自動(dòng)化講義第04講第二章.ppt

1、第二章：控制系統(tǒng)的數(shù)學(xué)模型授課人：李會(huì)軍,2,本章內(nèi)容提綱,內(nèi)容提綱 拉普拉斯變換的基本知識(shí) 控制系統(tǒng)的數(shù)學(xué)模型 控制系統(tǒng)的典型環(huán)節(jié)及其傳遞函數(shù) 控制系統(tǒng)的結(jié)構(gòu)圖 信號(hào)流圖與梅森公式,3,拉普拉斯反變換,部分分式展開(kāi)法 一般來(lái)說(shuō)，象函數(shù) 是拉普拉斯算子 的有理代數(shù)分式，可以表示如下： 式中，系數(shù) 都是常實(shí)數(shù)， 是正整數(shù)，且 ?？梢詫⑾蠛瘮?shù) 的分母進(jìn)行因式分解，進(jìn)而寫(xiě)成部分分式之和的形式： 其中， 為待定常數(shù)(可以是實(shí)數(shù)，也可是是復(fù)數(shù)),4,拉普拉斯反變換,部分分式展開(kāi)法 當(dāng) 無(wú)重根 稱為 在極點(diǎn) 處的留數(shù)，計(jì)算公式如下： 其中， 是 對(duì) 的一階導(dǎo)數(shù)。對(duì) 求拉氏變換，可得原函數(shù)為：,5,拉普拉斯

2、反變換,部分分式展開(kāi)法 示例1：求 的原函數(shù) 解：將 分母進(jìn)行因式分解： 象函數(shù)可以重新變換如下： 根據(jù)留數(shù)定理，可得： 可得原函數(shù)為：,6,拉普拉斯反變換,部分分式展開(kāi)法 示例2：求 的原函數(shù) 解：將 的分母因式分解為： 的極點(diǎn)為一對(duì)共軛復(fù)數(shù)，仍可以按照例1的方法求解： 其中：,7,拉普拉斯反變換,部分分式展開(kāi)法 系統(tǒng)的原函數(shù)為：,8,拉普拉斯反變換,部分分式展開(kāi)法 如果 的分母是二次多項(xiàng)式，并能配成兩項(xiàng)平方和的形式，可以將分母作為一個(gè)整體求解： 根據(jù)常用函數(shù)的拉式變換： 可知：,9,拉普拉斯反變換,部分分式展開(kāi)法 有重根 假設(shè) 有 個(gè)重根 ，則 可以寫(xiě)為： 其中， 為 的重極點(diǎn)， 為 的

3、個(gè)非重極點(diǎn)； 為待定常數(shù)， 可按照無(wú)重根的方式求解：,10,拉普拉斯反變換,部分分式展開(kāi)法 可按如下方式求出： 根據(jù)拉式變換 和復(fù)域位移定理 可知：,11,拉普拉斯反變換,部分分式展開(kāi)法 示例3：求 的原函數(shù) 解：可知，分母 有4個(gè)根，將 展開(kāi)為部分分式： 根據(jù)公式：,12,拉普拉斯反變換,部分分式展開(kāi)法 因此，原函數(shù)為：,13,線性系統(tǒng)的時(shí)域數(shù)學(xué)模型微分方程,微分方程列寫(xiě)的步驟 根據(jù)實(shí)際工作情況，確定系統(tǒng)和系統(tǒng)中各元件的輸入、輸出變量； 從系統(tǒng)的輸入端開(kāi)始，按照信號(hào)的傳遞順序，根據(jù)物理、化學(xué)定律，列寫(xiě)出各個(gè)元件輸入輸出變量之間的微分方程式； 消除中間變量，得到系統(tǒng)輸入、輸出變量之間的微分方程

4、； 對(duì)微分方程進(jìn)行標(biāo)準(zhǔn)化，將與輸入有關(guān)的各項(xiàng)放到等號(hào)的右側(cè)，與輸出有關(guān)的各項(xiàng)放到等號(hào)左側(cè)，并按階數(shù)依次遞減排列；,14,線性系統(tǒng)的時(shí)域數(shù)學(xué)模型微分方程,微分方程列寫(xiě)示例 示例4：列寫(xiě)出如圖所示的電路輸入電壓與輸出電壓之間的微分方程式 解：由基爾霍夫定律可以寫(xiě)出回路方程如下所示： 消除中間變量，并將微分方程進(jìn)行標(biāo)準(zhǔn)化，則可得電路系統(tǒng)的輸入輸出關(guān)系的微分方程如下所示：,15,線性系統(tǒng)的時(shí)域數(shù)學(xué)模型微分方程,微分方程列寫(xiě)示例 示例5：列寫(xiě)出如圖所示的彈簧系統(tǒng)所受外力和滑塊位移之間的微分方程式 解：假設(shè)滑塊的速度和加速度為 ，由牛頓運(yùn)動(dòng) 定理可知： 其中， 是阻尼力； 是阻尼系數(shù)； 是彈簧彈力； 是彈

