九年級數(shù)學上冊 第22章 一元二次方程學案（新版）華東師大版

1、一元二次方程導言：問題1。綠園小區(qū)規(guī)劃設(shè)計中，規(guī)劃每兩棟建筑之間安排一個900平方米的長主綠地，長度比寬度大10米，那么綠地的長度和寬度之和是多少？讓長度為x米，得到：x2 10x-900=0問題2。去年年底學校圖書館有50，000本書，預計到明年年底將增加到72，000本。尋求這兩年的平均增長率？假設(shè)平均年增長率為x，我們得到：5 x2 10x-2.2=01.積分方程：兩邊都是未知數(shù)的代數(shù)表達式的方程稱為積分方程。第二，一維二次方程：只有一個未知數(shù)且未知項的最高次數(shù)為2的整個方程稱為一維二次方程。3.一維二次方程的一般形式：ax2 bx c=0(a0)，其中a稱為二次系數(shù)，b稱為線性系數(shù)，c

2、稱為常數(shù)項。例1，把下面的方程變成一般形式，指出二次項，線性項的系數(shù)和常數(shù)項。(1)2x 2 1=3x(2)23x=7x 2(3)3(2x 2-1)=(x-)(x)3x 5例2:確定下列方程是否為二次方程。(1)2x 1=0 (2)y2 x=1 (3)x2 1=0 (4) x2=1例3:如果x2a b-3xa-b 1=0是關(guān)于X的二次方程.找出a和b的值。4.一維二次方程的解：能使方程左右兩邊相等的未知數(shù)值稱為一維二次方程的解。例4，(1)如果二次方程2x2-3x-a2 1=0的一個根是2，那么a是。(2)假設(shè)A是方程x2-x-1=0的根，求-a32a2008的值。(3)眾所周知，A是方程x2

3、的根x-=0，并且獲得該值。例5:已知方程(a)-xa-1(a-3)x-1=0。(1)當什么是值時，它是二次方程嗎？(2)當什么是值時，它是一維線性方程嗎？22.2一維二次方程的解：示例：求解方程：x2 1=2 x2-7x 12=01.解一元二次方程的基本思想：降階。二、一維二次方程的解：示例：求解方程：x2 1=21.直接開平方法：(1)定義：直接求平方根求一維二次方程解的方法稱為直接開平方法。示例1，求解以下等式：(1)x2-2=0(2)16x 2-25=0(3)(x-2)2=9(4)(2x-1)2-4=0(5)(2x 3)2-81=0(6)(2x-1)2=(3-x)2(2)可用直接開平方

4、法求解的一維二次方程的類型：x2=a(a0) (x a)2=b(b0)(ax b)2=c(c )(ax b)2=(CX d)2(ac0)例2，求解方程：(1)(x 1)2-4=0 (2)(2-x)2-9=0嘗試：不用直接開平方法求解方程：x2-1=02、因式分解法：(1)定義：用因式分解法求解一維二次方程的方法。(2)根據(jù)：如果兩個因子的乘積等于零，那么兩個因子中至少有一個等于零。也就是說，ab=0，那么a=0或b=0示例3，求解以下等式：(1)2x 2 2x=0(2)x2=3x(3)x2-9=0(4)x2 2x=-1(5)x(3x 2)-6(3x 2)=0(6)x2-6x-16=0(7)2x

5、 2-5x-7=0示例4，求解以下等式：(1)3 x2 5x-2=0(2)x2(1 2)x 3=0(3)2x 2-x-=0例5，(1)三角形兩邊的長度分別是3和6，第三邊是方程x2-6x 8=0的根，那么三角形的周長是。(2) x2-4x y2-6y 13=0已知。找到x2 y2的值。嘗試：解方程：x2 4x=73.匹配方法：(1)定義：ax2 bx=c(a0)形式的方程，可以通過將第一項系數(shù)的平方的一半加到完全平坦形式的二項式方程的左側(cè)來求解。例6:用匹配法求解下列方程：(1)x2 2x=5(2)x2-4x 3=0(3)x2-2x-2=0(4)x2-6x-7=0(5)x2 3x 1=0(6)

