§2.1,2 LTI連續(xù)系統(tǒng)的響應.ppt

1、微分方程的經典解 關于0-和0+初始值 零輸入響應和零狀態(tài)響應,2.1 LTI連續(xù)系統(tǒng)的響應,第二章 連續(xù)系統(tǒng)的時域分析,LTI連續(xù)系統(tǒng)的時域分析，歸結為： 建立并求解線性微分方程 由于在其分析過程涉及的函數變量均為時間t，故稱為時域分析法。這種方法比較直觀，物理概念清楚，是學習各種變換域分析法的基礎。,一、微分方程的經典解,y(n)(t) + an-1y (n-1)(t) + + a1y(1)(t) + a0y (t) = bmf(m)(t) + bm-1f (m-1)(t) + + b1f(1)(t) + b0f (t),微分方程的經典解：完全解 = 齊次解 + 特解。,對于一個單輸入單輸

2、出的LTI連續(xù)系統(tǒng)，可以用 下面的一個n階常系數線性微分方程描述,其中n可以大于m，也可以小于m。,1. 齊次解,步驟：特征方程特征根寫出齊次解形式,有重根的情況：（1）r重實根,沒有重根的情況：,（2）一對共軛復根,（3）r重共軛復根,齊次解舉例,解：系統(tǒng)的特征方程為,特征根,對應的齊次解為,2. 特解,根據微分方程右端函數式形式，設含待定系數的特解函數式代入原方程，比較系數定出特解。,激勵f(t),響應y(t)的特解yp(t),3. 全解,完全解 = 齊次解 + 特解,齊次解的函數形式僅與系統(tǒng)本身的特性有關，而與激勵f(t)的函數形式無關，稱為系統(tǒng)的固有響應或自由響應； 特解的函數形式由激

3、勵確定，稱為強迫響應。,由初始值定出齊次解中的待定常數Ci。,全解舉例,例 描述某系統(tǒng)的微分方程為 y”(t) + 5y(t) + 6y(t) = f(t) 求（1）當f(t) = 2e-t，t0；y(0)=2，y(0)= -1時的全解； （2）當f(t) = e-2t，t0；y(0)= 1，y(0)=0時的全解。,解: (1) 特征方程為2 + 5+ 6 = 0 其特征根1= 2，2= 3。齊次解為 yh(t) = C1e 2t + C2e 3t 當f(t) = 2e t時，其特解可設為 yp(t) = Pe t 將其代入微分方程得 Pe t + 5( Pe t) + 6Pe t = 2e

4、t 解得 P=1 于是特解為 yp(t) = e t,全解為： y(t) = yh(t) + yp(t) = C1e 2t + C2e 3t + e t 其中 待定常數C1,C2由初始條件確定。 y(0) = C1+C2+ 1 = 2，y(0) = 2C1 3C2 1= 1 解得 C1 = 3 ，C2 = 2 最后得全解 y(t) = 3e 2t 2e 3t + e t , t0,（2）齊次解同上。當激勵f(t)=e2t時，其指數與特征根之一相重。故其特解為 yp(t) = (P1t + P0)e2t 代入微分方程可得 P1e-2t = e2t 所以 P1= 1 但P0不能求得。特解為 yp(

5、t) = (t + P0)e2t,全解,全解為 y(t)= C1e2t + C2e3t + te2t + P0e2t = (C1+P0)e2t +C2e3t + te2t 將初始條件代入，得 y(0) = (C1+P0) + C2=1 ，y(0)= 2(C1+P0) 3C2+1=0 解得 C1 + P0 = 2 ,C2= 1 最后得微分方程的全解為 y(t) = 2e2t e3t + te2t , t0 上式第一項的系數C1+P0= 2，不能區(qū)分C1和P0，因而也不能區(qū)分自由響應和強迫響應。,二關于0-和0+初始值,若輸入f(t)是在t=0時接入系統(tǒng)，則確定待定系數Ci時用t = 0+時刻的初

