全國高等學(xué)校民族預(yù)科教材 數(shù)學(xué) 第四章1-3

1、第四章 基本初等函數(shù) 函數(shù)是描述客觀世界中變量間的依賴關(guān)系的工具，是高等數(shù)學(xué)的研究對象，是現(xiàn)代科學(xué)技術(shù)中不可缺少的內(nèi)容，本章簡要介紹基本初等函數(shù)的概念、性質(zhì)和圖形。,第一節(jié) 函數(shù)的概念,常量與變量,注意 一個量究竟是常量還是變量,不是絕對的,要根據(jù)具體過程和條件來確定.,而在過程中可取不同數(shù)值的量稱為變量.,在某過程中始終保持同一數(shù)值的量稱為常量,一、函數(shù)的概念,是自變量的所有允許值的集合，稱為函數(shù)的定義域而因變量的所有對應(yīng)值的集合則稱為函數(shù)的值域.,定義1-1 設(shè)和是同一變化過程中的兩個變量，如果對于變量 的每一允許的取值，按照一定的規(guī)律，變量 總有一個確定值與之對應(yīng)，則稱變量 是變量 的函

2、數(shù)變量 稱為自變量，變量 稱為因變量.記為,注意1 在實際問題中,定義域是由實際問題決定的.,注意2 函數(shù)的兩要素為：定義域與對應(yīng)規(guī)律 因此,兩個函數(shù)只有當(dāng)它們的對應(yīng)規(guī)律和定義域都完全 相同時,才認(rèn)為是兩個相同的函數(shù).,例1 例2,例3 例4,在不同的區(qū)間上用不同的解析式子表示的函數(shù)，稱為分段函數(shù),例5,分段函數(shù),例6 設(shè),求 f(-2), f(-0.5), f(0), f(1.2) 解：f(-2)=(-2)2=4 f(-0.5)= -(-0.5)=0.5 f(0)=0 f(1.2)=1.22=1.44,定義為：當(dāng) 時， ，,例7 設(shè),當(dāng) 時， 則,1. 單調(diào)性,增函數(shù),減函數(shù),設(shè) 、 是函數(shù)

3、 在定義區(qū)間 內(nèi)的任意兩點(diǎn), 且. 若, 則稱在內(nèi)是單調(diào)遞增的;若,則稱在 內(nèi)是單調(diào)遞減的.,二、函數(shù)的幾種特性,例 證：,2. 奇偶性,偶函數(shù),奇函數(shù),如果對于函數(shù) 定義域內(nèi)的任意點(diǎn) , 恒有,則稱 是偶函數(shù);如果對于函數(shù),定義域內(nèi)的任意點(diǎn) ,恒有,則稱,是奇函數(shù).,例 證：因為 即,3. 有界性,例,4. 函數(shù)的周期性,對于函數(shù) , 如果存在正的非零常數(shù) T, 使得定義域D內(nèi)任一x，恒有 且 則稱 為周期函數(shù), 滿足這個等式的最小正數(shù) T , 稱為函數(shù)的周期.,例如 都是周期函數(shù), 周 期為 .,三、反函數(shù)定義 一般地，函數(shù) y = (x) (xA) 中，設(shè)它的值域為 C我們根據(jù)這個函數(shù)中

4、 x ， y 的關(guān)系，用 y 把 x 表示出來，得到 x = (y)如果對于 y 在 C 中的任何一個值，通過 x = (y) ，在 A 中都有唯一的值和它對應(yīng)，那么，x = (y) 就表示 y 是自變量，x 是自變量 y 的函數(shù)這樣的函數(shù) x = (y) (yC) 叫做函數(shù) y = (x) (xA) 的反函數(shù)，記作 X = -1(y) (yC) 反函數(shù)存在條件：在區(qū)間I上單調(diào)的函數(shù)才有反函數(shù)。,求反函數(shù)的步驟,y = f(x) (xA),x=,(yC),反解,x= (yC),對調(diào),y= (xC),例. 求函數(shù)y=3x-2的反函數(shù)，并畫出原函數(shù)和反函數(shù) 的圖象.,解 y=3x-2,x=,函數(shù)y

