（試題 試卷 真題）專題五代數(shù)幾何綜合

1、第二部分 專題綜合復(fù)習(xí),專題五 代數(shù)幾何綜合,專題分析,代數(shù)幾何綜合題是指需要綜合運(yùn)用代數(shù)、幾何這兩部分知識(shí)解決的問題，是初中數(shù)學(xué)中覆蓋面最廣、綜合性最強(qiáng)的題型. 其題型可分為： 方程與幾何綜合問題； 函數(shù)與幾何綜合問題； 動(dòng)態(tài)幾何中的函數(shù)問題； 直角坐標(biāo)系中的幾何問題； 幾何圖形中的探究、歸納、猜想與證明問題. 解決這類問題需要靈活運(yùn)用數(shù)學(xué)思想方法，如數(shù)形結(jié)合思想、數(shù)學(xué)建模思想、分類討論思想、轉(zhuǎn)化的思想、函數(shù)與方程思想等.,專題分析,縱觀廣東省近八年中考數(shù)學(xué)壓軸題都是“動(dòng)態(tài)幾何中的函數(shù)問題”，以圖形的運(yùn)動(dòng)變化為背景；其背景圖形可以是三角形、矩形、梯形、正方形，或拋物線；其運(yùn)動(dòng)方式可以是單點(diǎn)運(yùn)

2、動(dòng)，雙點(diǎn)運(yùn)動(dòng)，線段運(yùn)動(dòng)，或平面圖形運(yùn)動(dòng)；其問題的核心是：探索變量之間的對(duì)應(yīng)關(guān)系（變化規(guī)律）或者探索變化過程中的某種瞬時(shí)狀態(tài). 在“動(dòng)態(tài)幾何中的函數(shù)問題”中，自變量往往是圖形運(yùn)動(dòng)的時(shí)間或者距離，因變量則往往是線段的長度或者封閉圖形的面積.因此，線段長度和圖形面積的表示就成為解決問題的關(guān)鍵.而圖形的面積無非是底和高的乘積，所以，掌握線段長度的計(jì)算方法是解決動(dòng)態(tài)問題的殺手锏. 計(jì)算線段的長度的主要途徑有四種：勾股定理、相似三角形的性質(zhì)、直角三角形的邊角關(guān)系以及坐標(biāo)平面內(nèi)兩點(diǎn)間的距離.,考點(diǎn)統(tǒng)計(jì),廣東省省卷近八年中考統(tǒng)計(jì)：,典例解析,考點(diǎn)：利用勾股定理計(jì)算線段長度,4（即M從D到A運(yùn)動(dòng)的時(shí)間段）試問,

3、為何值時(shí)，,（2）設(shè)0,圖1-1 圖1-2,典例解析,【方法點(diǎn)撥】,（1）根據(jù)“有一個(gè)角是直角的三角形是直角三角形”這一概念，第（2）問的解答需分類討論.,分類討論，又稱分情況討論. 當(dāng)一個(gè)數(shù)學(xué)問題在一定的題設(shè)下，其結(jié)論并不唯一時(shí)，就需要將這一數(shù)學(xué)問題根據(jù)題設(shè)的特點(diǎn)和要求、按照一定的標(biāo)準(zhǔn)分為幾種情況，在每一種情況中分別求解，最后再將各種情況下得到的答案進(jìn)行歸納小結(jié)，綜合得出結(jié)論.,引起分類討論的原因通常有：由數(shù)學(xué)概念引起的分類討論；由數(shù)學(xué)運(yùn)算要求引起的分類討論；由圖形位置不確定引起的分類討論；由參數(shù)的變化引起的分類討論.,分類的原則：分類中的每一部分相互獨(dú)立（即“不重”）；一次分類按同一個(gè)標(biāo)準(zhǔn)

4、（即“不漏”）；分類討論應(yīng)逐級(jí)進(jìn)行.,（2）判斷一個(gè)三角形是直角三角形的方法：證有一個(gè)角為90或兩邊互相垂直；勾股定理逆定理；若三角形一邊上的中線等于這條邊的一半，則這個(gè)三角形是直角三角形.,典例解析,（1）證明： PQFN，PWMN QPW =PWF，PWF =MNF QPW =MNF 同理可得：PQW =NFM FMNQWP,【解答】,【分析】本題是雙動(dòng)點(diǎn)問題，是一道與矩形、相似三角形、勾股定理、二次函數(shù)最值相關(guān)的綜合題.解題的關(guān)鍵是利用勾股定理計(jì)算運(yùn)動(dòng)過程中相關(guān)線段的長度.,典例解析,【解答】,（2）解：FMNQWP 當(dāng)且僅當(dāng)FMN為直角三角形時(shí)， QWP為直角三角形 過點(diǎn)N作NGDC于

