大學(xué)普通物理課件第4章-功和能.ppt

1、第四章 功 和 能,Work and Energy,本章主要內(nèi)容,4-1 功 4-2 動(dòng)能定理 4-3 勢(shì)能 4-4 引力勢(shì)能 4-5 由勢(shì)能求保守力 4-6 機(jī)械能守恒定律 4-7 守恒定律的意義 4-8 碰撞 *4-9 兩體問(wèn)題 *4-10 流體的穩(wěn)定流動(dòng) *4-11 伯努力方程,第四章 功和能,質(zhì)點(diǎn)受力的作用時(shí)，如果持續(xù)一段時(shí)間，質(zhì)點(diǎn)的動(dòng)量會(huì)改變；如果質(zhì)點(diǎn)有空間位置的變化，則力對(duì)位移的累積（功）會(huì)使質(zhì)點(diǎn)的能量（動(dòng)能和勢(shì)能）發(fā)生變化。對(duì)功和能的研究，是經(jīng)典力學(xué)中重要的組成部分。,與機(jī)械運(yùn)動(dòng)相聯(lián)系的能量守恒定律（機(jī)械能守恒定律），是普遍的能量守恒定律的一種特殊形式。,4-1 功,Work,功

2、力在位移方向上的分量與位移大小的乘積。,1.功的定義,設(shè)質(zhì)點(diǎn)受力為 ，它的空間位置發(fā)生一無(wú)限小的位移位移元 ，則該力做功 表示為,質(zhì)點(diǎn)沿曲線 從 到 ，整個(gè)路徑上的功為元功之和：,結(jié)論：合力的功等于各分力沿同一路徑所做功的代數(shù)和。,如果質(zhì)點(diǎn)同時(shí)受到多個(gè)力的作用，計(jì)算它們等效合力的功：,3.合力的功,2.特例：,質(zhì)點(diǎn)沿直線運(yùn)動(dòng)，受到的恒力F與速度方向成 角， 力F做的功：,功的單位：J(Nm),4.保守力與非保守力,（1）重力做功,一滑雪運(yùn)動(dòng)員質(zhì)量為m，沿滑 雪道從A點(diǎn)滑到B點(diǎn)的過(guò)程中，重力 對(duì)他做了多少功？,結(jié)論：重力的功與質(zhì)點(diǎn)運(yùn)動(dòng)的路徑無(wú)關(guān)，只決定于質(zhì)點(diǎn)初、終態(tài)的相對(duì)位置（以高度表示）。,（

3、2）彈簧的彈性力做功,考慮一勁度系數(shù)為k 的彈簧系著一質(zhì)點(diǎn) m，彈簧一端固定于O點(diǎn)，彈性力 的功：,為彈簧的伸長(zhǎng)量,結(jié)論：彈性力的功與質(zhì)點(diǎn)運(yùn)動(dòng)的相對(duì)路徑無(wú)關(guān)，只決定于質(zhì)點(diǎn)初、終態(tài)的相對(duì)位置（決定了彈簧伸長(zhǎng)量）。,（3）摩擦力的功,設(shè)在水平面上質(zhì)點(diǎn)分別沿兩條不同的路徑半圓 和直徑 由 a 運(yùn)動(dòng)到 b，則滑動(dòng)摩擦力做了多少功？,路徑 ：,路徑為半圓 ：,結(jié)論：摩擦力對(duì)質(zhì)點(diǎn)做的功不僅與質(zhì)點(diǎn)的始末位置有關(guān)， 而且與路徑有關(guān)。,（4）保守力和非保守力,與之等價(jià)的另一種定義：,當(dāng)物體沿閉合路徑運(yùn)動(dòng)一周時(shí)，作用在它上面的力做功為零，則該力就是保守力。,4-2 動(dòng)能定理,Theorem of Kinetic

