曲率半徑[1]1.ppt

1、第四講 橢球面上幾種曲率半徑,一系大地測(cè)量教研室,橢球大地測(cè)量學(xué),上節(jié)課內(nèi)容回顧,第四講 橢球面上幾種曲率半徑,橢球面基本幾何元素及其相互關(guān)系,輔助函數(shù),上節(jié)課內(nèi)容回顧,第四講 橢球面上幾種曲率半徑,重要結(jié)論,構(gòu)成直角三角形,橢球面上一點(diǎn)的法線(xiàn)，界于橢球面和短軸間的長(zhǎng)度等于N，在赤道面上側(cè)的長(zhǎng)度等于N（1-e2），在赤道面下側(cè)的長(zhǎng)度等于Ne2。,本節(jié)課主要內(nèi)容,第四講 橢球面上幾種曲率半徑,任意方向法截線(xiàn)曲率半徑。 子午圈和卯酉圈曲率半徑。 曲率半徑變化規(guī)律。 平均曲率半徑。,一.任意方向法截線(xiàn)曲率半徑（Normal transversal curvature radius at random

2、 directions),1、法截面、法截線(xiàn)的概念 法截面：包含橢球面某點(diǎn)法線(xiàn)的平面（如平面P1PP2）。 法截線(xiàn)：法截面與橢球面的交線(xiàn)，（如曲線(xiàn)P1PP2 ），是一平面曲線(xiàn)。,第四講 橢球面上幾種曲率半徑,3、基本思路,2、法截線(xiàn)的作用,橢球面方程,一.任意方向法截線(xiàn)曲率半徑(Normal transversal curvature radius at random directions),4、新坐標(biāo)系P-xyz的定義,第四講 橢球面上幾種曲率半徑,坐標(biāo)原點(diǎn)：與P點(diǎn)重合； z軸：與P點(diǎn)法線(xiàn)PK重合； x軸：為法截線(xiàn)P1PP2在P 點(diǎn)處的切線(xiàn)方向； y軸：與P點(diǎn)的法截面垂直， 使坐標(biāo)系P-xy

3、z成右手系,P-xyz中法截面方程,一.任意方向法截線(xiàn)曲率半徑(Normal transversal curvature radius at random directions),5、求任意方向法截線(xiàn)曲率半徑基本步驟,第四講 橢球面上幾種曲率半徑,求P-xyz中的橢球面方程 求任意方向法截線(xiàn)方程 求任意方向法截線(xiàn)曲率半徑,一.任意方向法截線(xiàn)曲率半徑(Normal transversal curvature radius at random directions),6、公式推導(dǎo),第四講 橢球面上幾種曲率半徑,(1) P-xyz中的橢球面方程,Z,X,Y,O,XP,ZP,B,K,P,P1,P2,P

4、點(diǎn)坐標(biāo),P點(diǎn)在O-XYZ中的坐標(biāo),兩坐標(biāo)系原點(diǎn)的位置關(guān)系：,一.任意方向法截線(xiàn)曲率半徑(Normal transversal curvature radius at random directions),6、公式推導(dǎo),第四講 橢球面上幾種曲率半徑,(1) P-xyz中的橢球面方程,移軸：將原點(diǎn)O移至P點(diǎn)得坐標(biāo)系P-XYZ,Z,X,Y,O,B,K,P,移軸,一.任意方向法截線(xiàn)曲率半徑(Normal transversal curvature radius at random directions),6、公式推導(dǎo),第四講 橢球面上幾種曲率半徑,(1) P-xyz中的橢球面方程,轉(zhuǎn)軸：使兩坐標(biāo)系各軸

5、重合 （兩次轉(zhuǎn)軸),第一次轉(zhuǎn)軸： P-XYZ繞Y順時(shí)針旋轉(zhuǎn)(90+B)，使Z軸與P 點(diǎn)的橢球面法線(xiàn)重合，得坐標(biāo)系P-XYZ,K,Z,X,O,Y”,Y,P,B,O,第一次轉(zhuǎn)軸,90+B,一.任意方向法截線(xiàn)曲率半徑(Normal transversal curvature radius at random directions),6、公式推導(dǎo),第四講 橢球面上幾種曲率半徑,(1) P-xyz中的橢球面方程,K,Z,X,O,Y”,Y,P,B,O,第一次轉(zhuǎn)軸,轉(zhuǎn)換關(guān)系為,一.任意方向法截線(xiàn)曲率半徑(Normal transversal curvature radius at random direct

6、ions),6、公式推導(dǎo),第四講 橢球面上幾種曲率半徑,(1) P-xyz中的橢球面方程,轉(zhuǎn)軸：使兩坐標(biāo)系各軸重合（兩次轉(zhuǎn)軸),第二次轉(zhuǎn)軸： P-XYZ繞Z軸，順時(shí)針旋轉(zhuǎn)角A（A為P點(diǎn)處法截線(xiàn)方位角），得坐標(biāo)系P-xyz,O,第二次轉(zhuǎn)軸,X”,K,Z”,Y”,P,B,O,z,A,一.任意方向法截線(xiàn)曲率半徑(Normal transversal curvature radius at random directions),6、公式推導(dǎo),第四講 橢球面上幾種曲率半徑,(1) P-xyz中的橢球面方程,O,第二次轉(zhuǎn)軸,X”,K,Z”,Y”,P,B,O,z,A,轉(zhuǎn)換關(guān)系為,第二次轉(zhuǎn)軸,一.任意方向法截