5、點(diǎn)G，則CG=BN=， NG=BC=4 矩形ABCD中，AB6，BC4 AD=BC=4，DC=AB=6 CF=4 04 AM=AD-DM=4-， FG=CF-CG=4-， AN=6-,若FMN=90，則,即,整理得，,即,即,解得，,FMN90.,若FNM=90，則,若MFN=90，則,典例解析,【解答】,（3）,又,當(dāng)x=5時(shí)，MN最短為,典例解析,考點(diǎn)：利用坐標(biāo)平面內(nèi)兩點(diǎn)間的距離計(jì)算線段長度,例2. （2011廣東）如圖2，拋物線,與y軸交于A點(diǎn)，過點(diǎn)A的直線與拋物線交于另一點(diǎn)B，過點(diǎn)B作BCx軸，垂足為點(diǎn)C(3，0).,（1）求直線AB的函數(shù)關(guān)系式； （2）動(dòng)點(diǎn)P在線段OC上從原點(diǎn)出發(fā)以

6、每秒一個(gè)單位的速度向C移動(dòng)，過點(diǎn)P作PNx軸，交直線AB于點(diǎn)M，交拋物線于點(diǎn)N. 設(shè)點(diǎn)P移動(dòng)的時(shí)間為t秒，MN的長度為s個(gè)單位，求s與t的函數(shù)關(guān)系式，并寫出t的取值范圍； （3）設(shè)在（2）的條件下（不考慮點(diǎn)P與點(diǎn)O，點(diǎn)C重合的情況），連接CM，BN，當(dāng)t為何值時(shí)，四邊形BCMN為平行四邊形？問對(duì)于所求的t值，平行四邊形BCMN是否菱形？請說明理由.,典例解析,【解答】,【分析】本題是單動(dòng)點(diǎn)問題，是一道與一次函數(shù)、二次函數(shù)、平行四邊形、菱形相關(guān)的綜合題.解題的關(guān)鍵是利用坐標(biāo)平面內(nèi)兩點(diǎn)間的距離計(jì)算運(yùn)動(dòng)過程中相關(guān)線段的長度.,直線AB的解析式為y=,設(shè)直線AB的解析式為y=,A(0,1),過點(diǎn)A的直

7、線與拋物線交于另一點(diǎn)B，過點(diǎn)B作BCx軸，垂足為點(diǎn)C(3，0),B(3,2.5),典例解析,【解答】,（2）PNx軸，交直線AB于點(diǎn)M，交拋物線于點(diǎn)N， 且P點(diǎn)的坐標(biāo)為,典例解析,【解答】,（3）若四邊形BCMN為平行四邊形，則有MN=BC，此時(shí)，有,解得t1=1,t2=2,又在RtMPC中，,故MN=MC，此時(shí)四邊形BCMN為菱形,故,又在RtMPC中，,故MNMC，此時(shí)四邊形BCMN不是菱形.,所以當(dāng)t=1或2時(shí)，四邊形BCMN為平行四邊形.,故,當(dāng)t=2時(shí)，MP=2，,典例解析,【方法點(diǎn)撥】,設(shè)直角坐標(biāo)平面內(nèi)有兩點(diǎn),若AB/,軸，則AB=,；若AB/y軸，則AB=,若AB與兩坐標(biāo)軸都不平

8、行，則可構(gòu)造全等三角形或利用勾股定理求AB.,典例解析,【解答】,（1）拋物線經(jīng)過A(4，0)、B(1，0)， 設(shè)函數(shù)解析式為：y=a（x4）（x1） 又由拋物線經(jīng)過C（2，6）， 6=a（24）（21），解得： a=1 經(jīng)過A、B、C三點(diǎn)的拋物線解析式為： y=（x4）（x1），即y=x23x4,（2）證明：設(shè)直線BC的函數(shù)解析式為y=kx+b，,點(diǎn)E的坐標(biāo)為（0，2）,AE=CE,直線BC的解析式為y=2x+2,典例解析,【解答】,（3）相似. 理由如下： 設(shè)直線AD的解析式為y=k1x+b1，,直線AD的解析式為y=x+4.,，解得：,又AB=5，,又ABF=CBA，,聯(lián)立直線AD與直線