4、Energy,力對(duì)空間的積累（即做功）會(huì)給質(zhì)點(diǎn)帶來(lái)怎樣的結(jié)果？,引入動(dòng)能 Ek：,考慮合外力的功：,即,過(guò)程量,狀態(tài)量 在B點(diǎn)的取值,狀態(tài)量 在A點(diǎn)的取值,動(dòng)能定理：合外力對(duì)質(zhì)點(diǎn)所做的功等于質(zhì)點(diǎn)動(dòng)能的增量。,功是能量傳遞或轉(zhuǎn)化的量度。,1.質(zhì)點(diǎn)的動(dòng)能定理,考慮兩個(gè)質(zhì)點(diǎn)構(gòu)成的質(zhì)點(diǎn)系：,即,2.質(zhì)點(diǎn)系的動(dòng)能定理,相加，得,定理：質(zhì)點(diǎn)系外力功和內(nèi)力功的總和等于總動(dòng)能的增量。,注意：內(nèi)力能改變系統(tǒng)的總動(dòng)能，但不能改變系統(tǒng)的總動(dòng)量。,質(zhì)點(diǎn)系的動(dòng)量定理： （積分形式）,例1 一個(gè)質(zhì)量為 m 珠子系在線的一端，線的另一端綁 在墻上的釘子上，線長(zhǎng)為 l。先拉動(dòng)珠子使線保持水平靜止， 然后松手使珠子下落。求線擺

5、致 角時(shí)這個(gè)珠子的速率。 （利用動(dòng)能定理求解）,解：根據(jù)動(dòng)能定理：,1. 功力在位移方向上的分量與位移大小的乘積。,回顧,2.保守力做功與質(zhì)點(diǎn)運(yùn)動(dòng)的相對(duì)路徑無(wú)關(guān)，只決定于質(zhì)點(diǎn)初、終態(tài)的相對(duì)位置，具有這種性質(zhì)的力稱為保守力。,3. 動(dòng)能定理,動(dòng)能 ：,對(duì)于一個(gè)質(zhì)點(diǎn)：,對(duì)于一個(gè)質(zhì)點(diǎn)系：,4-3 勢(shì)能,Potential Energy,1.勢(shì)能,說(shuō)明：保守力做正功，質(zhì)點(diǎn)系勢(shì)能減?。环粗嗳?。,上一關(guān)系式只定義了勢(shì)能差，要具體確定質(zhì)點(diǎn)系的勢(shì)能，必須選定某一狀態(tài)為勢(shì)能零點(diǎn)。,若選狀態(tài)B為零勢(shì)能點(diǎn)，則狀態(tài)A的勢(shì)能為：,即質(zhì)點(diǎn)系在狀態(tài)A勢(shì)能的量值，等于系統(tǒng)由狀態(tài)A變?yōu)闋顟B(tài)B (勢(shì)能零點(diǎn))的過(guò)程中，保守內(nèi)力做

6、的功。,勢(shì)能是相對(duì)的，勢(shì)能差是絕對(duì)的。,即：,*1)一般選零勢(shì)能點(diǎn)為彈簧處于原長(zhǎng)(即伸長(zhǎng)量為0)的狀態(tài)，則伸長(zhǎng)量為 sA 的 彈簧的彈性勢(shì)能為：, 不同的保守力引入的勢(shì)能也不同。,重力勢(shì)能：,勢(shì)能屬于有保守力相互作用的質(zhì)點(diǎn)系。,說(shuō)明：,彈性勢(shì)能：,*對(duì)于重力勢(shì)能，一般選地面為零勢(shì)能點(diǎn)，h為距離零勢(shì)能點(diǎn)的高度。,*2)如果以伸長(zhǎng)量為 sB 為彈性勢(shì)能零點(diǎn)，則任伸長(zhǎng)量為 sA的彈簧的彈性勢(shì)能為：,例1 設(shè)平衡時(shí)彈簧以有一伸長(zhǎng)量 。若以物體的平衡位置為x軸的原點(diǎn)，且平衡點(diǎn)處為彈性勢(shì)能和重力勢(shì)能的零點(diǎn)。討論物體位置為x時(shí)，彈性勢(shì)能和重力勢(shì)能之和是多少？,解：在平衡點(diǎn)位置有：,當(dāng)物體再下降一端距離x時(shí)，

