高等數(shù)學(xué)上冊(cè)教案

1、高等數(shù)學(xué)教案一、課程的性質(zhì)與任務(wù)高等數(shù)學(xué)是計(jì)算機(jī)科學(xué)與技術(shù)；信息管理與信息系統(tǒng)兩個(gè)專業(yè)的一門重要的基礎(chǔ)理論課，通過本課程的學(xué)習(xí)，也是該專業(yè)的核心課程。要使學(xué)生獲得“向量代數(shù)”與“空間解析幾何”，“微積分”，“常微分方程與無窮級(jí)數(shù)”等方面的基本概論、基本理論與基本運(yùn)算；同時(shí)要通過各個(gè)教學(xué)環(huán)節(jié)逐步培訓(xùn)學(xué)生的抽象概括能力、邏輯推理能力、空間想象能力和自學(xué)能力。在傳授知識(shí)的同時(shí)，要著眼于提高學(xué)生的數(shù)學(xué)素質(zhì)，培養(yǎng)學(xué)生用數(shù)學(xué)的方法去解決實(shí)際問題的意識(shí)、興趣和能力。第一章：函數(shù)與極限教學(xué)目的與要求 18學(xué)時(shí) 1.解函數(shù)的概念，掌握函數(shù)的表示方法，并會(huì)建立簡(jiǎn)單應(yīng)用問題中的函數(shù)關(guān)系式。2.解函數(shù)的奇偶性、單調(diào)性

2、、周期性和有界性。3.理解復(fù)合函數(shù)及分段函數(shù)的概念，了解反函數(shù)及隱函數(shù)的概念。4.掌握基本初等函數(shù)的性質(zhì)及其圖形。5.理解極限的概念，理解函數(shù)左極限與右極限的概念，以及極限存在與左、右極限之間的關(guān)系。6.掌握極限的性質(zhì)及四則運(yùn)算法則。7.了解極限存在的兩個(gè)準(zhǔn)則，并會(huì)利用它們求極限，掌握利用兩個(gè)重要極限求極限的方法。8.理解無窮小、無窮大的概念，掌握無窮小的比較方法，會(huì)用等價(jià)無窮小求極限。9.理解函數(shù)連續(xù)性的概念（含左連續(xù)與右連續(xù)），會(huì)判別函數(shù)間斷點(diǎn)的類型。10.了解連續(xù)函數(shù)的性質(zhì)和初等函數(shù)的連續(xù)性，了解閉區(qū)間上連續(xù)函數(shù)的性質(zhì)（有界性、最大值和最小值定理、介值定理），并會(huì)應(yīng)用這些性質(zhì)。第一節(jié)：映

3、射與函數(shù)一、集合1、 集合概念具有某種特定性質(zhì)的事物的總體叫做集合。組成這個(gè)集合的事物稱為該集合的元素表示方法：用A，B，C，D表示集合；用a，b，c，d表示集合中的元素1)2)元素與集合的關(guān)系： 一個(gè)集合，若它只含有有限個(gè)元素，則稱為有限集；不是有限集的集合稱為無限集。常見的數(shù)集：N，Z，Q，R，N+元素與集合的關(guān)系： A、B是兩個(gè)集合，如果集合A的元素都是集合B的元素，則稱A是B的子集，記作。如果集合A與集合B互為子集，則稱A與B相等，記作若作且則稱A是B的真子集?？占?2、 集合的運(yùn)算并集 ：交集 ： 差集 ：全集I 、E 補(bǔ)集： 集合的并、交、余運(yùn)算滿足下列法則：交換律、 結(jié)合律、

4、分配律 對(duì)偶律 ( 笛卡兒積AB3、 區(qū)間和鄰域開區(qū)間 閉區(qū)間 半開半閉區(qū)間 有限、無限區(qū)間鄰域： a 鄰域的中心 鄰域的半徑 去心鄰域 左、右鄰域二、映射1. 映射概念定義 設(shè)X，Y是兩個(gè)非空集合，如果存在一個(gè)法則，使得對(duì)X中的每一個(gè)元素，按法則，在Y中有唯一確定的元素與之對(duì)應(yīng)，則稱為從X到Y(jié)的映射，記作 其中 稱為元素的像，并記作，即 注意：1）集合X；集合Y；對(duì)應(yīng)法則 2）每個(gè)X有唯一的像；每個(gè)Y的原像不唯一 3) 單射、滿射、雙射2、 映射、復(fù)合映射三、函數(shù)1、 函數(shù)的概念：定義：設(shè)數(shù)集，則稱映射為定義在D上的函數(shù) 記為 自變量、因變量、定義域、值域、函數(shù)值用、 函數(shù)相等：定義域、對(duì)應(yīng)