7、線(xiàn)曲率半徑(Normal transversal curvature radius at random directions),6、公式推導(dǎo),第四講 橢球面上幾種曲率半徑,(1) P-xyz中的橢球面方程,O,第二次轉(zhuǎn)軸,X”,K,Z”,Y”,P,B,O,z,A,綜合一次移軸和兩次轉(zhuǎn)軸得 兩坐標(biāo)系的關(guān)系,一.任意方向法截線(xiàn)曲率半徑(Normal transversal curvature radius at random directions),6、公式推導(dǎo),第四講 橢球面上幾種曲率半徑,(1) P-xyz中的橢球面方程,將P-xyz與O-XYZ的關(guān)系代入 得,(2) 任意方向法截線(xiàn)方程,將法

8、截面方程 y=0 代入上式 得,一.任意方向法截線(xiàn)曲率半徑(Normal transversal curvature radius at random directions),6、公式推導(dǎo),第四講 橢球面上幾種曲率半徑,(3) 任意方向法截線(xiàn)曲率半徑,平面曲線(xiàn)曲率半徑公式,根據(jù)高等數(shù)學(xué)，平面曲線(xiàn)z=f(x) 上某點(diǎn)P處的曲率半徑為,一.任意方向法截線(xiàn)曲率半徑(Normal transversal curvature radius at random directions),第四講 橢球面上幾種曲率半徑,對(duì)法截線(xiàn)方程求二階導(dǎo)數(shù)代入曲率半徑公式可得,公式說(shuō)明,RA與L無(wú)關(guān) RA與所在的緯度B、法截

9、線(xiàn)方位角A有關(guān) N為P點(diǎn)沿法線(xiàn)方向至橢球短軸的距離PK A為法截線(xiàn)方位角；e為第二偏心率,6、公式推導(dǎo),(3) 任意方向法截線(xiàn)曲率半徑,一.任意方向法截線(xiàn)曲率半徑(Normal transversal curvature radius at random directions),第四講 橢球面上幾種曲率半徑,K,A,卯酉圈曲率半徑,P,B,子午圈曲率半徑,兩個(gè)特殊方向的曲率半徑,任意方向法截線(xiàn) 曲率半徑,二.子午圈曲率半徑 （Curvature radius of meridian）,第四講 橢球面上幾種曲率半徑,(1) 形成,(2) 公式,當(dāng)A=0或180時(shí)，子午圈曲率半徑，用M表示,將A=

10、0代入任意方向法截線(xiàn)曲率半徑公式,得,二.子午圈曲率半徑 （Curvature radius of meridian）,第四講 橢球面上幾種曲率半徑,化簡(jiǎn),具體表達(dá)式,二.子午圈曲率半徑 （Curvature radius of meridian）,第四講 橢球面上幾種曲率半徑,(3)分析M的變化規(guī)律（M是B的增函數(shù)）,三.卯酉圈曲率半徑 （Curvature radius of vertical circle）,第四講 橢球面上幾種曲率半徑,(1)形成,(2)公式,重要結(jié)論：橢球面上某點(diǎn)的卯酉圈曲率半徑，恰好等于 該點(diǎn)沿法線(xiàn)介于橢球面與短軸間的距離。,當(dāng)A=90或270時(shí)，卯酉圈曲率半徑，用

11、N表示,將A=90代入任意方向法截線(xiàn)曲率半徑公式,得,三.卯酉圈曲率半徑 （Curvature radius of vertical circle）,第四講 橢球面上幾種曲率半徑,化簡(jiǎn),具體表達(dá)式,三.卯酉圈曲率半徑 （Curvature radius of vertical circle）,第四講 橢球面上幾種曲率半徑,(3)分析N的變化規(guī)律（N是B的增函數(shù)）,四.M、N與RA的關(guān)系（Relations of M、N and RA）,第四講 橢球面上幾種曲率半徑,(1) RA的最大值與最小值,(2) RA隨A的變化,當(dāng)A=0（或A=180）時(shí)，RA=M，最小值；,當(dāng)A=90（或A=270）時(shí)

12、，RA=N，最大值,當(dāng)A由0趨于90時(shí)，RA逐漸增大由M趨于N變化 當(dāng)A由90趨于180時(shí)，RA逐漸減小由N趨于M變化 RA隨A的變化是以180為周期的，且對(duì)稱(chēng)于M、N而變化,四.M、N與RA的關(guān)系（Relations of M、N and RA）,第四講 橢球面上幾種曲率半徑,(3) M、N與RA的數(shù)學(xué)關(guān)系,歐拉定理,五.平均曲率半徑（Average curvature radius）,第四講 橢球面上幾種曲率半徑,(1)意義,(2)定義,橢球面上一點(diǎn)所有方向法截線(xiàn)曲率半徑的平均值。,(3)方法,用積分的方法。,五.平均曲率半徑（Average curvature radius）,第四講 橢球面上幾種曲率半徑,(4)平均曲率半徑公式,根據(jù)積分中值定理,由于RA隨A變化的對(duì)稱(chēng)性，可僅在第一象限積分,積分得,五.平均曲率半徑（Average curvature radius）,第四講 橢球面