7、以o點(diǎn)為彈性勢(shì)能零點(diǎn)，則此時(shí)的彈性勢(shì)能為,同樣以o點(diǎn)為重力勢(shì)能零點(diǎn)，則此時(shí)的重力勢(shì)能為：,此時(shí)的勢(shì)能為彈性勢(shì)能和重力勢(shì)能之和：,例2 一勁度系數(shù)為k的輕彈簧豎直靜止在桌面上。 今在其上端輕輕地放置一質(zhì)量為m的砝碼后松手。 （1）求此后砝碼下降的最大距離ymax。 （2）求砝碼下降ymax/2 時(shí)的速度v。,解 (1) 下降過(guò)程中重力做的功為,對(duì)砝碼用動(dòng)能定理，有,又,所以,，解得，,(2)課后練習(xí),以地面為勢(shì)能零點(diǎn),4-4 引力勢(shì)能,Gravitational Potential Energy,考慮有兩個(gè)質(zhì)點(diǎn)m1和m2的質(zhì)點(diǎn)系。以m1所在處為原點(diǎn)，當(dāng)m2由A點(diǎn)移動(dòng)到B點(diǎn)時(shí)，萬(wàn)有引力做的功為：,

8、結(jié)論：萬(wàn)有引力的功與質(zhì)點(diǎn)運(yùn)動(dòng)的相對(duì)路徑無(wú)關(guān)，只決定于質(zhì)點(diǎn)初、終態(tài)的相對(duì)位置。萬(wàn)有引力為保守力。,1.萬(wàn)有引力是保守力, 勢(shì)能零點(diǎn)具有相對(duì)意義。,對(duì)于萬(wàn)有引力定義引力勢(shì)能為：,2.引力勢(shì)能, 勢(shì)能曲線：當(dāng) 時(shí)， 。即，當(dāng)兩質(zhì)點(diǎn)相 距無(wú)窮遠(yuǎn)時(shí)，勢(shì)能為零。,一般引力勢(shì)能的零點(diǎn)取質(zhì)點(diǎn)相距無(wú)窮遠(yuǎn)， ，,重力勢(shì)能是在地球表面小區(qū)域內(nèi)的引力勢(shì)能：,RE h,3.重力勢(shì)能和引力勢(shì)能的關(guān)系,注意：重力勢(shì)能和引力勢(shì)能的勢(shì)能零點(diǎn)在選取上是不同的。,例 一顆質(zhì)量為m的隕石從天外（可認(rèn)為距離地球無(wú)限遠(yuǎn)）落到地球上，它和地球間的引力做功為多少？,解,結(jié)論：運(yùn)用勢(shì)能公式求保守力的功，可以不用沿路徑積分， 簡(jiǎn)化了計(jì)算。,例2

9、： 已知地球的半徑為R，質(zhì)量為M?，F(xiàn)有一個(gè)質(zhì)量為m的物體，在離地面高度為2R處。以地球和物體為系統(tǒng)，若取地面為零勢(shì)能點(diǎn)，則系統(tǒng)的引力勢(shì)能為（ ）；若取無(wú)窮遠(yuǎn)處為勢(shì)能零點(diǎn)，則系統(tǒng)的引力勢(shì)能為（ ）。,4-5 由勢(shì)能求保守力,How to Find a Conservative Force from Potential Energy,保守力及其勢(shì)能都是空間分布的函數(shù)（力場(chǎng)，勢(shì)函數(shù)）,A,B,式中 為力 F 在 l 方向的分量。,即：,保守力沿某一給定的 方向的分量 等于與此保守力相應(yīng)的勢(shì)能函數(shù)沿 方向的空間變化率的負(fù)值。,保守力等于相聯(lián)系的勢(shì)能的梯度的負(fù)值，即,梯度算符“grad”：,一般，Ep