5、法則相等 自然定義函數(shù)；單值函數(shù)；多值函數(shù)、單值分枝. 例：) 2) 3) 符號(hào)函數(shù)4) 取整函數(shù) （階梯曲線）5) 分段函數(shù) 2、 函數(shù)的幾種特性1） 函數(shù)的有界性 (上界、下界；有界、無界)有界的充要條件：既有上界又有下界。注：不同函數(shù)、不同定義域，有界性變化。 2) 函數(shù)的單調(diào)性 （單增、單減）在x1、x2點(diǎn)比較函數(shù)值 與的大小（注：與區(qū)間有關(guān)）3) 函數(shù)的奇偶性(定義域?qū)ΨQ、與關(guān)系決定) 圖形特點(diǎn) (關(guān)于原點(diǎn)、Y軸對(duì)稱) 4)函數(shù)的周期性(定義域中成立：)3、 反函數(shù)與復(fù)合函數(shù) 反函數(shù)：函數(shù)是單射，則有逆映射，稱此映射為函數(shù)的反函數(shù)函數(shù)與反函數(shù)的圖像關(guān)于對(duì)稱 復(fù)合函數(shù)：函數(shù)定義域?yàn)镈1

6、，函數(shù)在D上有定義、且。則為復(fù)合函數(shù)。(注意：構(gòu)成條件)4、 函數(shù)的運(yùn)算 和、差、積、商(注：只有定義域相同的函數(shù)才能運(yùn)算)5、 初等函數(shù)：1) 冪函數(shù)： 2)指數(shù)函數(shù)： 3) 對(duì)數(shù)函數(shù) 4)三角函數(shù) 5) 反三角函數(shù)， 以上五種函數(shù)為基本初等函數(shù) 6) 雙曲函數(shù) 注：雙曲函數(shù)的單調(diào)性、奇偶性。雙曲函數(shù)公式反雙曲函數(shù)：作業(yè)： 同步練習(xí)冊(cè)練習(xí)一第二節(jié)：數(shù)列的極限一、數(shù)列 數(shù)列就是由數(shù)組成的序列。 1）這個(gè)序列中的每個(gè)數(shù)都編了號(hào)。2）序列中有無限多個(gè)成員。一般寫成：縮寫為例 1 數(shù)列是這樣一個(gè)數(shù)列，其中 ，也可寫為：可發(fā)現(xiàn)：這個(gè)數(shù)列有個(gè)趨勢(shì)，數(shù)值越來越小，無限接近0，記為1、 極限的定義：則稱數(shù)列

7、的極限為，記成 也可等價(jià)表述：1） 2）極限是數(shù)列中數(shù)的變化總趨勢(shì)，因此與數(shù)列中某個(gè)、前幾個(gè)的值沒有關(guān)系。二、收斂數(shù)列的性質(zhì)定理1：如果數(shù)列收斂，那么它的極限是唯一定理2 如果數(shù)列收斂，那么數(shù)列一定有界定理3：如果且a0(a0，當(dāng)nN時(shí)，定理4、如果數(shù)列收斂于a那么它的任一子 數(shù)列也收斂,且收斂于a。第三節(jié)：函數(shù)的極限 一、極限的定義1、在點(diǎn)的極限1）可在函數(shù)的定義域內(nèi)，也可不在，不涉及在有沒有定義，以及函數(shù)值的大小。只要滿足：存在某個(gè)使：。2）如果自變量趨于時(shí)，相應(yīng)的函數(shù)值 有一個(gè)總趨勢(shì)-以某個(gè)實(shí)數(shù)為極限 ，則記為 ：。形式定義為： 注：左、右極限。單側(cè)極限、極限的關(guān)系2、的極限 設(shè)：如果當(dāng)

8、時(shí)函數(shù)值 有一個(gè)總趨勢(shì)-該曲線有一條水平漸近線-則稱函數(shù)在無限遠(yuǎn)點(diǎn)有極限。記為： 在無窮遠(yuǎn)點(diǎn)的左右極限： 關(guān)系為：二、函數(shù)極限的性質(zhì)1、 極限的唯一性2、 函數(shù)極限的局部有界性3、 函數(shù)極限的局部保號(hào)性4、 函數(shù)極限與數(shù)列極限的關(guān)系第四節(jié)：無窮小與無窮大一、無窮小定義定義：對(duì)一個(gè)數(shù)列，如果成立如下的命題： 則稱它為無窮小量，即注： 1、的意義；2、可寫成； 3、上述命題可翻譯成：對(duì)于任意小的正數(shù)，存在一個(gè)號(hào)碼N，使在這個(gè)號(hào)碼以后的所有的號(hào)碼，相應(yīng)的與極限0的距離比這個(gè)給定的還小。它是我們?cè)谥庇^上對(duì)于一個(gè)數(shù)列趨于0的認(rèn)識(shí)。定理1 在自變量的同一變化過程（或中，函數(shù)具有極限A的充分必要條件是，其中