5、=3x-2(xR）的反函數(shù)為,原函數(shù)與反函數(shù)的關(guān)系： 1、原函數(shù)和其反函數(shù)的圖象關(guān)于直線y=x對 稱， 2、互為反函數(shù)在各自的定義域內(nèi)單調(diào)性一致。,第二節(jié) 冪函數(shù)、指數(shù)函數(shù)、對數(shù)函數(shù),一、冪函數(shù) 一般地，函數(shù) 叫做冪函數(shù)，其中x是自變 量，a是常數(shù). 注意:冪函數(shù)中a的可以為任意實數(shù).,x,y,在同一平面直角坐標(biāo)系內(nèi)作出冪函數(shù),的圖象.,O,奇,偶,奇,非奇非偶,奇,(1,1),R,R,R,x|x0,0,+）,R,R,y|y0,0,+）,0,+）,在R上增,在（-，0)上減，,在R上增,在0，+）上增，,在（-，0上減,在0，+）上增，,在(0，+)上減,x,y,O,冪函數(shù) 的性質(zhì),(1)所有

6、的冪函數(shù)在(0,) 都有定義，并且圖象都通過點(diǎn)(1,1),(2) 如果a0，則冪函數(shù) 圖象過原點(diǎn)，并且在區(qū)間 0,)上是增函數(shù)；,(3) 如果a0，則冪函數(shù)圖象在區(qū)間(0,)上是減 函數(shù)， 在第一象限內(nèi)， 當(dāng)x從右邊趨向于原點(diǎn)時，圖象在y軸右方無限地逼近 y軸， 當(dāng)x趨向于時，圖象在x軸上方無限地逼近x軸； (4) 當(dāng)a為奇數(shù)時，冪函數(shù)為奇函數(shù)； 當(dāng)a為偶數(shù)時，冪函數(shù)為偶函數(shù),二、指數(shù)函數(shù) 一般地，函數(shù) 叫做指數(shù)函數(shù)， 其中x是自變量，a為常數(shù)，函數(shù)的定義域是R.值域 y0. 例1 解：,指數(shù)函數(shù)的圖象和性質(zhì),三、對數(shù)函數(shù) 一般地, 函數(shù) 叫做對數(shù)函 數(shù)。定義域為（0，+） 指數(shù)函數(shù)與對數(shù)函數(shù)

7、互為反函數(shù)。,對數(shù)函數(shù)的性質(zhì),（0，+）,過點(diǎn)（1，0），即當(dāng)x=1時，y=0,在(0,+)上是增函數(shù),在(0,+)上是減函數(shù),例4 解,A,B,頂點(diǎn),始邊,終邊,正角：按逆時針方向旋轉(zhuǎn)形成的角,負(fù)角：按順時針方向旋轉(zhuǎn)形成的角,零角：射線不作旋轉(zhuǎn)時形成的角,第三節(jié) 三角函數(shù),1.任意角 的概念,正角：射線按逆時針方向旋轉(zhuǎn)形成的角,負(fù)角：射線按順時針方向旋轉(zhuǎn)形成的角,零角：射線不作旋轉(zhuǎn)形成的角,1)置角的頂點(diǎn)于原點(diǎn),2)始邊重合于X軸的非負(fù)半軸,2.象限角,終邊落在第幾象限就是第幾象限角,3 . 終邊與 角相同的角,K3600，KZ,角度制與弧度制的換算： 測量角的大小通常用角度制和弧度制， 它們的關(guān)系是：,360=2rad , 180= rad,任意角三角函數(shù)的定義：,如圖:設(shè) 是一個任意角,它的終邊與單位圓交于點(diǎn)P(x,y)，那么：,同角三角函數(shù)的關(guān)系：,有向線段：像MP,OM這種被看作帶