福建省晉江市南僑中學(xué)2020學(xué)年高二數(shù)學(xué)下學(xué)期第二次月考試題 理（通用）

1、福建省晉江市南僑中學(xué)2020學(xué)年高二數(shù)學(xué)下學(xué)期第二次月考試題 理滿分： 150 考試時(shí)間：120分鐘一、選擇題（本大題共12小題，共60.0分）1. 設(shè)，其中x，y是實(shí)數(shù)，則A. 1B. C. D. 22. 下列求導(dǎo)運(yùn)算正確的是A. B. C. D. 3. 有5位學(xué)生和2位老師并坐一排合影，若教師不能坐在兩端，且要坐在一起，則有多少種不同坐法 A. 種B. 240種C. 480種D. 960種4. 如圖所示，正弦曲線，余弦曲線與兩直線，所圍成的陰影部分的面積為A. 1B. C. 2D. 5. 在的展開式中，只有第5項(xiàng)的二項(xiàng)式系數(shù)最大，則展開式的常數(shù)項(xiàng)為A. B. 7C. D. 286. 已知隨

2、機(jī)變量，且，則A. B. C. D. 7. 投籃測試中，每人投3次，至少投中2次才能通過測試已知某同學(xué)每次投籃投中的概率為，且各次投籃是否投中相互獨(dú)立，則該同學(xué)通過測試的概率為A. B. C. D. 8. 下列說法錯(cuò)誤的是A. 回歸直線過樣本點(diǎn)的中心B. 兩個(gè)隨機(jī)變量的線性相關(guān)性越強(qiáng)，則相關(guān)系數(shù)的絕對值就越接近于1C. 在回歸直線方程中，當(dāng)解釋變量x每增加1個(gè)單位時(shí)，預(yù)報(bào)變量平均增加個(gè)單位D. 對分類變量X與Y，隨機(jī)變量的觀測值k越大，則判斷“X與Y有關(guān)系”的把握程度越小9. 已知的展開式中第4項(xiàng)與第8項(xiàng)的二項(xiàng)式系數(shù)相等，則奇數(shù)項(xiàng)的二項(xiàng)式系數(shù)和為A. B. C. D. 10. 內(nèi)接于半徑為R的

3、球且體積最大的圓錐的高為()A. RB. 2RC. D. 11. 甲乙二人爭奪一場圍棋比賽的冠軍，若比賽為“三局兩勝”制，甲在每局比賽中獲勝的概率均為，且各局比賽結(jié)果相互獨(dú)立，則在甲獲得冠軍的情況下，比賽進(jìn)行了三局的概率為A. B. C. D. 12. 若函數(shù)在單調(diào)遞增，則a的取值范圍是A. B. C. D. 二、填空題（本大題共4小題，共20.0分）13. 若是偶函數(shù)，則_14. 已知邊長分別為a，b，c的三角形ABC面積為S，內(nèi)切圓O的半徑為r，連接OA，OB，OC，則三角形OAB，OBC，OAC的面積分別為，由得，類比得四面體的體積為V，四個(gè)面的面積分別為，則內(nèi)切球的半徑_15. 有3男

4、2女共5名學(xué)生被分派去A，B，C三個(gè)公司實(shí)習(xí)，每個(gè)公司至少1人，且A公司只要女生，共有_種不同的分派方法用數(shù)字作答16. 已知函數(shù)，其中e是自然對數(shù)的底數(shù)若則實(shí)數(shù)a的取值范圍是_三、解答題（本大題共6小題，共70.0分）17. （12分）已知函數(shù)，在點(diǎn)處的切線方程為，求：實(shí)數(shù)a，b的值； 函數(shù)的單調(diào)區(qū)間以及在區(qū)間上的最值（10分）某小組共10人，利用假期參加義工活動(dòng)，已知參加義工活動(dòng)次數(shù)為1，2，3的人數(shù)分別為3，3，4，現(xiàn)從這10人中隨機(jī)選出2人作為該組代表參加座談會(huì)設(shè)A為事件“選出的2人參加義工活動(dòng)次數(shù)之和為4”，求事件A發(fā)生的概率；設(shè)X為選出的2人參加義工活動(dòng)次數(shù)之差的絕對值，求隨機(jī)變量