9、是無窮小。二、無窮大定義 一個(gè)數(shù)列，如果成立：那么稱它為無窮大量。記成：。 特別地，如果，則稱為正無窮大，記成特別地，如果，則稱為負(fù)無窮大，記成注：無法區(qū)分正負(fù)無窮大時(shí)就籠統(tǒng)地稱之為無窮大量。三、無窮小和無窮大的關(guān)系定理2 在自變量的同一變化過程中，如果為無窮大，則為無窮小；反之，如果為無窮小，且則為無窮大即：非零的無窮小量與無窮大量是倒數(shù)關(guān)系：當(dāng)時(shí)：有 注意是在自變量的同一個(gè)變化過程中第五節(jié)：極限運(yùn)算法則1、無窮小的性質(zhì)設(shè)和是無窮小量于是：（1）兩個(gè)無窮小量的和差也是無窮小量： （2）對(duì)于任意常數(shù)C，數(shù)列也是無窮小量： （3）也是無窮小量，兩個(gè)無窮小量的積是一個(gè)無窮小量。 （4）也是無窮小量

10、： （5）無窮小與有界函數(shù)的積為無窮小。2、函數(shù)極限的四則運(yùn)算1、 若函數(shù)和在點(diǎn)有極限，則2、 函數(shù)在點(diǎn)有極限，則對(duì)任何常數(shù)成立 3、若函數(shù)和在點(diǎn)有極限，則 3、 若函數(shù)和在點(diǎn)有極限，并且，則 極限的四則運(yùn)算成立的條件是若函數(shù)和在點(diǎn)有極限例：求下述極限 4、 復(fù)合函數(shù)的極限運(yùn)算法則定理6 設(shè)函數(shù)是由函數(shù)與復(fù)合而成，在點(diǎn)的 某去心鄰域內(nèi)有定義，若，且存在，當(dāng)時(shí)，有，則第六節(jié)：極限存在準(zhǔn)則 兩個(gè)重要極限 定理1 夾逼定理 ：三數(shù)列、和，如果從某個(gè)號(hào)碼起成立：1），并且已知和收斂， 2），則有結(jié)論： 定理2 單調(diào)有界數(shù)列一定收斂。 單調(diào)增加有上界的數(shù)列一定收斂；單調(diào)減少有下界的數(shù)列一定收斂。例：證明

11、：例： 證明：有界。求 的極限 第七節(jié)：無窮小的比較定義：若為無窮小且 高階、低階、同階、k階、等價(jià) 1、 若為等價(jià)無窮小則 2、 若 、且存在，則： 例： 第八節(jié)：函數(shù)的連續(xù)性與間斷點(diǎn)一、 函數(shù)在一點(diǎn)的連續(xù)性函數(shù)在點(diǎn)連續(xù)，當(dāng)且僅當(dāng)該點(diǎn)的函數(shù)值 、左極限與右極限三者相等： 或者：當(dāng)且僅當(dāng)函數(shù)在點(diǎn)有極限且此極限等于該點(diǎn)的函數(shù)值 。 其形式定義如下：函數(shù)在區(qū)間（a,b）連續(xù)指：區(qū)間中每一點(diǎn)都連續(xù)。函數(shù)在區(qū)間a,b連續(xù)時(shí)注意端點(diǎn)。注：左右連續(xù)，在區(qū)間上連續(xù)(注意端點(diǎn)) 連續(xù)函數(shù)的圖像是一條連續(xù)且不間斷的曲線 二、間斷點(diǎn) 若：中有某一個(gè)等式不成立，就間斷，分為：1、 第一類間斷點(diǎn)：可去型：但跳躍型：即

12、函數(shù)在點(diǎn)的左右極限皆存在但不相等，曲線段上出現(xiàn)一個(gè)跳躍。2 、第二類間斷點(diǎn)：左極限與右極限兩者之中至少有一個(gè)不存在（無窮型間斷點(diǎn)和振蕩型間斷點(diǎn)） 例：見教材第九節(jié)：連續(xù)函數(shù)的運(yùn)算與初等函數(shù)的連續(xù)性一、 連續(xù)函數(shù)的四則運(yùn)算1.且，2且，3. 且， 反函數(shù)連續(xù)定理：如果函數(shù)是嚴(yán)格單調(diào)增加（減少）并且連續(xù)的，則存在它的反函數(shù)：并且也是嚴(yán)格單調(diào)增加（減少）并且連續(xù)的。注： 1）反函數(shù)的定義域就是原來的值域。2）通常慣用X表示自變量，Y表示因變量。反函數(shù)也可表成 復(fù)合函數(shù)的連續(xù)性定理： 設(shè)函數(shù)和滿足復(fù)合條件，若函數(shù)在點(diǎn)x0連續(xù)；，又若函數(shù)在點(diǎn)連續(xù)，則復(fù)合函數(shù)在點(diǎn)連續(xù)。 注：復(fù)合函數(shù)的連續(xù)性可以保證極限號(hào)

