高等數(shù)學(xué)在數(shù)學(xué)建模中的應(yīng)用舉例.ppt

1、高等數(shù)學(xué)是現(xiàn)代各科知識(shí)的理論基礎(chǔ)，在數(shù) 學(xué)建模中有廣泛的應(yīng)用，極限、連續(xù)和積分 等數(shù)學(xué)思想是建立數(shù)學(xué)模型的基本思想，抽 象思維和邏輯思維能力是數(shù)學(xué)建模必備的能力。 在教學(xué)中，融入數(shù)學(xué)建模思想和方法，讓學(xué)生 養(yǎng)成數(shù)學(xué)建模的習(xí)慣。 暑假組織學(xué)生參加全國(guó)大學(xué)生數(shù)學(xué)建模競(jìng)賽， 培養(yǎng)他們建立數(shù)學(xué)模型和解決數(shù)學(xué)模型的能力。,高等數(shù)學(xué)在數(shù)學(xué)建模中的應(yīng)用舉例,某航空母艦派其護(hù)衛(wèi)艦去搜尋其跳傘的飛 行 員，護(hù)衛(wèi)艦找到飛行員后，航母通知它盡快 返回與其匯合并通報(bào)了航母當(dāng)前的航速與方 向，問護(hù)衛(wèi)艦應(yīng)怎樣航行，才能與航母匯合。,例1 艦艇的會(huì)合,即：,可化為：,（護(hù)衛(wèi)艦的路線方程）,（航母的路線方程 ）,即可求出P點(diǎn)

2、的坐標(biāo)和2 的值。 本模型雖簡(jiǎn)單，但分析極清晰且易于實(shí)際應(yīng)用,例2 雙層玻璃的功效,在寒冷的北方， 許多住房的 玻璃窗都是雙層 玻璃的，現(xiàn)在我們來建立一個(gè)簡(jiǎn)單 的數(shù)學(xué)模 型，研究一下雙層玻璃到底有多 大的功效。 比較兩座其他條件完全相同的房屋，它們 的 差異僅僅在窗戶不同。,設(shè)玻璃的熱傳導(dǎo)系數(shù) 為k1，空氣的熱傳導(dǎo)系數(shù) 為k2，單位時(shí)間通過單位面積由溫度高的一側(cè)流向溫度低的一側(cè)的熱量為,解得：,此函數(shù)的圖形為,類似有,一般,故,記h=l/d并令f(h)=,考慮到美觀和使用上 的方便，h不必取得過大，例如，可 取h=3，即l=3d，此時(shí)房屋熱量的損失不超過單層玻璃窗時(shí)的 3% 。,例3 崖高的估

3、算,假如你站在崖頂且身上帶著一只具有跑表功 能的計(jì)算器，你也許會(huì)出于好奇心想用扔下 一塊石頭聽回聲的方法來估計(jì)山崖的高度， 假定你能準(zhǔn)確地測(cè)定時(shí)間，你又怎樣來推算 山崖的高度呢，請(qǐng)你分析一下這一問題。,方法一,我學(xué)過微積分，我可以做 得更好，呵呵。,令k=K/m，解得,代入初始條件 v(0)=0，得c=g/k，故有,再積分一次，得：,若設(shè)k=0.05并仍設(shè) t=4秒，則可求 得h73.6米。,聽到回聲再按跑表，計(jì)算得到的時(shí)間中包含了 反應(yīng)時(shí)間,進(jìn)一步深入考慮,不妨設(shè)平均反應(yīng)時(shí)間 為0.1秒 ，假如仍 設(shè)t=4秒，扣除反應(yīng)時(shí)間后應(yīng) 為3.9秒，代入 式，求得h69.9米。,多測(cè)幾次，取平均值,再

4、一步深入考慮,例4 錄像帶還能錄多長(zhǎng)時(shí)間,錄像機(jī)上有一個(gè)四位計(jì)數(shù)器，一盤 180分鐘 的錄像帶在開始計(jì)數(shù)時(shí)為 0000，到結(jié)束時(shí)計(jì) 數(shù)為1849，實(shí)際走時(shí)為185分20秒。我們從 0084觀察到0147共用時(shí)間3分21秒。若錄像 機(jī)目前的計(jì)數(shù)為1428，問是否還能錄下一個(gè) 60分鐘的節(jié)目？,又 因和 得,積分得到,即,從而有,此式中的三個(gè)參數(shù)、v和r均不易精確測(cè)得，雖然我們可以從上式解出t與n的函數(shù)關(guān)系，但效果不佳，故令 則可將上式簡(jiǎn)化為：,故,t= an2+bn,上式以a、b為參數(shù)顯然是一個(gè)十分明智的做法，它為公式的最終確立即參數(shù)求解提供了方便。將已知條件代入，得方程組：,從后兩式中消 去t