6、始值，即y(j)(0+) (j=0,1,2，n-1)。 而y(j)(0+)包含了輸入信號的作用，不便于描述系統(tǒng)的歷史信息。 在t=0-時，激勵尚未接入，該時刻的值y(j)(0-)反映了系統(tǒng)的歷史情況而與激勵無關。稱這些值為初始狀態(tài)或起始值。 注意：起始值或初始狀態(tài)指（0-）， 初始值或初始條件指（0+） 通常，需要從已知的初始狀態(tài)y(j)(0-)設法求得y(j)(0+)。,當微分方程右端含有沖激函數時，響應y(t)及其各階導數中，有些在t=0處將發(fā)生躍變。否則不會躍變。 y(j)(0+)求法：（1）多項式法：見書44頁例2.1-3 ；（2）系數平衡法:兩端奇異函數及其各階導數的系數對應相等。也

7、叫系數匹配法。此法更加簡單、常用。,關于多項式法,若一個二階LTI連續(xù)系統(tǒng)，描述它的微分方程右端含有沖擊函數的最高階導數為一階,其中r1(t),r2(t),r3(t)均為不含 及其各階導數。,（2）將上式代入原方程中，根據奇異函數的各階導數系數相等的原理，比較方程兩端的系數，求得待定系數a,b。 （3）將a,b代回上式，前兩個等式兩端從0-到0積分，直接求解y(0+),y(0+)。,（1）設,關于系數平衡法,步驟： （1）考慮y(n)(t)中是否含有沖擊函數及其導數，以及導數的階數是多少，來判斷y(j)(0+)和y(0+)的連續(xù)性。 （2）對原方程兩端從0到0積分，根據函數連續(xù)性和方程關系確定

8、出y(j)(0+)。,0和0+初始值舉例,例：描述某系統(tǒng)的微分方程為 y”(t) + 3y(t) + 2y(t) = 2f(t) + 6f(t) 已知y(0-)=2，y(0-)= 0，f(t)=(t)，求y(0+)和y(0+)。,解：將輸入f(t)=(t)代入上述微分方程得 y”(t) + 3y(t) + 2y(t) = 2(t) + 6(t) （1） 利用系數平衡法分析：上式對于t=0-也成立，在0-t0+區(qū)間等號兩端(t)項的系數應相等。 由于等號右端為2(t)，故y”(t)應包含沖激函數，從而y(t)在t= 0處將發(fā)生躍變，即y(0+)y(0-)。 但y(t)不含沖激函數，否則y”(t)

9、將含有(t)項。由于y(t)中不含(t)，故y(t)在t=0處是連續(xù)的。 故 y(0+) = y(0-) = 2,對式(1)兩端積分有,由于積分在無窮小區(qū)間0-，0+進行的，且y(t)在t=0連續(xù)， 故,于是由上式得 y(0+) y(0-) + 3y(0+) y(0-)=2 y(t)連續(xù)， y(0+) =y(0-) =2， 于是 y(0+) y(0-) = 2 ， y(0+) = y(0-) + 2 =2,三.零輸入響應和零狀態(tài)響應,y(t) = yzi(t) + yzs(t) ,也可以分別用經典法求解。 解的形式： yzi(t)：同齊次解的形式； yzs(t)：齊次解特解 注意：對t=0時接

10、入激勵f(t)的系統(tǒng)，初始值 yzi(j)(0+), yzs(j)(0+) (j = 0，1，2，n-1)的計算。 y(j)(0-)= yzi(j)(0-)+ yzs(j)(0-) y(j)(0+)= yzi(j)(0+)+ yzs(j)(0+) 對于零輸入響應，由于激勵為零，故有 yzi(j)(0+)= yzi(j)(0-) = y (j)(0-) 對于零狀態(tài)響應，在t=0-時刻激勵尚未接入，故應有 yzs(j)(0-)=0 yzs(j)(0+)的求法下面舉例說明。,零輸入響應和零狀態(tài)響應舉例,例：描述某系統(tǒng)的微分方程為 y”(t) + 3y(t) + 2y(t) = 2f(t) + 6f(