5、性系數(shù)。消去中間變量，將微分 方程整理后系統(tǒng)的微分方程為：,16,線性系統(tǒng)的時(shí)域數(shù)學(xué)模型微分方程,線性定常微分方程的求解步驟 首先，對(duì)微分方程兩端進(jìn)行拉普拉斯變換； 然后，將給定的初始條件與輸入信號(hào)帶入方程； 接著，寫(xiě)出輸出量的拉普拉斯變換； 最后，通過(guò)拉普拉斯反變換求出系統(tǒng)輸出的時(shí)域解；,17,線性系統(tǒng)的時(shí)域數(shù)學(xué)模型微分方程,線性定常微分方程求解示例 示例6：在開(kāi)關(guān)S閉合前，電容上有初始電壓 ，求：當(dāng)開(kāi)關(guān)瞬時(shí)閉合后，電容的端電壓 。 解：當(dāng)開(kāi)關(guān)S瞬時(shí)閉合時(shí)，相當(dāng)于有一個(gè)階躍電壓 ， 列出微分方程組如下： 消除中間變量，可得微分方程如下所示： 將微分方程兩端進(jìn)行拉式變換，可得：,18,線性系統(tǒng)

6、的時(shí)域數(shù)學(xué)模型微分方程,線性定常微分方程求解示例 解此代數(shù)方程可得： 展開(kāi)成部分分式： 對(duì)上式求解拉普拉斯反變換：,19,線性系統(tǒng)的時(shí)域數(shù)學(xué)模型微分方程,特解與通解 從上式可以看出，前兩項(xiàng)是由網(wǎng)絡(luò)的輸入電壓產(chǎn)生的輸出分量，與初始條件無(wú)關(guān)，所以稱之為零初始條件響應(yīng)，也是微分方程的特解；最后一項(xiàng)是由初始條件產(chǎn)生的輸出分量，與輸入電壓無(wú)關(guān)，因此稱為零輸入響應(yīng)，是微分方程的通解。,20,線性系統(tǒng)的復(fù)域數(shù)學(xué)模型傳遞函數(shù),控制系統(tǒng)時(shí)域數(shù)學(xué)模型的局限性 微分方程是描述線性系統(tǒng)的一種基本形式的數(shù)學(xué)模型。通過(guò)對(duì)它求解，就可以得到系統(tǒng)在給定輸入信號(hào)作用下的輸出響應(yīng)。但是，用微分方程式作為系統(tǒng)的數(shù)學(xué)模型在實(shí)際應(yīng)用中

7、存在如下局限性： 如果微分方程的階次較高(大于3階)，求解就非常困難，而且相應(yīng)的計(jì)算量也非常大； 在對(duì)控制系統(tǒng)分析時(shí)，不僅要了解系統(tǒng)在給定信號(hào)作用下的輸出響應(yīng)，而且更重視系統(tǒng)的結(jié)構(gòu)、參數(shù)與其性能間的關(guān)系，微分方程數(shù)學(xué)模型難以滿足這樣的要求； 為了解決這些問(wèn)題，引入了線性系統(tǒng)的復(fù)域數(shù)學(xué)模型傳遞函數(shù),21,線性系統(tǒng)的復(fù)域數(shù)學(xué)模型傳遞函數(shù),微分方程的一般形式 線性定常連續(xù)系統(tǒng)的微分方程如下所示： ：系統(tǒng)輸出量 ：系統(tǒng)輸入量 ：系統(tǒng)輸出量各階導(dǎo)數(shù)的系數(shù) ：系統(tǒng)輸入量各階導(dǎo)數(shù)的系數(shù),22,線性系統(tǒng)的復(fù)域數(shù)學(xué)模型傳遞函數(shù),微分方程的拉普拉斯變換 拉普拉斯變換的微分定理 假設(shè)系統(tǒng)為零初始條件，即系統(tǒng)變量在零

