現(xiàn)代控制理論第3章 能控性和能觀性分析.pptx

1、現(xiàn)代控制理論 Modern Control Theory (7),俞 立,浙江工業(yè)大學(xué) 信息工程學(xué)院,第3章 能控性和能觀性分析,狀態(tài)空間模型建立了輸入、狀態(tài)、輸出之間的關(guān)系。,y,u,x,= +,狀態(tài)方程反映控制輸入對狀態(tài)的影響；x Ax Bu,&,輸出方程反映系統(tǒng)輸出對控制輸入和狀態(tài)的依賴。,y(t) = Cx(t) + Du(t),運(yùn)動(dòng)分析揭示了輸入和初始狀態(tài)對系統(tǒng)運(yùn)行狀況的影響 問題：希望系統(tǒng)有期望的運(yùn)行，能否通過適當(dāng)?shù)耐獠枯?入來實(shí)現(xiàn)呢？,有兩個(gè)問題：系統(tǒng)是否有這樣的能力？ 如何來設(shè)計(jì)相應(yīng)的控制器？,前一個(gè)問題是分析，提出了能控性概念！ 后一個(gè)問題是設(shè)計(jì)，需要有各種設(shè)計(jì)方法！ 能控性

2、是系統(tǒng)的一種能力，狀態(tài)能控性和輸出能控； 卡爾曼提出了能控性概念，奠定了現(xiàn)代控制理論基礎(chǔ)。 作業(yè)：查閱能控性的原始文章,報(bào)告文章中的原始思想,3.1 系統(tǒng)的能控性,= + x& Ax Bu,系統(tǒng)模型,定義 對系統(tǒng)的一個(gè)狀態(tài)x ，存在某個(gè)時(shí)間段0, T,0,上定義的控制信號u，使得在該控制信號的作用下， 系統(tǒng)狀態(tài)從x 轉(zhuǎn)移到x(T)=0，,0,x,則稱狀態(tài)x 是能控的。,0,x0,若系統(tǒng)的所有狀態(tài)都是能控的，,則稱系統(tǒng)是完全能控的,O,T,t,也簡稱為能控的。有時(shí)也稱矩陣對,(A, B),是能控的。,問題：如何來判斷能控性呢？,能控性判據(jù),根據(jù)定義，能控性判斷要求找到到使得閉環(huán)系統(tǒng)狀態(tài)從,初始狀

3、態(tài)轉(zhuǎn)移到零狀態(tài)的一個(gè)控制律。,T,由運(yùn)動(dòng)分析：,x(T) = e T x + e T Bu( )d,A( ) ,A,0,0,T,x(T) = 0,A B e u( )d,0 e =,AT,x +,(T,),0,o,T,AT = ,eA(T ) Bu( )d,e x,0,o,T,x = e Bu( )d,A,0,0,n1,n1, ,T,A = ,( )A, 0,k,x = ,a ( )Ak Bu( )d,e,k,0,k,k=0,= k 0,n1,T,= Ak B, a ( )u( )d,k,0,k=0,n1,T,則, 0,x = Ak B a ( )u( )d,0,k,k=0, ,0, ,n1,

4、 ,= Ak B ,B = B AB L An 1 ,1,k, ,M,k=0, , ,n1,T, = , a ( )u( )d,其中的,k,k,0,即：如果系統(tǒng)能控，則線性方程組 一定有解。,n1,=,B AB L A B x,0,理論上可以證明：以上結(jié)果的逆也是成立的。,從而，能控性問題轉(zhuǎn)化為線性方程組的可解性問題！,=,線性方程組Ax b對所有的b有解的充分必要條件是系數(shù),矩陣A 滿秩。,定理3.1.1 系統(tǒng)完全能控的充分必要條件是,rank( A, B) = rank(B AB L A B)= n,n,1,c, A, B 能控性檢驗(yàn)矩陣。,c,特點(diǎn)：只依賴狀態(tài)矩陣A和輸入矩陣B，和時(shí)間長

5、短無關(guān), A, B 是否滿秩的方法：,c,SISO：計(jì)算 c A, B的行列式,MIMO：計(jì)算行列式 ,T,( A, B)( A, B),c,c,MATLAB命令：ctrb(A,B),SISO：det(ctrb(A,B),MIMO：det(ctrb(A,B)*ctrb(A,B),例3.1.1 檢驗(yàn)由以下狀態(tài)方程描述的系統(tǒng)的能控性：,x 1 1,x 1,&,1 =,1 + u, , ,x&,0 1 x,0, , 2,2,解 能控性檢驗(yàn)矩陣, ,1 1 11 1 1, A, B = B AB =,=, , ,c,0 0 1 0,0 0, , , ,1 1,cA, B 不是滿秩的,det( , )

