【考研數(shù)學(xué)】ק1拉格朗日定理和函數(shù)的單調(diào)性模版課件.ppt

1、第六章 微分中值定理及其應(yīng)用,首頁,1 拉格朗日定理和函數(shù)的單調(diào)性,2 柯西中值定理和不定式極限,3 泰勒公式,4 函數(shù)的極值與最大（小）值,本節(jié)首先介紹拉格朗日定理以及它的預(yù)備定理羅爾定理, 并用此討論函數(shù)的單調(diào)性.,首頁,在這一章里, 我們要討論怎樣由導(dǎo)數(shù)的已知性質(zhì)來推斷函數(shù)所應(yīng)具有的性質(zhì). 微分中值定理（包括羅爾定理、拉格朗日定理、柯西定理、泰勒定理）正是進(jìn)行這一討論的有效工具.,在每一點都可導(dǎo)的一段連續(xù)曲線上, 如果曲線的兩端點高度相等, 則至少存在一水平切線（圖6-1）.,首頁,一 、羅爾定理與拉格朗日定理,定理6.1,（羅爾（Rolle）中值定理）,若函數(shù) 滿足如下條件：,（） 在

2、閉區(qū)間a,b上連續(xù)；,（） 在開區(qū)間（a,b）內(nèi)可導(dǎo)；,（） ,則在內(nèi)(a,b)至少存在一點 ,使得 （1）.,羅爾定理的幾何意義是說：,不滿足三個條件中的任何一個,首頁,注1,Rolle定理的三個條件只是充分條件，不是必要條件，這三個條件不完全滿足時，結(jié)論也有可能成立.,例如, 函數(shù),但,不滿足條件，無水平切線(圖6-2-(b)；,(c),首頁,注2,Rolle定理的三個條件都是很重要的，缺了其中一個，結(jié)論就可能不成立.,例如,函數(shù),不滿足條件，無水平切線(圖6-2-(a),函數(shù),函數(shù),不滿足條件，無水平切線(圖6-2-(c).,圖6-2 (a),(b),但它滿足定理的三個條件，有水平切線(

3、圖6-2-(d),首頁,注3,可能有同學(xué)會問，為什么不將條件(i)(ii)合并為f (x)在a ,b上可導(dǎo)？,可以.但條件加強了，就排斥了許多僅滿足三個條件的函數(shù).,例如函數(shù) ，,則,顯然x = 0時，函數(shù)不可導(dǎo)（切線y軸），即不符合加強條件；,例如,在-1,1上滿足Rolle定理的三個條件.,在(-1,1)內(nèi)存在無限多個,使得,首頁,注4,羅爾定理結(jié)論中的值不一定唯一,可能有一個,幾個甚至無限多個.,倘若 有兩個實根 和 （不妨設(shè) ），則函數(shù) 在 上滿足羅爾定理三個條件，從而存在 ，使 ，這與 的假設(shè)相矛盾，命題得證.,這可反證如下：,如果去掉第三個條件，Rolle定理的結(jié)論會發(fā)生什么變化？

4、Lagrange給出了回答.,首頁,設(shè) 為R上可導(dǎo)函數(shù)，證明：若方程 沒有實根，則方程 至多只有一個實根。,作為羅爾定理的簡單應(yīng)用，請看下面的例子。,例1,證,(問),Rolle定理的條件(i)(ii)很重要且具有一般性，但條件(iii)比較苛刻，函數(shù)一般不滿足它，從而限制了定理的應(yīng)用.,定理6.2,表明羅爾定理是拉格朗日定理的一個特殊情形。,首頁,（拉格朗日（Lagrange）中值定理）,若函數(shù)滿足如下條件：,（） 在閉區(qū)間 上連續(xù)；,（） 在開區(qū)間 內(nèi)可導(dǎo)；,則在 內(nèi)至少存在一點 ，,使得,(2),顯然，特別當(dāng) 時，本定理的結(jié)論（2）即為羅爾定理的結(jié)論（1）。,定理是說，若平面上一條以 、

5、為端點的連續(xù)曲線在 內(nèi)處處有不平行于y軸的切線，,使得曲線 在該點的切線平行于弦AB ，即平行于兩個端點 與 的連線（圖6-3-(a)）,首頁,(析),為了找出證明思路，我們也先從幾何上看Lagrange定理的意義：,(2)式右端是弦AB的斜率.,則在開區(qū)間 內(nèi)部必至少有一點，,只需將“曲線高度- 弦的高度”即可滿足，因此關(guān)鍵是求弦的方程.,則曲線段F (x) 必有水平弦.,首頁,如果在Lagrange中值定理中增加函數(shù)在兩端點值相等的條件，則結(jié)論正是Rolle中值定理的結(jié)論.,可見，Rolle中值定理是Lagrange中值定理的特例，這又是一個先處理特殊后處理一般情形的例子.,因而定理6.2

6、證明的思路就是將Lagrange中值定理轉(zhuǎn)化到Rolle中值定理上去以獲得證明，,使用Rolle定理的關(guān)鍵是其條件(3)弦ABx軸.,即現(xiàn)在的問題是：如何實現(xiàn)這個轉(zhuǎn)化？即如何將Lagrange中值定理中的斜弦轉(zhuǎn)化為Rolle中值定理中的水平弦？,取點A ，由點斜式知，弦AB的方程為：,現(xiàn)在可以構(gòu)造一個函數(shù)：,F (x) = 曲線高度- 弦的高度 = f (x) y ，,注1,事實上, 這個輔助函數(shù)的引入相當(dāng)于坐標(biāo)系統(tǒng)沿原點在平面內(nèi)的旋轉(zhuǎn), 使在新坐標(biāo)下, 連線AB平行于新x軸.,首頁,拉格朗日中值定理的幾何意義是：,在滿足定理條件的曲線 上至少存在一點 ,該曲線在該點處的切線平行于曲線兩端點的