13、與函數(shù)符號(hào)的交換：從這些基本初等函數(shù)出,通過若干次四則運(yùn)算以及復(fù)合，得到的種種函數(shù)統(tǒng)稱為初等函數(shù)，并且：初等函數(shù)在其定義區(qū)間內(nèi)連續(xù)。第十節(jié)：閉區(qū)間上連續(xù)函數(shù)的性質(zhì) 一、 最大、最小值設(shè)函數(shù)：在上有界，現(xiàn)在問在值域中是否有一個(gè)最大的實(shí)數(shù)？如果存在，譬如說它是某個(gè)點(diǎn)的函數(shù)值 ，則記叫做函數(shù)在D上的最大值。 類似地，如果 中有一個(gè)最小實(shí)數(shù)，譬如說它是某個(gè)點(diǎn)的函數(shù)值，則記稱為函數(shù)在上的最小值 。二、有界性有界性定理：如果函數(shù)在閉區(qū)間上連續(xù)，則它在上有界。三、零點(diǎn)、介值定理最大值和最小值定理：如果函數(shù) 在閉區(qū)間上連續(xù)則它在上有最大值和最小值，也就是說存在兩個(gè)點(diǎn)和，使得亦即 若x0使，則稱x0為函數(shù)的零點(diǎn)

14、 零點(diǎn)定理：如果函數(shù)在閉區(qū)間上連續(xù)，且在區(qū)間的兩個(gè)端點(diǎn)異號(hào)：則至少有一個(gè)零點(diǎn)，使中值定理：如果函數(shù)在閉區(qū)間上連續(xù)，則在上能取到它的最大值 和最小 值 之間的任何一個(gè)中間值。 作業(yè)：見課后各章節(jié)練習(xí)。第二章 導(dǎo)數(shù)與微分教學(xué)目的與要求 22學(xué)時(shí) 1、 理解導(dǎo)數(shù)和微分的概念與微分的關(guān)系和導(dǎo)數(shù)的幾何意義，會(huì)求平面曲線的切線方程和法線方程，了解導(dǎo)數(shù)的物理意義，會(huì)用導(dǎo)數(shù)描述一些物理量，理解函數(shù)的可導(dǎo)性與連續(xù)性之間的的關(guān)系。2、 熟練掌握導(dǎo)數(shù)的四則運(yùn)算法則和復(fù)合函數(shù)的求導(dǎo)法則，熟練掌握基本初等函數(shù)的導(dǎo)數(shù)公式，了解微分的四則運(yùn)算法則和一階微分形式的不變性，會(huì)求函數(shù)的微分。3、 了解高階導(dǎo)數(shù)的概念，會(huì)求某些簡(jiǎn)單

15、函數(shù)的n階導(dǎo)數(shù)。4、 會(huì)求分段函數(shù)的導(dǎo)數(shù)。5、 會(huì)求隱函數(shù)和由參數(shù)方程確定的函數(shù)的一階、二階導(dǎo)數(shù)，會(huì)求反函數(shù)的導(dǎo)數(shù)。一、導(dǎo)數(shù)概念（）1、定義 左導(dǎo)數(shù)右導(dǎo)數(shù) 可以證明：可導(dǎo)連續(xù)。即可導(dǎo)是連續(xù)的充分條件。 連續(xù)是可導(dǎo)的必要條件。 左右導(dǎo)數(shù)(注：與左右極限關(guān)系)2、導(dǎo)數(shù)的幾何意義曲線在點(diǎn)處切線： 例1：討論在x=0處可導(dǎo)性解： 在x = 0連續(xù)不存在在x = 0不可導(dǎo)例2：已知存在則= 例3：設(shè)函數(shù)可微， 則例4： 設(shè) 為使在x = x0 處可導(dǎo)，應(yīng)如何選取常數(shù)a、b解：首先必須在x0連續(xù) （由得）存在 從而例5： = x (x-1)(x-2)(x-9) , 則 例6：設(shè)在x = 0 領(lǐng)域內(nèi)連續(xù)，

16、則 （分母0） 例7：設(shè)函數(shù) f (1+x) = a f ( x ) ， 且 (a , b 0)， 問 存在否?解： 二、導(dǎo)數(shù)的求法 1、顯函數(shù)導(dǎo)數(shù)求一個(gè)顯函數(shù)的導(dǎo)數(shù)需解決： 基本初等函數(shù)導(dǎo)數(shù)(P64); 導(dǎo)數(shù)四則運(yùn)算法則(P65); 復(fù)合函數(shù)與反函數(shù)求導(dǎo)法則(P66)。定理：在X有導(dǎo)數(shù)，在對(duì)應(yīng)點(diǎn)u有導(dǎo)數(shù)，則復(fù)合函數(shù)在X處也有導(dǎo)數(shù)，。例1：求解： 例2：求解： 例3：求解： 例4：求解： 例5：求解： 例6：求解： 例7：求解： 例8： 求解： 例9：求解： 高階導(dǎo)數(shù)、二階： 例10：， 求解： 先講微分（后頁(yè)）2、 隱函數(shù)導(dǎo)數(shù)參數(shù)方程導(dǎo)數(shù) 如方程F(x，y)=0確定了y=y(x)，只需方程兩