5、X的分布列和數(shù)學(xué)期望18. （12分）某職稱晉級評定機(jī)構(gòu)對參加某次專業(yè)技術(shù)考試的100人的成績進(jìn)行了統(tǒng)計(jì)，繪制了頻率分布直方圖如圖所示，規(guī)定80分及以上者晉級成功，否則晉級失敗晉級成功晉級失敗合計(jì)男16女50合計(jì)求圖中a的值；根據(jù)已知條件完成下面列聯(lián)表，并判斷能否有的把握認(rèn)為“晉級成功”與性別有關(guān)？將頻率視為概率，從本次考試的所有人員中，隨機(jī)抽取4人進(jìn)行約談，記這4人中晉級失敗的人數(shù)為X，求X的數(shù)學(xué)期望與方差參考公式： ，其中（12分）如圖，在四棱錐中，且證明：平面平面PAD；若，求二面角的余弦值19. （12分）已知中心在原點(diǎn)，對稱軸為坐標(biāo)軸的橢圓C的一個(gè)焦點(diǎn)F在拋物線的準(zhǔn)線上，且橢圓C過點(diǎn)

6、，直線與橢圓C交于A，B兩個(gè)不同點(diǎn)求橢圓C的方程；若直線的斜率為，且不過點(diǎn)P，設(shè)直線PA，PB的斜率分別為，求證：為定值22.（12分）已知函數(shù)討論的單調(diào)性；當(dāng)時(shí)，證明答案和解析【答案】1. B2. D3. D4. D5. B6. B7. A8. D9. D10. C11. B12. C13. 14. 15. 3416. 17. 解：因?yàn)樵邳c(diǎn)處的切線方程為，所以切線斜率是，且，求得，即點(diǎn)，又函數(shù)，則，所以依題意得解得由知所以，令，解得或，當(dāng)或；當(dāng)，所以函數(shù)的單調(diào)遞增區(qū)間是，單調(diào)遞減區(qū)間是，又，所以當(dāng)x變化時(shí)，和變化情況如下表：X023004極小值1所以當(dāng)時(shí)，18. 解：從10人中選出2人的選法

7、共有種，事件A：參加次數(shù)的和為4，情況有：人參加1次，另1人參加3次，人都參加2次；共有種，事件A發(fā)生概率：的可能取值為0，1，2，的分布列為：X012P隨機(jī)變量X的數(shù)學(xué)期望19. 解：由頻率分布直方圖各小長方形面積總和為1，可知，解得；由頻率分布直方圖知，晉級成功的頻率為，所以晉級成功的人數(shù)為人，填表如下：晉級成功晉級失敗合計(jì)男163450女94150合計(jì)2575100假設(shè)“晉級成功”與性別無關(guān)，根據(jù)上表數(shù)據(jù)代入公式可得，所以有超過的把握認(rèn)為“晉級成功”與性別有關(guān)；由頻率分布直方圖知晉級失敗的頻率為，將頻率視為概率，則從本次考試的所有人員中，隨機(jī)抽取1人進(jìn)行約談，這人晉級失敗的概率為，所以X

8、可視為服從二項(xiàng)分布，即，數(shù)學(xué)期望為，方差為20. 證明：， ，又，且平面PAD，平面PAD，平面PAD，又平面PAB，平面平面PAD；解：，四邊形ABCD為平行四邊形，由知平面PAD，則四邊形ABCD為矩形，在中，由，可得為等腰直角三角形，設(shè)，則，取AD中點(diǎn)O，BC中點(diǎn)E，連接PO、OE，以O(shè)為坐標(biāo)原點(diǎn)，分別以O(shè)A、OE、OP所在直線為x、y、z軸建立空間直角坐標(biāo)系，則：，0，設(shè)平面PBC的一個(gè)法向量為，由，得，取，得，平面PAD，平面PAD，又，平面PAB，則為平面PAB的一個(gè)法向量，由圖可知，二面角為鈍角，二面角的余弦值為21. 解：拋物線的準(zhǔn)線方程為，由題意知故設(shè)橢圓C的方程為則由題意可

