高中數(shù)學(xué) 第二章 隨機(jī)變量及其分布 2.2 二項(xiàng)分布及其應(yīng)用 2.2.1 條件概率學(xué)案（含解析）新人教A版選修

1、22.1條件概率100件產(chǎn)品中有93件產(chǎn)品的長(zhǎng)度合格，90件產(chǎn)品的質(zhì)量合格，85件產(chǎn)品的長(zhǎng)度、質(zhì)量都合格令A(yù)產(chǎn)品的長(zhǎng)度合格，B產(chǎn)品的質(zhì)量合格，AB產(chǎn)品的長(zhǎng)度、質(zhì)量都合格問題1：試求P(A)，P(B)，P(AB)提示：P(A)，P(B)，P(AB).問題2：任取一件產(chǎn)品，已知其質(zhì)量合格(即B發(fā)生)，求它的長(zhǎng)度(即A發(fā)生)也合格(記為A|B)的概率提示：事件A|B發(fā)生，相當(dāng)于從90件質(zhì)量合格的產(chǎn)品中任取1件長(zhǎng)度合格，其概率為P(A|B).問題3：試探求P(B)，P(AB)，P(A|B)間的關(guān)系提示：P(A|B).1條件概率設(shè)A，B為兩個(gè)事件，且P(A)0，稱P(B|A)為在事件A發(fā)生的條件下，事件

2、B發(fā)生的條件概率P(B|A)讀作A發(fā)生的條件下B發(fā)生的概率2條件概率的性質(zhì)(1)條件概率具有概率的性質(zhì)，任何事件的條件概率都在0和1之間，即0P(B|A)1.(2)如果B和C是兩個(gè)互斥事件，則P(BC|A)P(B|A)P(C|A)1事件B在“事件A發(fā)生”這個(gè)附加條件下的概率與沒有這個(gè)附加條件的概率是不同的2由條件概率的定義知，P(B|A)與P(A|B)是不同的；另外 ，在事件A發(fā)生的前提下，事件B發(fā)生的可能性大小不一定是P(B)，即P(B|A)與P(B)不一定相等3P(B|A)可變形為P(AB)P(B|A)P(A)，即只要知道其中兩個(gè)值就可以求得第三個(gè)值4利用公式P(BC|A)P(B|A)P(

3、C|A)求解有些條件概率問題較為簡(jiǎn)捷，但應(yīng)注意這個(gè)性質(zhì)是在“B與C互斥”這一前提下才具備的，因此不要忽視這一條件而亂用這個(gè)公式利用條件概率公式求解5個(gè)乒乓球，其中3個(gè)新的，2個(gè)舊的，每次取一個(gè)，不放回地取兩次，求：(1)第一次取到新球的概率；(2)第二次取到新球的概率；(3)在第一次取到新球的條件下第二次取到新球的概率記第一次取到新球?yàn)槭录嗀，第二次取到新球?yàn)槭录﨎.(1)P(A).(2)P(B).(3)法一：因?yàn)镻(AB)，所以P(B|A).法二：因?yàn)閚(A)3412，n(AB)326，所以P(B|A).計(jì)算條件概率的兩種方法(1)在縮小后的樣本空間A中計(jì)算事件B發(fā)生的概率，即P(B|A)；

4、(2)在原樣本空間中，先計(jì)算P(AB)，P(A)，再按公式P(B|A)計(jì)算求得P(B|A)設(shè)某種動(dòng)物能活到20歲的概率為0.8，能活到25歲的概率為0.4，現(xiàn)有一只20歲的這種動(dòng)物，問：它能活到25歲的概率是多少？解：設(shè)事件A為“能活到20歲”，事件B為“能活到25歲”，則P(A)0.8，P(B)0.4，而所求概率為P(B|A)，由于BA，故ABB，于是P(B|A)0.5，所以一只20歲的這種動(dòng)物能活到25歲的概率是0.5.利用條件概率的性質(zhì)求概率在某次考試中，要從20道題中隨機(jī)地抽出6道題，若考生至少能答對(duì)其中的4道題即可通過；若至少能答對(duì)其中5道題就獲得優(yōu)秀已知某考生能答對(duì)20道題中的10

5、道題，并且知道他在這次考試中已經(jīng)通過，求他獲得優(yōu)秀的概率設(shè)事件A為“該考生6道題全答對(duì)”，事件B為“該考生答對(duì)了其中5道題，另一道題答錯(cuò)”，事件C為“該考生答對(duì)了其中4道題，而另2道題答錯(cuò)”，事件D為“該考生在這次考試中通過”，事件E為“該考生在考試中獲得優(yōu)秀”，則A，B，C兩兩互斥，且DABC，EAB，由古典概型計(jì)算概率的公式及概率的加法公式可知：P(D)P(ABC)P(A)P(B)P(C)，P(AD)P(A)，P(BD)P(B)，P(E|D)P(AB|D)P(A|D)P(B|D).故所求的概率為.若事件B，C互斥，則P(BC|A)P(B|A)P(C|A)，即為了求得比較復(fù)雜事件的概率，往往