17、邊對(duì)x求導(dǎo)，注意y=y(x)例10：求下列隱函數(shù)的導(dǎo)數(shù)（1）設(shè)求解： 方程兩邊對(duì)x求導(dǎo)， （2）設(shè)是由方程所確定的隱函數(shù)， 求解： 由原方程知當(dāng)x=0時(shí)， 方程兩邊對(duì)x求導(dǎo)。 ，將x=0，代入得：(3) 是由方程所確定的隱函數(shù), 試求,。解: 方程兩邊對(duì)x求導(dǎo)： 方程兩邊再對(duì)x求導(dǎo)： 由原方程知，當(dāng)時(shí)，代入得再將，代入式，得 (4) 設(shè)求解： (5) 設(shè)是由方程組所確定的函數(shù)，求：。解： 3、 分段函數(shù)的導(dǎo)數(shù)1) 設(shè)求：解：當(dāng) 不存在，故 高階導(dǎo)數(shù)（n階）略， 例 2) 設(shè)在（）上具有二階連續(xù)導(dǎo)數(shù)，且，對(duì)函數(shù) (1) 確定的值，使在（）上連續(xù)(2) 對(duì)（1）中確定的，證明在（）上 一階導(dǎo)數(shù)連續(xù)

18、解： 即當(dāng) 在連續(xù)， 也就是在（）連續(xù) 而在連續(xù),即在連續(xù)三、 微分 一階微分形式不變 （自變量） 如 (中間變量)例： ， ， 可導(dǎo) 可微第三章微分中值定理導(dǎo)數(shù)的應(yīng)用教學(xué)目的與要求1掌握并會(huì)應(yīng)用羅爾定理、拉格朗日中值定理，了解柯西中值定理和泰勒中值定理。2理解函數(shù)的極值概念，掌握用導(dǎo)數(shù)判斷函數(shù)的單調(diào)性和求函數(shù)極值的方法，掌握函數(shù)最大值和最小值的求法及其簡(jiǎn)單應(yīng)用。3 用二階導(dǎo)數(shù)判斷函數(shù)圖形的凹凸性，會(huì)求函數(shù)圖形的拐點(diǎn)以及水平、鉛直和斜漸近線，會(huì)描繪函數(shù)的圖形。4 握用洛必達(dá)法則求未定式極限的方法。5 道曲率和曲率半徑的概念，會(huì)計(jì)算曲率和曲率半徑。6 了解方程近似解的二分法及切線法。一、中值定理

19、，泰勒公式（放入泰勒級(jí)數(shù)中講）1 羅爾定理如滿足：（1）在連續(xù). （2）在可導(dǎo). （3） 則至少存在一點(diǎn) 使例 設(shè)，則 在區(qū)間（-1，0）內(nèi)，方程 有2個(gè)實(shí)根；在（-1，1）內(nèi)有2個(gè)根例 設(shè)在0，1可導(dǎo)，且， 證明存在，使。證： 設(shè)在a,b可導(dǎo)， 存在使 即例 設(shè)在0，1可導(dǎo)，且, 證明存在 。解: 設(shè)，且 由羅爾定理 存在 使 即， 亦即例 習(xí)題6 設(shè)（復(fù)合函數(shù)求導(dǎo)）2、 拉格朗日中值定理如滿足：在a,b連續(xù)；在（a,b）連續(xù)，則存在使。推論： 如果在區(qū)間I上，則 如果在區(qū)間I上， 在單增（減）例對(duì)任意滿足的x， 都有設(shè) 例 設(shè)，證明求導(dǎo)證明作業(yè)：見各章節(jié)課后習(xí)題。二、洛必達(dá)法則未定形：如下

20、的函數(shù)極限都是未定形。 1、型： 如：型：2、型： 如：3、型： 如：4、型：如：5、 型： 如：6、 型： 如：7、 型： 如：它們的計(jì)算不能用函數(shù)極限的四則運(yùn)算法則，且它們只表示類型，沒有具體意義。 1、 （）型的洛必達(dá)法則(同理)定理：對(duì)函數(shù)和，如果：（1）, （2）在某個(gè)鄰域內(nèi)（后）有導(dǎo)數(shù)和，且；（3）存在（或無窮），則成立：=例：1) 2) 3) 例： 1) 2) 3) (0)3、其它類型1) 2) 3) 4) 解法同3） 例 ： 1) 2) 3) 4) 三、泰勒公式 一、多項(xiàng)式： 在點(diǎn)的各階導(dǎo)數(shù)： 得：二、泰勒中值定理：如果函數(shù)在含有的某個(gè)開區(qū)間有直到階的導(dǎo)數(shù)，則對(duì)任一有：1、（N