11、t) 已知y(0-)=2，y(0-)=0，f(t)=(t)。求該系統(tǒng)的零輸入響應和零狀態(tài)響應。,解：（1）零輸入響應yzi(t) 激勵為0 ，故yzi(t)滿足 yzi”(t) + 3yzi(t) + 2yzi(t) = 0 yzi(0+)= yzi(0-)= y(0-)=2 yzi(0+)= yzi(0-)= y(0-)=0 該齊次方程的特征根為1， 2，故 yzi(t) = Czi1e t + Czi2e 2t 代入初始值并解得系數為Czi1=4 ,Czi2= 2 ，代入得 yzi(t) = 4e t 2e 2t ,t 0,（2）零狀態(tài)響應yzs(t) 滿足,yzs”(t) + 3yzs(

12、t) + 2yzs(t) = 2(t) + 6(t) 并有 yzs(0-) = yzs(0-) = 0 由于上式等號右端含有(t)，故yzs”(t)含有(t)，從而yzs(t)躍變，即yzs(0+)yzs(0-)，而yzs(t)在t = 0連續(xù)，即yzs(0+) = yzs(0-) = 0，積分得 yzs(0+)- yzs(0-)+ 3yzs(0+)- yzs(0-)+2,因此，yzs(0+)= 2 + yzs(0-)=2,對t0時，有 yzs”(t) + 3yzs(t) + 2yzs(t) = 6 不難求得其齊次解為Czs1e-t + Czs2e-2t，其特解為常數3， 于是有 yzs(t)

13、=Czs1e-t + Czs2e-2t + 3 代入初始值求得 yzs(t)= 4e-t + e-2t + 3 ，t0,思考,例：描述某系統(tǒng)的微分方程為 y”(t)+3y(t)+2y(t)=2f(t)+6f(t) 已知y(0+)=2，y(0+)=2，f(t)=(t)， 求該系統(tǒng)的零輸入響應和零狀態(tài)響應。,解：（1）零狀態(tài)響應yzs(t),yzs”(t) + 3yzs(t) + 2yzs(t) = 2(t) + 6(t) 并有 yzs(0-) = yzs(0-) = 0 由于上式等號右端含有(t)，故yzs”(t)含有(t)，從而yzs(t)躍變，即yzs(0+)yzs(0-)，而yzs(t)在

14、t = 0連續(xù)，即yzs(0+) = yzs(0-) = 0，積分得 yzs(0+)- yzs(0-)+ 3yzs(0+)- yzs(0-)+2,因此，yzs(0+)= 2 + yzs(0-)=2,對t0時，有 yzs”(t) + 3yzs(t) + 2yzs(t) = 6 不難求得其齊次解為Czs1e-t + Czs2e-2t，其特解為常數3， 于是有 yzs(t)=Czs1e-t + Czs2e-2t + 3 代入初始值求得 yzs(t)= 4e-t + e-2t + 3 ，t0,（2）零輸入響應yzi(t) yzi”(t) + 3yzi(t) + 2yzi(t) = 0 該齊次方程的特征

15、根為1， 2，故 yzi(t) = Czi1e t + Czi2e 2t yzi(0+)=y(0+)yzs(0+)=202 yzi(0+)= y (0+)yzs (0+)=22=0 代入初始值并解得系數為Czi1=4 ,Czi2= 2 ，代入得 yzi(t) = 4e t 2e 2t，t 0,2.2 沖激響應和階躍響應,沖激響應 階躍響應,一、沖激響應,1定義,由單位沖激函數(t)所引起的零狀態(tài)響應稱為單位沖激響應，簡稱沖激響應，記為h(t)。 h(t)=T 0 , (t) ,2系統(tǒng)沖激響應的求解,沖激響應的數學模型,響應及其各階導數(最高階為n次),對于LTI系統(tǒng),可以用一n階微分方程表示,激勵及其各階導數(最高階為m次),h(t)解答的形式,例:當特征根均為單根時,由于(t)及其導數在 t0+ 時都為零，因而方程式右端的自由項恒等于零，這樣原系統(tǒng)的沖激響應形式與齊次解的形式相同。,nm，h(t)不含(t)及其各階導數； n=m，h(t)包含(t)； nm，h(t)包含(t)及其導數,求系統(tǒng) 沖激響應。,沖激響應求解舉例,解：,求特征根,沖激響應,f(t)(t)，y(t)h(t),帶(t),初始條件未給出，能否求解C1,C2？,求待定系數的方法：,求0+法,奇異函數項系數平衡法,由系統(tǒng)的線性時