9、得，解得故橢圓C的方程為證明：直線的斜率為，且不過點(diǎn)，可設(shè)直線聯(lián)立方程組，消y得又設(shè)，故有，所以，所以為定值022. 解：因?yàn)?，求?dǎo)，當(dāng)時(shí)，恒成立，此時(shí)在上單調(diào)遞增；當(dāng)，由于，所以恒成立，此時(shí)在上單調(diào)遞增；當(dāng)時(shí)，令，解得：因?yàn)楫?dāng)、當(dāng)，所以在上單調(diào)遞增、在上單調(diào)遞減綜上可知：當(dāng)時(shí)在上單調(diào)遞增，當(dāng)時(shí)，在上單調(diào)遞增、在上單調(diào)遞減；證明：由可知：當(dāng)時(shí)在上單調(diào)遞增、在上單調(diào)遞減，所以當(dāng)時(shí)函數(shù)取最大值從而要證，即證，即證，即證令，則，問題轉(zhuǎn)化為證明：令，則，令可知，則當(dāng)時(shí)，當(dāng)時(shí)，所以在上單調(diào)遞增、在上單調(diào)遞減，即，即式成立，所以當(dāng)時(shí)，成立【解析】1. 【分析】本題主要考查復(fù)數(shù)模長的計(jì)算，根據(jù)復(fù)數(shù)相等求出x

10、，y的值是解決本題的關(guān)鍵，屬于基礎(chǔ)題根據(jù)復(fù)數(shù)相等求出x，y的值，結(jié)合復(fù)數(shù)的模長公式進(jìn)行計(jì)算即可【解答】解：，即，解得，即，故選B2. 【分析】本題考查了導(dǎo)數(shù)的運(yùn)算法則，掌握基本導(dǎo)數(shù)公式是關(guān)鍵，屬于基礎(chǔ)題根據(jù)導(dǎo)數(shù)的運(yùn)算法則求導(dǎo)即可判斷【解答】解：對于A：，故A錯(cuò)誤；對于B：，故B錯(cuò)誤；對于C：，故C錯(cuò)誤；對于D：，故D正確故選D3. 【分析】先排5位學(xué)生，由排列公式可得其坐法數(shù)目，要求2位教師坐在一起，用捆綁法，插入到5個(gè)學(xué)生符合要求的4個(gè)空位中，易得其有種坐法，由分步計(jì)數(shù)原理計(jì)算可得答案本題考查排列、組合的運(yùn)用，關(guān)鍵在于掌握常見的問題的處理方法，如相鄰問題用捆綁法，不相鄰問題用插空法【解答】解

11、：先排5位學(xué)生，有種坐法，2位教師坐在一起，將其看成一個(gè)整體，可以交換位置，有2種坐法，將這個(gè)“整體”插在5個(gè)學(xué)生的空位中，又由教師不能坐在兩端，則有4個(gè)空位可選，則共有種坐法故選D4. 【分析】本小題主要考查定積分的幾何意義以及定積分的基本運(yùn)算，對學(xué)生的運(yùn)算求解能力和數(shù)形結(jié)合思想提出一定要求由圖形可知，陰影部分的面積等于正弦函數(shù)與余弦函數(shù)圖形到的面積，所以利用此區(qū)間的定積分可求【解答】解：由圖形以及定積分的意義，得到所求封閉圖形面積等價(jià)于，故ABC錯(cuò)誤，D正確故選D5. 【分析】本題考查二項(xiàng)式系數(shù)的性質(zhì)、利用二項(xiàng)展開式的通項(xiàng)公式解決二項(xiàng)展開式的特定項(xiàng)問題利用二項(xiàng)展開式的中間項(xiàng)的二項(xiàng)式系數(shù)最大