21、階泰勒公式）稱為余項(xiàng)。（1）（ 在與之間）拉格朗日型余項(xiàng)（2） 皮亞諾余項(xiàng)。2、當(dāng)?shù)名溈藙诹止剑喝⒊Ｒ姾瘮?shù)的泰勒展開1) 2) 3) 四、函數(shù)的性態(tài)1、極值1）定義：如在鄰域內(nèi)，恒有， ，則稱為函數(shù)的一個(gè)極大（?。┲??？赡軜O值點(diǎn)， 不存在的點(diǎn)與的點(diǎn)。（駐點(diǎn)）駐點(diǎn) 極值點(diǎn)2）判別方法、導(dǎo)數(shù)變號(hào)。 極小值極大值、，例1、 設(shè)滿足關(guān)系式，且, ，則在點(diǎn)處 A A、取得極大值 B、取得最小值 C、在某鄰域內(nèi)單增 D、在某鄰域內(nèi)單減例2已知函數(shù)對(duì)一切滿足 如，則 A A、 是的極小值B、是的極大值 C、是曲線的拐點(diǎn)D、不是的極值，也不是曲線 的拐點(diǎn)。例3 設(shè)函數(shù)在的某鄰域內(nèi)可導(dǎo)，則是的極 大 值。2

22、、函數(shù)的最大值與最小值（1）求出內(nèi)可能的極值點(diǎn)，不需判別極大還是極小，求出它們的函數(shù)值，再與端點(diǎn)的函數(shù)值進(jìn)行比較，其中最大的（?。樽畲螅ㄐ。┲怠＃?）在內(nèi)可能極值點(diǎn)唯一，如是極小值則為最小值；如是極大值則為最大值。 （3）如分別為最小, 最大值。（4）實(shí)際問題據(jù)題意可不判別。 例1、 在拋物線上的第一象限部分求一點(diǎn)P，過P點(diǎn)作切線，使該切線與坐標(biāo)軸所圍成的三角形面積最小。 解：設(shè)切點(diǎn)為，切線方程為即 三角形面積： ，令 （唯一） 故 為所求點(diǎn)3、曲線的凹凸、拐點(diǎn)及漸近線 在I上可導(dǎo) 如則曲線是凹（凸）的, 在連續(xù)曲線上凹凸部分的分界點(diǎn)稱為曲線的拐點(diǎn)。 可能的拐點(diǎn)和不存在的點(diǎn)例1、 設(shè)，試討論

23、的性態(tài)。x(-,-2)-2(-2,0)0(0,1)1(1,+ )y+0-間斷+0+y-0+y 單調(diào)增上凸極大值 單減上凸單增上凸拐點(diǎn)(1,0) 單增下凸?jié)u近線如 則稱為水平漸近線如 則稱為垂直漸近線漸近線可能沒有，或多條。例2、求漸近線（斜漸近線不討論）解： 為水平漸近線 垂直漸近線例2、 曲線的漸近線有 4 條4證明不等式（1）利用中值定理（R，L）；（2）利用函數(shù)單調(diào)性；（3）利用最值；（4）引入輔助函數(shù)把常值不等式變成函數(shù)不等式；（5）利用函數(shù)凹凸性；（6）利用泰勒公式。例1、 當(dāng)，試即證：證： 設(shè)，在連續(xù)，可導(dǎo)，由拉格朗日中值定理 即 例2、設(shè)，證明證： 設(shè)單增，當(dāng) 設(shè) 單增，當(dāng) 例3

24、、當(dāng)證明 證： 令 令得 駐點(diǎn)唯一， 極小 為最小值即 例4、 當(dāng) 證明 證: 設(shè) 令 , 駐點(diǎn)唯一 當(dāng) , 在上最大值為 ,最小值為 例5、 設(shè)，證明證明：即 證 設(shè) ， 時(shí) 單減 當(dāng) 即 例6、 設(shè)在上可導(dǎo)，且單調(diào)減，證明： ，。 證： 令 單調(diào)減 ， ， ，即單調(diào)減 ， 即 作業(yè)：見課后習(xí)題第四章不定積分教學(xué)目的與要求 1理解原函數(shù)概念、不定積分和定積分的概念。2 掌握不定積分的基本公式，掌握不定積分和定積分的性質(zhì)及定積分中值定理，掌握換元積分法與分部積分法。3 求有理函數(shù)、三角函數(shù)有理式和簡(jiǎn)單無理函數(shù)的積分。一、一元函數(shù)積分的概念、性質(zhì)與基本定理 1、原函數(shù)、不定積分 在區(qū)間上，如，稱