5、1，解得a=0.0000291, b=0.04646,故t=0.0000291 n2+0.04646n，令n=1428，得到t=125.69（分）由于一盒錄像帶實(shí)際可錄像時(shí)間為185.33分，故尚可錄像時(shí)間 為59.64分，已不能再錄下一個(gè)60分鐘的節(jié)目了。,設(shè)磚塊是均質(zhì)的，長(zhǎng)度與重量均 為1，其 重心在中點(diǎn)1/2磚長(zhǎng)處，現(xiàn)用歸納法推導(dǎo)。,由第 n塊磚受到的兩個(gè)力的力矩相等，有： 1/2-Zn= (n1) Zn 故Zn =1/(2n)，從而上面 n塊磚向右推出的總距離為 ，,故磚塊向右可疊至 任意遠(yuǎn) ，這一結(jié)果多少 有點(diǎn)出人意料。,AB發(fā)出車次顯然是一樣多的， 否則一處的車輛將會(huì)越積越多。,例

6、7 方桌問題,將一張四條腿的方桌放在不平的地面上，不 允許將桌子移到別處，但允許其繞中心旋轉(zhuǎn) ，是否總能設(shè)法使其四條腿同時(shí)落地？,不附加任何條件，答案 顯然 是否定的，,現(xiàn)在，我們來證明：如果上述假設(shè)條件成立，那么答案是肯定的。以方桌的中心為坐標(biāo)原點(diǎn)作直角坐標(biāo)系如 圖所示，方桌的四條腿分別在A、B、C、D處，A、C的初始位置在x軸上，而B、D則在y軸上，當(dāng)方桌繞中 心0旋轉(zhuǎn)時(shí)，對(duì)角線 AC與x軸的夾角記為。 容易看出，當(dāng)四條腿尚未全部著地時(shí)，腿到地面的距離是不確定的。為消除這一不確定性，令 f()為A、C離地距離之和，g()為B、D離地距離之和，它們的值 由唯一確定。由假設(shè)（1），f()、g(

7、)均為的連續(xù)函數(shù)。又 由假設(shè)（3），三條腿總能同時(shí)著地， 故f()g()=0必成立（ ）。不妨設(shè)f(0)=0,g(0)0（若g(0)也為0，則初始時(shí)刻已四條腿著地，不必再旋轉(zhuǎn)），于是問題歸結(jié)為：, 圓周率是人類獲得的最古老的數(shù)學(xué)概念之一，早在大約3700年前（即公元前1700年左右）的古埃及人就已經(jīng)在 用256/81（約3.1605）作為的近似值了。幾千年來，人們一直沒有停止過求的努力。,例8 的計(jì)算,古 典 方 法 分 析 方 法 其 它 方 法, 概率方法 數(shù)值積分方法,古典方法,用什么方法來計(jì) 算的近似值呢？顯然，不可能僅根據(jù)圓周率的定義，用圓的周長(zhǎng)去除以直徑。起先，人們采用的都是用圓內(nèi)

8、接正多邊形和圓外切正多邊形來逼近的古典方法。,6邊形,12邊形,24邊形,圓, 阿基米德曾用圓內(nèi)接 96邊形和圓外切96邊形夾逼的方法證明了,由 和 導(dǎo)出, 公元5世紀(jì)，祖沖之指出,比西方得到同樣結(jié)果幾乎早了1000年, 十五世紀(jì)中葉，阿爾卡西給出的16位小數(shù)，打破了祖沖之的紀(jì)錄, 1579年,韋達(dá)證明, 1630年,最后一位用古典方法求的人格林伯格也只求到了的第39位小數(shù),分析方法,從十七世紀(jì)中葉起，人們開始用更先進(jìn)的分析方法來求的近似值，其中應(yīng)用的主要工具是收斂的無窮乘積和無窮級(jí)數(shù)，在本節(jié)中我們將介紹一些用此類方法求近似值的實(shí)例。,取,取, 1656年，沃里斯(Wallis)證明, 在微積分中我們學(xué)過泰勒級(jí)數(shù)，其中有,當(dāng),取,取, 在中學(xué)數(shù)學(xué)中證明過下面的等式, 麥琴(Machin)給出,(Machin公式),其它方法,除用古典方法與分析方法求的近似值以外，還有人用其他方法來求的近似值。這里我