9、BC的函數(shù)解析式可得：,ABFCBA,以A、B、F為頂點(diǎn)的三角形與 ABC相似。,典例解析,考點(diǎn)：利用相似三角形的性質(zhì)或直角三角形的邊角關(guān)系計(jì)算線段長度,例3. （2013廣東）有一副直角三角板，在三角板ABC中，BAC=90，AB=AC=6，在三角板DEF中，F(xiàn)DE=90,DF=4,DE= .將這副直角三角板按如圖4-1所示位置擺放,點(diǎn)B與點(diǎn)F重合,直角邊BA與FD在同一條直線上.現(xiàn)固定三角板ABC,將三角板DEF沿射線BA方向平行移動(dòng),當(dāng)點(diǎn)F運(yùn)動(dòng)到點(diǎn)A時(shí)停止運(yùn)動(dòng).,(1)如圖4-2,當(dāng)三角板DEF運(yùn)動(dòng)到點(diǎn)D與點(diǎn)A重合時(shí),設(shè)EF與BC交于點(diǎn)M,則EMC=_度； (2)如圖4-3，在三角板DE

10、F運(yùn)動(dòng)過程中,當(dāng)EF經(jīng)過點(diǎn)C時(shí),求FC的長; (3)在三角板DEF運(yùn)動(dòng)過程中,設(shè)BF= ,兩塊三角板重疊部分面積為 ,求 與 的函數(shù)解析式,并求出對(duì)應(yīng)的 取值范圍.,【方法點(diǎn)撥】圖形位置不確定時(shí)，需根據(jù)圖形在不同位置時(shí)的特征進(jìn)行分類討論.尋找運(yùn)動(dòng)過程中的特殊位置（臨界點(diǎn)）是正確分類的關(guān)鍵.,15,典例解析,【解答】,【分析】本題是一道與二次函數(shù)、相似三角形、直角三角形相關(guān)的綜合題.解題的關(guān)鍵是利用相似三角形的性質(zhì)及直角三角形的邊角關(guān)系求線段長.,（2）在RtCFA中,AC=6,ACF=E=30,圖4-4,(3)如圖(4),設(shè)過點(diǎn)M作MNAB于點(diǎn)N,MNDE,即,則MNDE,NMB=B=45,N

11、B=NM,NF=NB-FB=MN-x,FMNFED,即,;,則DG=DB=4+x,典例解析,【解答】,圖4-6,AF=6x，AHF=E=30,圖4-5,即,設(shè)AC與EF交于點(diǎn)H，,AH=,典例解析,考點(diǎn)：利用相似三角形的性質(zhì)求面積關(guān)系,例4 （2012廣東）如圖5，拋物線 與x軸交于A、B兩點(diǎn)，與y軸交于點(diǎn)C，連接BC、AC,圖5,【方法點(diǎn)撥】在動(dòng)態(tài)幾何中求三角形面積與線段長度之間的函數(shù)關(guān)系式：可利用底與高的積求解；利用“相似三角形的面積之比等于相似比的平方”這一性質(zhì)求解. 另外，求三角形面積的最大值，實(shí)際上是求對(duì)應(yīng)函數(shù)的最大值.,當(dāng)x=0時(shí)，y=9，則：C（0，9）；,典例解析,【解答】,【

12、分析】本題是一道與二次函數(shù)、相似三角形、圓相關(guān)的綜合題.解題的關(guān)鍵是利用“相似三角形的面積之比等于相似比的平方”求函數(shù)關(guān)系式.,；,（2）EDBC，,則：A（3，0）、B（6，0）；,AB=9，OC=9,AEDABC，,典例解析,【解答】,過E作EFBC于F，則RtBEFRtBCO，得：,EF=,；,典例解析,【變式】,圖6,（1）填空：AHB=_；AC=_； （2）若S2=3S1，求x； （3）設(shè)S2=mS1，求m的變化范圍,【分析】本題是線段運(yùn)動(dòng)問題，是一道與等腰梯形、相似、一元二次方程、二次函數(shù)相關(guān)的綜合題.利用相似三角形的性質(zhì)求面積之比，從而列出方程、求得函數(shù)關(guān)系式是解題的關(guān)鍵.,典例解析,【解答】,圖6-1,（1）如圖，過點(diǎn)C作CKBD交AB的延長線于K，,四邊形DBKC是平行四邊形，,四邊形ABCD是等腰梯形，,CDAB，,BD=AC，,AC=CK，,CE是高，,K=KCE=ACE=CAE=45，,ACK=90，,AHB=ACK=90，,故答案為： AHB=_；AC=_,90,4,典例解析