25、為的導(dǎo)函數(shù)，稱為的原函數(shù)，原函數(shù)與導(dǎo)函數(shù)是一種互逆關(guān)系。 如為的一個(gè)原函數(shù)，則為的全體原函數(shù)。記為，即=不定積積分性質(zhì)(1) 或(2) (3) (4) 原函數(shù)與導(dǎo)函數(shù)有互逆關(guān)系,由導(dǎo)數(shù)表可得積分表。例、已知是的一個(gè)原函數(shù)， 求：解： 例、的導(dǎo)函數(shù)是 ，則的原函數(shù)，(、為任意常數(shù))例、在下列等式中，正確的結(jié)果是 C A、 B、C、 D、例、 2、計(jì)算方法10 換元法第一類換元法（湊微分法）常用湊微分形式 例：1、2、 3、4、5、6、7、8、 9、10、 11、12、 13、 14、 15、 16、 17、 18、 19、 解： 20、解： 21、 22、設(shè)，則二第二換元法定理2 除了湊微分法外

26、其它常用變量代換(1)被積函數(shù)中含有二次根式，令，令，令如是配方1例1、令xt 解：原式 例2、二種解法 （2）被積函數(shù)中含一般根式例3、解：令原式 例4、令原式例5、解：令 原式 20分部積分如、均具有連續(xù)的導(dǎo)函數(shù)，則例1、 例2、 例3、例4、 例5、 例6、 例7、 例8、 例9、 例10、 例11、 30有理函數(shù)的積分 有理函數(shù)的積分方法：真分式部分分式 部分分式： 其中：確定常數(shù)的值；再積分。例： 1) 2) 3) 4) 5)解： 令 令 6) 40 三角有理式積分令 7、 8、 9、設(shè)的原函數(shù)恒正，且，當(dāng)，有，求解： 由得C=1 例：1) 2) 3) 4) 5) 作業(yè)：見課后習(xí)題第

27、五章 定積分的概念教學(xué)目的與要求：1 解變上限定積分定義的函數(shù)，及其求導(dǎo)數(shù)定理，掌握牛頓萊布尼茨公式。2 解廣義積分的概念并會(huì)計(jì)算廣義積分。3掌握用定積分表達(dá)和計(jì)算一些幾何量與物理量（平面圖形的面積、平面曲線的弧長(zhǎng)、旋轉(zhuǎn)體的體積及側(cè)面積、平行截面面積為已知的立體體積、變力做功、引力、壓力和函數(shù)的平均值等）。一、定義及性質(zhì)：， 注意(1)積分區(qū)間有限，被積函數(shù)有界； (2)與“分法”、“取法”無關(guān)； (3)定積分的值與積分變量的選取無關(guān)； (4)在有界是在可積的必要條件，在連續(xù)是在可積的充分條件。：在幾何上表示介于，之間各部分面積的代數(shù)和。補(bǔ)充規(guī)定 性質(zhì)（1）（9）（1-7省略）其中(8)為估計(jì)

28、定理：在，則 (9)中值定理：如在連續(xù)，使例1利用定積分幾何意義，求定積分值 上式表示介于, , , 之間面積例2、（估計(jì)積分值） 證明 證：在 上最大值為，最小值為2 二、基本定理 牛頓萊伯尼茲公式 10變上限積分基本定理：設(shè)在連續(xù)，為上任意一點(diǎn)，則是可導(dǎo)函數(shù)，且 即說明為的一個(gè)原函數(shù)。例3、已知, , , ， 求：解：例4、 例5、有極大值的點(diǎn)為 D A. B. C. D. 例6、如 ,則 B A. B. C. D.例7、 設(shè)在上連續(xù)，且,證明：若f(x)為偶函數(shù)，則F(x)也是偶函數(shù)。證： 20 定積分計(jì)算 牛頓萊伯尼茲公式設(shè)在連續(xù)。為在上的任意一個(gè)原函數(shù)，則有 定積分換元法與分部積分法

29、30 奇偶函數(shù)在對(duì)稱區(qū)間積分性質(zhì)，周期函數(shù)積分性質(zhì)(1) 在連續(xù)，當(dāng)為偶數(shù)，則當(dāng)為奇函數(shù)，則(2) ，以T為周期說明在任何長(zhǎng)度為T的區(qū)間上的積分值是相等的。例9、原式 例10、例11、 例12、設(shè)則 A、 B、 C、 D、 例13、法一 設(shè)法二設(shè)原式例14、設(shè)為連續(xù)函數(shù)，且 求解： 設(shè)則兩邊積分 例15、(、在連續(xù)，且 求、的表達(dá)式。答案： )例16、設(shè)，求解： 令 ()例17、設(shè)求解：例18、已知在上二階可導(dǎo)，且，及求解：原式例19、設(shè)在連續(xù)證明：證：右邊 =例20、設(shè)求解： 例21、設(shè)連續(xù)，且求，并討論在處連續(xù)性解：得 令 在連續(xù)即在連續(xù)例22、試證方程在內(nèi)有且僅有一實(shí)根證：設(shè)在連續(xù)且：由