7、連線AB，,之差（如圖6-3所示）.,我們在證明中引入的輔助函數(shù) ，,正是曲線 與直線,首頁,注2,定理6.2的結(jié)論（公式（2）稱為拉格朗日公式。,拉格朗日公式還有下面幾種等價表示形式，供讀者在不同的場合選用：,使得不論a,b為何值， 總可為小于1的某一正數(shù)。,首頁,值得注意的是，,拉格朗日公式無論對于 ，,還是 都成立，,而 則是介于a與b之間的某一定數(shù)，,而（4）、（5）兩式的特點，,在于把中值點 表示成了 ，, 證明采用了構(gòu)造函數(shù)的方法，類似于幾何問題證明中輔助線，構(gòu)造函數(shù)的方法是數(shù)學(xué)分析證明中常采取的技巧，它起著化難為易、化未知為已知的橋梁溝通作用，多利用已知的函數(shù)來進(jìn)行構(gòu)造. 也類似

8、于幾何問題的輔助線，開始會感到有難度.,首頁,注3,Lagrange中值定理的證明十分經(jīng)典：, 先證特殊情形成立，再將一般情形轉(zhuǎn)化為特殊情形從而獲得證明，這種解決問題的思想方法已在極限的保號性、介值定理等多次用過；,首頁,注4,Lagrange中值定理的兩個條件彼此有關(guān),并不彼此獨立,因為 在 可導(dǎo)可以推出 在 連續(xù),但反之不成立.,把這兩個條件的重疊部分去掉, 改成函數(shù) 在 可導(dǎo)且在a右連續(xù)在b左連續(xù)”,這樣, 兩個條件相互獨立, 但文字累贅且不便記憶, 因此一般不這樣敘述.,設(shè),，則,當(dāng),時，由,可推知,證,首頁,例2,證明對一切 成立不等式,當(dāng) 時，由 可推得,從而得到所要證明的結(jié)論。,

9、若函數(shù) 在區(qū)間I上可導(dǎo)，且 則 為I上的一個常量函數(shù)。,若函數(shù) 和 均在區(qū)間I上可導(dǎo)，且 ，則在區(qū)間I上 與 只相差某一常數(shù)，即 （ c為某一常數(shù)）。,設(shè)函數(shù) 在點 的某鄰域內(nèi)連續(xù)，在 內(nèi)可導(dǎo)，且極限 存在，則 在點 可導(dǎo)，且,（6）,首頁,推論1,推論2,推論3,（導(dǎo)數(shù)極限定理）,由于 在 內(nèi)可導(dǎo), 結(jié)合拉格朗日中值定理的條件, 按左右導(dǎo)數(shù)來證明（6）式較為方便.,由于 ，因此當(dāng) 時，隨之有 ， 對（7）式兩邊取極限，便得,首頁,(析),只需證明（6）式成立即可.,（1）任取 在 上滿足拉格朗日定理條件，則存在 ，使得,導(dǎo)數(shù)極限定理適合于用來求分段函數(shù)的導(dǎo)數(shù)。,首頁,（2）同理可得 .,因為

10、 存在，,所以 ,從而 ,即 .,注1,由推論3可知: 區(qū)間上的導(dǎo)函數(shù) 在I上的每一點, 要么是連續(xù)點, 要么是第二類間斷點, 不可能出現(xiàn)第一類間斷點.,注2,的導(dǎo)數(shù)。,在此之前，我們只能依賴導(dǎo)數(shù)定義來處理，現(xiàn)在則可以利用導(dǎo)數(shù)極限定理。,解,首頁,例3,求分段函數(shù),首先易得,進(jìn)一步考慮在處的導(dǎo)數(shù)。,由于,因此 在 處連續(xù)，,所以 ,依據(jù)導(dǎo)數(shù)極限定理推知 在 處可導(dǎo)，且 . ,首頁,又因,由于 為增函數(shù)，從而對每一 ， 當(dāng) 時，有,存在 ，使得,首頁,定理6.3,設(shè) 在區(qū)間I上可導(dǎo)，則 在I上遞增（減）的充要條件是,(析),必要性,令 ，即得 ,充分性,由于 在區(qū)間I上恒有 ，,則對任意 （設(shè)），,應(yīng)用拉格朗日定理，,從而 在I上為增函數(shù).,其圖像如圖6-4所示。,首頁,當(dāng) 時， ， 遞增,例4,設(shè) 試討論函數(shù) 的單調(diào)區(qū)間,解,由于,因此,當(dāng) 時， ， 遞增；,當(dāng) 時， ， 遞減；,首頁,（）在 內(nèi)的任何子區(qū)間上 .,推論,此定理有以下一個簡單的推論：,設(shè)函數(shù) 在區(qū)間I上可微，若 ，則在I上 嚴(yán)格遞增（嚴(yán)格遞減）,首頁,若函數(shù) 在 內(nèi)可導(dǎo)，則在 內(nèi)嚴(yán)格遞增（遞減）的充要條件是：,定理6.4,（）對一切 ，有 ；,我們將這個定理的證明留給讀者.,若 在 上