6、det, A B =,=,0,0 0,c,故系統(tǒng)不能控。,例3.1.2 考慮倒立擺系統(tǒng) 線性化狀態(tài)空間模型的 系數(shù)矩陣是,m,y,mg,l,u,M,0 1 0 0, 0, , 0 0 1 0 0 0 0 1 0 0 11 0 , 1, ,A =,B =, ,0, ,1, , 0 1,0 1,1, 0,1 0,能控性檢驗(yàn)矩陣, A, B = B AB A2B A3B =,c, ,0 1,0 11,det( , ) 100 0, A B = ,1 0 11,0,c,故系統(tǒng)是能控的。,&,解釋！系統(tǒng)的狀態(tài) =, T,x y y&,例3.1.4 考慮能控標(biāo)準(zhǔn)型,x 0 1 0 x 0,&,1,1, x

7、& = 0 0 1 x + 0 u , ,2,2, & a a a x,x,1, , ,3,0,1,2,3, 0 ,0 0,1, 1 , , , AB = 1 , , , A, B = 0 1, a2 a a + 2 ,A B A(AB),2,=,= ,a2,c, , 1 a,a, +,2 2, , ,a a, 2,2,2,1,1,能控性檢驗(yàn)矩陣總是非奇異的。 故系統(tǒng)是能控的。,能控標(biāo)準(zhǔn)形：能控的； 特殊的結(jié)構(gòu)。,定理 系統(tǒng)完全能控的充分必要條件是存在常數(shù)T 0，,使得n 維矩陣,T,AT,W (0, T) = e t BB e tdt,A,T,c,0,是非奇異的。 構(gòu)造控制律,T,= T A

8、 t,1 c,u(t) B e W (0, T)x,0,T,x = AT x +,(T) e,eA(T ),( )d Bu ,0,0,T, BBT AT Wc1(0, T)x0,=,eAT,x ,eA(T,),e d,0,0,=,eAT,x ,eAT,W,(0, T) (0, T)x,W,1 c,0,c,0,= 0,由能控性定義得到系統(tǒng)的能控性。,定理的說明,1。若系統(tǒng)能控，則對所有時(shí)間T，W (0, T) 都是非奇異的,c,2。若W (0, T) 非奇異，則可以構(gòu)造出將非零初始狀態(tài)轉(zhuǎn),c,T,移到零狀態(tài)的控制律 = T A t 1,u(t) B e W (0, T)x,c,0,3。若系統(tǒng)能控

9、，由（1），可在任意短時(shí)間內(nèi)將非零狀,態(tài)轉(zhuǎn)移到零狀態(tài),T,T,At,T A t,W (0, T) = e BB e dt,能控格拉姆矩陣,c,0, c,1,隨著T 的減小，W (0, T) 減小，,增加,W (0, T),c,T,= T A t,1 c,u(t) B e W (0, T)x,0,將隨著T 的減小而增大，消耗更大能量！ 控制律是一個(gè)開環(huán)控制信號。,3.1.3 關(guān)于能控性的一些性質(zhì),能控性判據(jù)基于狀態(tài)方程的系數(shù)矩陣。,問題：不同的狀態(tài)空間模型表示是否有相同的能控性？ 定理3.1.3 等價(jià)的狀態(tài)空間模型具有相同的能控性。,&,=,1,=,x = Ax + Bu,A TAT , B T

10、B,y = Cx + Du,C = CT D = D,1, A B = B AB L An1B, , ,c,= TB TAT 1TB L TAT 1 n1TB ,(,), = T B AB L An1B,= T A, B,c,T是非奇異矩陣 A, B 和 A, B 具有相同的秩。,c,c,問題：任意一個(gè)能控系統(tǒng)模型是否可以等價(jià)轉(zhuǎn)化為能 控標(biāo)準(zhǔn)型呢？,定理 單輸入能控系統(tǒng)的任意狀態(tài)空間模型都能等價(jià)變 換成能控標(biāo)準(zhǔn)型,證明 系統(tǒng)的狀態(tài)方程 x& = Ax + Bu,系統(tǒng)能控,W =B AB,An 1B是可逆的,L,要求尋找一個(gè)狀態(tài)變換 =,x Tx,&,= +,使得變換后的方程 x Ax Bu, 0,1 0 M,0,0 ,0,L, ,0,1 L 0,0, ,= ,A = TAT,1 = ,M,M O M , B = TB,M, , ,0,0,0 L 1,0, , , ,a a a L a,1, n1, ,0,1,2,是能控的，故其能控性檢驗(yàn)矩陣,(A, B),W = B AB L An1B,也是可逆矩陣。, A, B = T A, B,TW =W,c,c,因此，要尋找的變換矩陣 T =WW 1,算法：,Step 1：確定系數(shù) det(,),a,a a I A = n + n 1 +L+ +,n1,1,0,Step 2：構(gòu)造矩陣