10、是位置坐標(biāo)(x,y,z)函數(shù)。 上式中的 方向可以取 x, y 和 z 軸的方向，從而得到保守力的分量為：,例：萬(wàn)有引力勢(shì)能函數(shù)為：,則萬(wàn)有引力為：,4-6 機(jī)械能守恒定律,Law of Conservation of Mechanical Energy,引入機(jī)械能：,考慮質(zhì)點(diǎn)系的動(dòng)能定理：,質(zhì)點(diǎn)系所受外力的功與非保守性內(nèi)力的功的總和等于機(jī)械能的增量。,說(shuō)明： 機(jī)械能守恒定律是由牛頓定律導(dǎo)出的，它在慣性系中適用。,如果 ，則 常量。,機(jī)械能守恒定律：在只有保守性內(nèi)力做功的情況下，質(zhì)點(diǎn)系的機(jī)械能保持不變。,能量守恒定律：在封閉系統(tǒng)中，無(wú)論其內(nèi)部經(jīng)歷怎樣的變化，該系統(tǒng)的所有能量的總和保持不變。,

11、機(jī)械能守恒定律是普遍的能量守恒定律在機(jī)械運(yùn)動(dòng)中的特例。,例 求第一宇宙速度、第二宇宙速度和第三宇宙速度。,第一宇宙速度物體能夠繞地球運(yùn)行的最小發(fā)射速度； 第二宇宙速度物體脫離地球引力的最小發(fā)射速度； 第三宇宙速度物體脫離太陽(yáng)系的最小發(fā)射速度。,解：（1）第一宇宙速度 設(shè)物體繞地球以半徑 r 做圓周運(yùn)動(dòng)。,時(shí)， 有最小值,（3）第三宇宙速度 使物體脫離太陽(yáng)系所需的最小發(fā)射速率 。,（2） 第二宇宙速度 地球和物體構(gòu)成一個(gè)保守系統(tǒng)。物體離開(kāi)地球飛去時(shí)，無(wú)外力做功。系統(tǒng)的機(jī)械能守恒。,V2 要為最小值，則,例2：用一個(gè)輕彈簧把一個(gè)金屬盤懸掛起來(lái)，這時(shí)彈簧伸長(zhǎng)了 。一個(gè)質(zhì)量和盤相同的泥球，從高于盤h3

12、0cm處由靜止下落到盤上，求此盤向下運(yùn)動(dòng)的最大距離,解：1）球自由下落過(guò)程，落到盤上的速度 為：,2）球和盤發(fā)生碰撞。此過(guò)程動(dòng)量守恒（因?yàn)閮?nèi)力 遠(yuǎn)遠(yuǎn)大于它們受到的重力和拉力）,3）球和盤共同以速度V下降。此過(guò)程機(jī)械能守恒（以彈簧，小球，盤和地球?yàn)橐环忾]的保守系統(tǒng)）,最初有：,（取正解）,1）勁度系數(shù)為k的輕彈簧在質(zhì)量為m的木塊和外力作用下，處于被壓縮狀態(tài)，其壓縮量為x，當(dāng)撤去外力后彈簧被釋放，木塊沿光滑斜面彈出，最后落到地面上 ,A) 在此過(guò)程中，木塊的動(dòng)能和彈性勢(shì)能之和守恒,D) 木塊落地點(diǎn)的水平距離隨 的不同而 異， 越大，,落地點(diǎn)越遠(yuǎn)。,C) 木塊落地時(shí)的速度v滿足,B) 木塊到達(dá)最高點(diǎn)時(shí)，滿足,補(bǔ)充題：,4-7 守恒定律與對(duì)稱性,Laws of Conservationand Symmetries,其他守恒量與對(duì)稱性：,動(dòng)量,角動(dòng)量,能量,守恒量,對(duì)稱性,時(shí)空性質(zhì),宇稱守