12、，列出方程求出n；利用二項(xiàng)展開式的通項(xiàng)公式求出通項(xiàng)，令x的指數(shù)為0求出常數(shù)項(xiàng)【解答】解：依題意，二項(xiàng)式為，其展開式的通項(xiàng)令解得故常數(shù)項(xiàng)為故選B6. 【分析】本題主要考查正態(tài)分布曲線的特點(diǎn)及曲線所表示的意義，注意根據(jù)正態(tài)曲線的對稱性解決問題根據(jù)隨機(jī)變量服從正態(tài)分布，可知正態(tài)曲線的對稱軸，利用對稱性，即可求得【解答】解：隨機(jī)變量，正態(tài)曲線的對稱軸是，故選B7. 【分析】本題考查獨(dú)立重復(fù)試驗(yàn)概率的求法，基本知識的考查判斷該同學(xué)投籃投中是獨(dú)立重復(fù)試驗(yàn)，然后求解概率即可【解答】解：由題意可知：同學(xué)3次測試滿足X，該同學(xué)通過測試的概率為故選A8. 【分析】本題考查了線性回歸的有關(guān)知識，考查了推理能力，屬于

13、基礎(chǔ)題利用線性回歸的有關(guān)知識即可判斷出【解答】解：回歸直線過樣本點(diǎn)的中心，正確；B.兩個(gè)隨機(jī)變量相關(guān)性越強(qiáng)，則相關(guān)系數(shù)的絕對值越接近1，因此正確；C.在線性回歸方程中，當(dāng)x每增加1個(gè)單位時(shí)，預(yù)報(bào)量平均增加個(gè)單位，正確；D.對分類變量X與Y的隨機(jī)變量的觀測值k來說，k越大，“X與Y有關(guān)系”可信程度越大，因此不正確綜上可知：只有D不正確故選D9. 解：已知的展開式中第4項(xiàng)與第8項(xiàng)的二項(xiàng)式系數(shù)相等，可得，可得的展開式中奇數(shù)項(xiàng)的二項(xiàng)式系數(shù)和為：故選：D直接利用二項(xiàng)式定理求出n，然后利用二項(xiàng)式定理系數(shù)的性質(zhì)求出結(jié)果即可本題考查二項(xiàng)式定理的應(yīng)用，組合數(shù)的形狀的應(yīng)用，考查基本知識的靈活運(yùn)用以及計(jì)算能力10.

14、 【分析】本題考查導(dǎo)數(shù)的應(yīng)用根據(jù)題意圓錐的體積，利用導(dǎo)數(shù)求解最大值即可【解答】解：設(shè)圓錐的高為h，半徑為r，所以，解得，圓錐的體積，所以，令，解得，則當(dāng)時(shí)，V取得最大值故選C11. 【分析】本題考查條件概率，考查相互獨(dú)立事件概率公式，屬于中檔題求出甲獲得冠軍的概率、比賽進(jìn)行了3局的概率，即可得出結(jié)論【解答】解：由題意，甲獲得冠軍的概率為，其中比賽進(jìn)行了3局的概率為，所求概率為，故選B12. 【分析】本題考查導(dǎo)數(shù)的運(yùn)用：求單調(diào)性，考查不等式恒成立問題的解法，注意運(yùn)用參數(shù)分離和換元法，考查函數(shù)的單調(diào)性的運(yùn)用，屬于中檔題求出的導(dǎo)數(shù)，由題意可得恒成立，設(shè)，即有，對t討論，分，分離參數(shù)，運(yùn)用函數(shù)的單調(diào)性