6、6x 2-x-12=0(7)x2-x-1=0(8)2x 2-4x-8=0(2)配制方法的步驟：(1)將常數(shù)項移到等號的另一邊。將二次項系數(shù)改為1。(3)公式：項系數(shù)的一半的平方加到方程的兩邊。直接開平法求解方程。例7，(1)驗證：4x2-12x 10代數(shù)的值總是大于0。(2)已知A=a 2，B=a 2-a 5，C=a2 5a-19，其中a2。驗證：B-A0哪一個更大，A還是C？為什么？例8:用匹配法求解方程：(1)4x 2-12x-1=0(2)3 x2 2x-3=0(3)x2 px q=04.公式方法：* ax2 bx c=0(a0)x2 x=-(x )2=-(x )2=如果b2-4ac0x=

7、x=-例9:用公式法求解下列方程：(1)x2-x-1=0(2)x2 4x-1=0(3)x2 2x-2=0(4)2x 2-3x-5=0例10。用公式法求解以下方程：(1)2x 2 x-6=0(2)x2 4x=2(3)5x 2-4x-12=0(5)4x 2 4x 10=1-8x例11。用適當?shù)姆椒ㄇ蠼庀铝蟹匠蹋?1)4(x-3)2=8(2)x2-2x-3=0(3)x2-6x 8(4)x2-2x=1(5)x2-3x 1=0(6)(x-1)2=0(7)x2-3x=0(8)x2-2x=43.一元二次方程根的判別；嘗試：求解以下等式：(1)x2-2x-3=0(2)x2-2x=-1(3)x2 7=2x查詢：

8、ax2 bx c=0(a0)(x )2=1、二次方程的解：(1)當b2-4ac0時，方程有兩個不相等的實根。x1=x2=當b2-4ac=0時，方程有兩個相等的實根。x1=x2=-當b2-4ac0時，方程沒有實根。2.二次方程的根和判別式之間的關(guān)系：B2-4ac被稱為一維二次方程的判別式。帶“”,=B2-4ac(1)0方程有兩個不相等的實根。(2)方程=0有兩個相等的實根。(3)0方程沒有實根。例12，不理解方程，確定下列方程的根：(1)2x 2 3x-4=0(2)16 y2 9=24y(3)5(x2 1)-7x=0例13。(1)當取m時，方程x2 (m 2)x m2=4。有相等的兩個實根。有兩

9、個相等的實根。沒有堅實的根。(2)方程2kx2 (8k 1)x 8k=0關(guān)于x有兩個不相等的實根。找出k的取值范圍。(3)證明：方程(1 m2)x2 2m m2 4=0沒有實數(shù)根。(4)眾所周知，A、B和C是三角形的三條邊。證明：方程a2x2-(a2 b2-c2)x b2=0沒有實根。4.分數(shù)方程的解可以轉(zhuǎn)化為一元二次方程；1.基本思想：分數(shù)方程(分母)的代數(shù)表達式。2.步驟收集：(1)命名。(2)求解整個方程。(3)檢查。示例15，求解以下等式：(1)=1 (2)- 2=0(3)- 2=0 (4)x2 x=45.一維二次方程的應用；例15。學校生物小組有一個長方形的實驗場，長32米，寬20米

10、。為了便于管理，準備在平行于兩側(cè)的縱向和橫向開一條等寬的小道，使種植面積達到540米。這條小路應該有多寬？例16:某藥品兩次降價后，每瓶零售價從56元降到31.5元，已知兩次降價的百分比是一樣的。詢問每次降價的百分比？ABCDPQ例17:一家購物中心出售一批名牌襯衫，平均每天售出20件。每件40元就能盈利。為了擴大銷售，增加利潤，盡快減少庫存，商場決定采取適當?shù)慕祪r措施。經(jīng)過調(diào)查，每降價1元，市場每天可以多賣2件襯衫。為了使購物中心的平均日利潤達到1250元，每件襯衫應該降價多少？例18。如圖所示，a、b、c和d是矩形的四個頂點，AB=16cm厘米，AD=6厘米，移動點p和q同時從a點和c點開

11、始，p點以3厘米/秒的速度移動到b點，直到到達b點。以2厘米/秒的速度，q點向D點移動.(1)從p和q開始到幾秒鐘，四邊形PBCQ的面積為33cm2。(2)P和Q之間的距離從開始到幾秒鐘為10厘米。22.3實踐與探索：1.問題1:小明把一個邊長為10厘米的正方形圍起來，然后把它折疊成一個沒有蓋子的長方體盒子。(1)如果要求長方體的底部面積為81cm2，那么要切掉的正方形的邊長是多少？(2)如果遵循下表中所列的長方體底部區(qū)域的數(shù)據(jù)要求，切方的邊長會發(fā)生什么變化？長方體的側(cè)面會發(fā)生什么？轉(zhuǎn)換后長方體的底部面積()81644936251694剪下正方形的邊長(厘米)轉(zhuǎn)換成長方體的側(cè)面積(cm2)2.