30、介值定理，使F()=0即F(x)=0有根又 ，單增 根唯一例23、設(shè)在，連續(xù)試證：內(nèi)至少一點(diǎn)，使證：設(shè)則在可導(dǎo)中值 在上滿足羅爾定理?xiàng)l件至少存在一點(diǎn)，使即亦即 例24、 例25：設(shè)在連續(xù)，可導(dǎo)，且，證明在內(nèi)，有證： 在單調(diào)減，故作業(yè)：各章節(jié)課后習(xí)題。第六章 定積分應(yīng)用1平面圖形面積 ()直角坐標(biāo)： 例1：求拋物線及其點(diǎn)和處的切線所圍成圖形的面積解：在點(diǎn)處，切線方程 在點(diǎn)處，切線方程 得交點(diǎn) （ii）極坐標(biāo) 例2、求由曲線所圍圖形公共部分的面積解：兩曲線的交點(diǎn)+ 2旋轉(zhuǎn)體體積由所圍平面圖形繞軸旋轉(zhuǎn)一周所生成的立體體積，由所圍平面圖形繞旋轉(zhuǎn)一周所得旋轉(zhuǎn)體體積例3、過點(diǎn)作拋物線的切線，求該切線與拋物

31、線及軸所圍平面圖形繞軸旋轉(zhuǎn)而成的旋轉(zhuǎn)體體積解：設(shè)切點(diǎn)為切線方程Q 切點(diǎn)在切線上，（3,1）0 1 2 3 ， 切線方程：30平面曲線弧長(zhǎng)(1) 曲線： (2) (3) 例 求下類平面曲線的弧長(zhǎng)1. 曲線相應(yīng)于的一段2. 心形線的全長(zhǎng) 3. 擺線 的一拱解：1. 2. 3. 40向變力沿直線作功,液體的水壓力 作業(yè)見課后練習(xí)第七章 空間解析幾何教學(xué)目的與要求 14學(xué)時(shí) 1 解空間直角坐標(biāo)系，理解向量的概念及其表示。2 握向量的運(yùn)算（線性運(yùn)算、數(shù)量積、向量積、混合積），掌握兩個(gè)向量垂直和平行的條件。3 解單位向量、方向數(shù)與方向余弦、向量的坐標(biāo)表達(dá)式，熟練掌握用坐標(biāo)表達(dá)式進(jìn)行向量運(yùn)算的方法。4 掌握

32、平面方程和直線方程及其求法。5 會(huì)求平面與平面、平面與直線、直線與直線之間的夾角，并會(huì)利用平面、直線的相互關(guān)系（平行、垂直、相交等）解決有關(guān)問題。6 會(huì)求點(diǎn)到直線以及點(diǎn)到平面的距離。7 理解曲面方程的概念，了解常用二次曲面的方程及其圖形，會(huì)求以坐標(biāo)軸為旋轉(zhuǎn)軸的旋轉(zhuǎn)曲面及母線平行于坐標(biāo)軸的柱面方程。8 了解空間曲線的參數(shù)方程和一般方程，了解空間曲線在坐標(biāo)平面上的投影，并會(huì)求其方程10向量及其線性運(yùn)算向量：有大小、方向的量。向量相等：大小、方向單位向量、零向量向量的坐標(biāo)表達(dá)式及其運(yùn)算1) 向量的加法、減法滿足：交換律、結(jié)合律。平行四邊形、三角形法。2) 向量的數(shù)乘滿足：結(jié)合律、分配律3) 兩向量平

33、行的充要條件：4) 空間直角坐標(biāo)系(右手坐標(biāo)系)5) 利用坐標(biāo)作向量的線性運(yùn)算1) 向量的坐標(biāo)向量表示2) 對(duì)應(yīng)坐標(biāo)運(yùn)算。例：書上例題。6) 向量的模、方向角投影1）的模與兩點(diǎn)間的距離公式。 例4：1) 方向角與方向余弦 例： 例7、82) 向量在軸上的投影1) 2) 3) 20向量的數(shù)量積的向量積1）向量積 性質(zhì)：應(yīng)用：（i） （ii） （iii）例1、習(xí)題4，1選擇題（1）（2）（3） 2 填空題（3）（4）（5）例2、解： (2)向量積 右手定則即注意 應(yīng)用（i）（ii）（iii）如即利用向量積求出同時(shí)垂直兩個(gè)已知矢量的矢量。例3、習(xí)題4，5，2(4)例3、 設(shè)知量滿足，則解： 30平面及其方程已知平面p