15、可得最值，解不等式即可得到所求范圍【解答】解：函數(shù)的導(dǎo)數(shù)為：，由題意可得恒成立，即為，即有，設(shè)，即有，當(dāng)時(shí)，不等式顯然成立；當(dāng)時(shí)，由在遞增，可得時(shí)，取得最大值，可得，即；當(dāng)時(shí)，由在遞增，可得時(shí)，取得最小值1，可得，即綜上可得a的范圍是故選C13. 解：若是偶函數(shù)，則，即，故，則，故答案為：根據(jù)函數(shù)的奇偶性求出a的值，求定積分的值即可本題考查了函數(shù)的奇偶性問題，考查求定積分的值，是一道中檔題14. 【分析】本題主要考查類比推理的應(yīng)用，要求正確理解類比的關(guān)系，本題的兩個(gè)結(jié)論實(shí)質(zhì)是利用了面積相等和體積相等來推導(dǎo)的由三角形的面積公式可知，是利用等積法推導(dǎo)的，即三個(gè)小三角形的面積之和等于大三角形ABC的

16、面積，根據(jù)類比推理可知，將四面體分解為四個(gè)小錐體，則四個(gè)小錐體的條件之和為四面體的體積，由此算出內(nèi)切球的半徑【解答】解：由條件可知，三角形的面積公式是利用的等積法來計(jì)算的根據(jù)類比可以得到，將四面體分解為四個(gè)小錐體，每個(gè)小錐體的高為內(nèi)切球的半徑，根據(jù)體積相等可得，即內(nèi)切球的半徑，故答案為15. 【分析】利用分類計(jì)數(shù)原理將該問題分成兩類，對A公司進(jìn)行分類討論，每一類中用分步乘法計(jì)數(shù)原理及排列組合的綜合應(yīng)用進(jìn)行解答即可本題考查了分類計(jì)數(shù)原理和分步計(jì)數(shù)原理，屬于中檔題【解答】解：第一類，A公司只有1個(gè)女生，有種分派方案，則B，C公司分派人數(shù)可以為2，2或者1，3或者3，1共3種分派方案，共種，所以一共

17、有種分派方案，第二類，A公司有2個(gè)女生，只有1種分派方案，B，C公司的分派人數(shù)只能是1，2或者2，1；則有種，根據(jù)分類計(jì)數(shù)原理共有種，故答案為3416. 【分析】本題考查函數(shù)的單調(diào)性和奇偶性的判斷和應(yīng)用，注意運(yùn)用導(dǎo)數(shù)和定義法，考查轉(zhuǎn)化思想的運(yùn)用和二次不等式的解法，考查運(yùn)算能力，屬于中檔題求出的導(dǎo)數(shù)，由基本不等式和二次函數(shù)的性質(zhì)，可得在R上遞增；再由奇偶性的定義，可得為奇函數(shù)，原不等式即為，運(yùn)用二次不等式的解法即可得到所求范圍【解答】解：，可得在R上遞增；又，可得為奇函數(shù)，則，即有由，即有，解得，故答案為：17. 本題考查函數(shù)的導(dǎo)數(shù)的應(yīng)用，切線方程以及閉區(qū)間上函數(shù)的最值求法，考查轉(zhuǎn)化思想以及計(jì)算

18、能力求出切線的斜率，切點(diǎn)坐標(biāo)，求出函數(shù)的導(dǎo)數(shù)，利用切點(diǎn)處的導(dǎo)數(shù)值等于切線斜率，即可求出a，b；求出導(dǎo)函數(shù)的符號，判斷函數(shù)的單調(diào)性以及求解閉區(qū)間的函數(shù)的最值18. 本題考查離散型隨機(jī)變量的分布列和數(shù)學(xué)期望，是中檔題，在歷年的高考中都是必考題型解題時(shí)要認(rèn)真審題，仔細(xì)解答，注意古典概型的靈活運(yùn)用選出的2人參加義工活動(dòng)次數(shù)之和為4為事件A，求出選出的2人參加義工活動(dòng)次數(shù)之和的所有結(jié)果，即可求解概率隨機(jī)變量X的可能取值為0，1，2分別求出，的值，由此能求出X的分布列和19. 由頻率和為1，列出方程求a的值；由頻率分布直方圖求出晉級成功的頻率，計(jì)算晉級成功的人數(shù)，填寫列聯(lián)表，計(jì)算觀測值，對照臨界值得出結(jié)論；由頻率分布直方圖知晉級失敗的頻率，將頻率視為概率，知隨機(jī)變量X服從二