8、時(shí)刻的值及其各階導(dǎo)數(shù)的值均為0，如下所示： 將式(3)帶入式(2)中，可知零初始條件下拉普拉斯變換的微分定理如下所示：,23,線性系統(tǒng)的復(fù)域數(shù)學(xué)模型傳遞函數(shù),從微分方程到傳遞函數(shù) 記系統(tǒng)輸入量和輸出量的拉普拉斯變換如下所示： 在零初始條件下，對(duì)式(1)所示的微分方程兩端進(jìn)行拉普拉斯變換：,24,線性系統(tǒng)的復(fù)域數(shù)學(xué)模型傳遞函數(shù),從微分方程到傳遞函數(shù) 傳遞函數(shù)定義：在零初始條件下，線性系統(tǒng)輸出量拉氏變換與輸入量拉氏變換之比稱為系統(tǒng)的傳遞函數(shù)，即： 稱為系統(tǒng)輸出量對(duì)輸入量的傳遞函數(shù) 其中： 利用傳遞函數(shù)，可將輸出量的拉氏變換表示為輸入量拉氏變換和傳遞函數(shù)之間的乘積,25,線性系統(tǒng)的復(fù)域數(shù)學(xué)模型傳遞函

9、數(shù),傳遞函數(shù)求解示例 示例7：求解RLC網(wǎng)絡(luò)輸出電壓 對(duì)輸入電壓 的傳遞函數(shù) 解：RLC無(wú)源網(wǎng)絡(luò)的微分方程如下所示： 在零初始條件下，對(duì)方程中的各項(xiàng) 進(jìn)行拉普拉斯變換，并令： 可得關(guān)于拉普拉斯算子 的代數(shù)方程如下所示： 因此，可得傳遞函數(shù)如下：,26,傳遞函數(shù)求解示例,傳遞函數(shù)求解示例 示例8：求彈簧機(jī)械系統(tǒng)位移 對(duì)壓力 的傳遞函數(shù) 解：彈性系統(tǒng)的微分方程如下所示： 在零初始條件下，對(duì)方程中的各項(xiàng)進(jìn)行拉普拉斯 變換，并令： 可得關(guān)于拉普拉斯算子 的代數(shù)方程如下所示： 因此，可得傳遞函數(shù)如下：,27,傳遞函數(shù)的性質(zhì)(重點(diǎn)掌握),線性定常系統(tǒng)的傳遞函數(shù)具有如下性質(zhì) 傳遞函數(shù)的形式只取決于系統(tǒng)的結(jié)構(gòu)

10、和參數(shù)，與系統(tǒng)輸入輸出量的大小和形式無(wú)關(guān)； 傳遞函數(shù)只反映系統(tǒng)在零初始狀態(tài)下的動(dòng)態(tài)特性； 傳遞函數(shù)一般為拉普拉斯算子 的有理分式，它的分母多項(xiàng)式最高階次 總大于等于其分子多項(xiàng)式的最高階次 ，即 ； 兩個(gè)完全不同的系統(tǒng)(例如，一個(gè)是機(jī)械系統(tǒng)，一個(gè)是電子系統(tǒng))，就可以有完全相同的傳遞函數(shù)，這是在實(shí)驗(yàn)室進(jìn)行模擬實(shí)驗(yàn)的理論基礎(chǔ)；,28,傳遞函數(shù)的特征方程與特征根,特征方程與特征根 傳遞函數(shù)的一般形式如下所示： 其中： 稱為系統(tǒng)的特征方程，特征方程的解稱為系統(tǒng)的特征根；特征方程決定著系統(tǒng)的動(dòng)態(tài)特性； 當(dāng) 時(shí)， 稱為系統(tǒng)的放大系數(shù)或增益；,29,傳遞函數(shù)的零點(diǎn)和極點(diǎn),零點(diǎn)和極點(diǎn)的推導(dǎo) 系統(tǒng)的傳遞函數(shù)可以進(jìn)行如下變換： 其中：,30,傳遞函數(shù)的零點(diǎn)和極點(diǎn),零點(diǎn)和極點(diǎn)的定義 是分子多項(xiàng)式的根，稱為傳遞函數(shù)的零點(diǎn)； 是分母多項(xiàng)式的根，稱為傳遞函數(shù)的極點(diǎn)； 是傳遞函數(shù)或根軌跡的增益； 傳遞函數(shù)的零點(diǎn)和極點(diǎn)既可以是實(shí)數(shù)，也可以是共軛復(fù)數(shù),31,傳遞函數(shù)的零點(diǎn)和極點(diǎn),傳遞函數(shù)的零極點(diǎn)分布圖：將傳遞函數(shù)的零、極點(diǎn)表示在復(fù)平面上的圖形 零點(diǎn)用“O”表示 極