扭矩越小越合理，所以，1輪和2輪應(yīng) 該換位。換位后,軸的扭矩如圖所示,此時(shí),軸的最大直徑 為 75mm。,T,x, 4.21,(kNm),2.814,46,扭轉(zhuǎn),圓軸扭轉(zhuǎn)的超靜定問題,解決扭轉(zhuǎn)超靜定問題的方法步驟：,平衡方程；,幾何方程變形協(xié)調(diào)方程；,補(bǔ)充方程：由幾何方程和物理方程得；,物理方程；,解由平衡方程和補(bǔ)充方程組成

13、的方程組。,47,扭轉(zhuǎn),例5長為 L=2m 的圓桿受均布力偶 m=20Nm/m 的作用，如圖，若桿的內(nèi)外徑之比為 =0.8 ，外徑 D=0.0226m ，G=80GPa，試求固端反力偶。,解：桿的受力圖如圖示， 這是一次超靜定問題。 平衡方程為：,48,扭轉(zhuǎn),幾何方程變形協(xié)調(diào)方程, 綜合物理方程與幾何方程，得補(bǔ)充方程：, 由平衡方程和補(bǔ)充方程得：,另:此題可由對(duì)稱性直接求得結(jié)果。,49,扭轉(zhuǎn),46 非圓截面桿扭轉(zhuǎn)簡介,非圓截面等直桿：平面假設(shè)不成立。即各截面發(fā)生翹曲成空間曲面。因此，由等直圓桿扭轉(zhuǎn)時(shí)推出的應(yīng)力、變形公式不適用，須由彈性力學(xué)方法求解。,50,扭轉(zhuǎn),一、自由扭轉(zhuǎn)：桿件扭轉(zhuǎn)時(shí)，橫截面

14、的翹曲不受限制，任意兩相 鄰截面的翹曲程度完全相同。,二、約束扭轉(zhuǎn)：桿件扭轉(zhuǎn)時(shí)，橫截面的翹曲受到限制，相鄰截面 的翹曲程度不同。,三、矩形桿橫截面上的切應(yīng)力:,1. 切應(yīng)力分布如圖： （角點(diǎn)、形心、長短邊中點(diǎn)）,(縱向纖維長度不變, 無 s , 只有 t ),（產(chǎn)生 s 、t ),51,扭轉(zhuǎn),2. 最大切應(yīng)力及單位扭轉(zhuǎn)角,It相當(dāng)極慣性矩。, 和 可查表求得。,52,扭轉(zhuǎn),例8 一矩形截面等直鋼桿，其橫截面尺寸為：h = 100 mm， b=50mm，長度L=2m，桿的兩端受扭轉(zhuǎn)力偶 T=4000Nm 的 作用 ，鋼的G =80GPa ，=100M Pa，=1/m ，試校核 此桿的強(qiáng)度和剛度。,解：查表求 、,校核強(qiáng)度,53,扭轉(zhuǎn),校核剛度,綜上,此桿滿足強(qiáng)度和剛度要求。,54,扭轉(zhuǎn),一、切應(yīng)力流的方向與扭矩的方向一致。,二、開口薄壁截面桿在自由扭轉(zhuǎn)時(shí)的切應(yīng)力分布如圖（a），厚 度中點(diǎn)處，應(yīng)力為零。,39 薄壁