12、問題2。陽江市政府正考慮在兩年內(nèi)將其財政凈收入翻一番。這兩年財政凈收入的年均增長率是多少？第三，列方程解決了應用問題：1.數(shù)字問題：通常未知的數(shù)字是間接設(shè)定的。示例1:兩位數(shù)。十位數(shù)和一位數(shù)的總和是5。該數(shù)字的單個數(shù)字用10位數(shù)字反相后，新的兩位數(shù)字與原兩位數(shù)字的乘積為736。要這兩個數(shù)字嗎？2.幾何問題。3.平均增長率。4.注意力集中的問題。實施例2:容器裝有50升純酒精。在第一次倒出一部分純酒精后，里面裝滿了水。第二次，倒出相同量的酒精溶液，并注滿水。此時，容器中的液體包含32升純酒精。每次倒出多少升溶液？5.實際應用問題。4.一元二次方程的根與系數(shù)的關(guān)系；試著：解下面的方程，探索方程的解

13、和方程的系數(shù)之間的關(guān)系？(1)x2 3x-4=0(2)x2-4x=0(3)2x 2-3x 1=0* ax2 bx c=0(a0)x1=x2=x1 x2=- x1x2=1.如果x1和x2是公式ax2 bx c=0(a0)中的兩個，則：x1 x2=- x1x2=2.如果x1和x2是x2 px q=0的兩個等式，則：x1 x2=-p x1x2=q示例3:如果和是2x3x-1=0，請找到以下值。(1)2 2 (2) (2)2 2 (3) (4)3 3(5)- (6)4 4例4:已知方程(k-1)x2 (2k-3)x k 1=0關(guān)于x有兩個不相等的實數(shù)x1和x2。(1)找出k的取值范圍。(2)是否有一個

14、實數(shù)k，所以方程的兩個實數(shù)是相反的？如果存在，計算值；如果不存在，請說明原因。例5:我們知道x的二次方程是x2 kx-1=0。(1)證明：方程有兩個不相等的實根。(2)假設(shè)這兩個方程是x1和x2。并滿足x1 x2=x1x2。找出k的值。例6，(1)假設(shè)a和b是方程x2的兩個x-1=0，那么a4-3b=0。(2)已知方程x2 kx 6=0的兩個實根是x1和x2。同時，如果方程x2-kx 6=0中的兩個是x1 5和x2 5，那么k=0。如果方程x1和x2是方程x2的兩個，那么：x1 x2=-p x1x2=qp=q=x1x2x2-(x1 x2)x x1x2=03.以兩個數(shù)x1和x2為根的二次方程(二

15、次項系數(shù)為1)為：x2-(x1 x2)x x1x2=0例7，(1)找出一個有一個變量的二次方程，這樣它的兩個根是：-3，2。(2)找出一個有一個變量的二次方程，使它的兩個根是3和3-。例8，(1)眾所周知，兩個數(shù)之和等于8，乘積等于9。找出這兩個數(shù)字。(2)已知兩個數(shù)之和等于-5，乘積等于4。找出這兩個數(shù)字。例9。(1)找到一個有一個變量的二次方程，這樣它的兩個根就是方程2x2 5x-1=0的每個根的平方。(2)已知方程x2 4x k=0的兩個根的平方和等于34。尋求價值。(3)已知方程x2-4x-2m 8=0的兩個實根之一大于1，另一個小于1。找出m的取值范圍。例10:如果ab，a2=5a-1，b2=5b-1。尋求價值。例11:已知x1和x2是方程x2-3x-4=0中的兩個，并且這些值是在不求解這些方程的情況下獲得的。例12:已知和是方程x2-2x-4=0的兩個實根。求3 8 6的值。五階和二階三項式的因子分解；1.提取共同因素的方法。示例8，因子分解：(1)3x2-6x 9 (2)4ab 2a2b b32.完全平方公式：示例13，因子分解：(1)a2 2a 1 (2)4x2-4x 13.交叉乘法：示例14，因子分解：(1)x2