6、可以先把它分解成兩個(gè)(或若干個(gè))互斥的較簡(jiǎn)單事件，求出這些簡(jiǎn)單事件的概率，再利用加法公式即得所求的復(fù)雜事件的概率1號(hào)箱中有2個(gè)白球和4個(gè)紅球，2號(hào)箱中有5個(gè)白球和3個(gè)紅球現(xiàn)隨機(jī)地從1號(hào)箱中取出一個(gè)球放入2號(hào)箱，然后從2號(hào)箱中隨機(jī)取出一個(gè)球，問：從2號(hào)箱取出紅球的概率是多少？解：記A從2號(hào)箱中取出的是紅球，B從1號(hào)箱中取出的是紅球，則P(B)，P()1P(B)，P(A|B)，P(A|)，P(A)P(ABA )P(AB)P(A )P(A|B)P(B)P(A|)P().袋中有6個(gè)黃色的乒乓球，4個(gè)白色的乒乓球，做不放回抽樣，每次抽取一球，取兩次，求第二次才能取到黃球的概率記“第一次取到白球”為事件A

7、，“第二次取到黃球”為事件B，“第二次才取到黃球”為事件C，所以P(C)P(AB)P(A)P(B|A).1解答本題易混淆P(AB)與P(B|A)的含義，而誤認(rèn)為P(C)P(B|A).2P(AB)表示A與B同時(shí)發(fā)生的概率；而P(B|A)表示在事件A已經(jīng)發(fā)生的條件下事件B發(fā)生的概率一個(gè)盒子裝有4件產(chǎn)品，其中3件一等品、1件二等品，從中取產(chǎn)品兩次，每次任取1件，做不放回抽樣，若第一次取到的是一等品，求第二次取到一等品的概率解：設(shè)事件A為“第一次取到的是一等品”，事件B為“第二次取到的是一等品”，則AB表示“第一次取到一等品，第二次也取到一等品”因?yàn)镻(A)，P(AB)，所以在第一次取到一等品的情況下

8、，第二次取到一等品的概率為P(B|A).1已知P(A)0.4，P(B)0.5，P(A|B)0.6，則P(B|A)為()A0.2B0.4C0.75 D0.24解析：選CP(A|B)，P(AB)0.3.P(B|A)0.75.24張獎(jiǎng)券中只有1張能中獎(jiǎng)，現(xiàn)分別由4名同學(xué)無放回地抽取若已知第一名同學(xué)沒有抽到中獎(jiǎng)券，則最后一名同學(xué)抽到中獎(jiǎng)券的概率是()A. B.C. D1解析：選B因?yàn)榈谝幻瑢W(xué)沒有抽到中獎(jiǎng)券已知，所以問題變?yōu)?張獎(jiǎng)券，1張能中獎(jiǎng)，最后一名同學(xué)抽到中獎(jiǎng)券的概率，顯然是.3甲、乙兩市都位于長(zhǎng)江下游，根據(jù)一百多年來的氣象記錄，知道一年中下雨天的比例甲市占20%，乙市占18%，兩地同時(shí)下雨占1

9、2%，記P(A)0.2，P(B)0.18，P(AB)0.12，則P(A|B)_，P(B|A)_.解析：由公式P(A|B)，P(B|A).答案：4某人一周晚上值2次班，在已知他周日一定值班的條件下，他在周六晚上值班的概率為_解析：設(shè)事件A為“周日值班”，事件B為“周六值班”，則P(A)，P(AB)，故P(B|A).答案：5一個(gè)口袋內(nèi)裝有2個(gè)白球和2個(gè)黑球(1)先摸出1個(gè)白球不放回，再摸出1個(gè)白球的概率是多少？(2)先摸出1個(gè)白球后放回，再摸出1個(gè)白球的概率是多少？解：(1)設(shè)“先摸出1個(gè)白球不放回”為事件A，“再摸出1個(gè)白球”為事件B，則“先后兩次摸出白球”為事件AB，“先摸一個(gè)球不放回，再摸一

10、個(gè)球”共有43種結(jié)果，所以P(A)，P(AB)，所以P(B|A).所以先摸出1個(gè)白球不放回，再摸出1個(gè)白球的概率為.(2)設(shè)“先摸出1個(gè)白球放回”為事件A1，“再摸出1個(gè)白球”為事件B1，“兩次都摸出白球”為事件A1B1，P(A1)，P(A1B1)，所以P(B1|A1).所以先摸出1個(gè)白球后放回，再摸出1個(gè)白球的概率為.一、選擇題1下列說法正確的是()AP(B|A)P(A|B)BP(BC|A)P(B|A)P(C|A)CP(B|A)DP(AB)P(B|A)P(A)解析：選DP(B|A)，P(AB)P(B|A)P(A)2為考察某種藥物預(yù)防疾病的效果，科研人員進(jìn)行了動(dòng)物試驗(yàn)，結(jié)果如下表：患病未患病總

11、計(jì)服用藥104555未服藥203050總計(jì)3075105在服藥的前提下，未患病的概率為()A.B.C. D.解析：選C在服藥的前提下，未患病的概率P.3拋擲兩枚骰子，則在已知它們點(diǎn)數(shù)不同的情況下，至少有一枚出現(xiàn)6點(diǎn)的概率是()A. B.C. D.解析：選A設(shè)“至少有一枚出現(xiàn)6點(diǎn)”為事件A，“兩枚骰子的點(diǎn)數(shù)不同”為事件B.則n(B)6530，n(AB)10，所以P(A|B).4某班學(xué)生的考試成績(jī)中，數(shù)學(xué)不及格的占15%，語文不及格的占5%，兩門都不及格的占3%.已知一學(xué)生數(shù)學(xué)不及格，則他語文也不及格的概率是()A. B.C. D.解析：選A設(shè)A為事件“數(shù)學(xué)不及格”，B為事件“語文不及格”，P(B

12、|A).所以數(shù)學(xué)不及格時(shí)，該學(xué)生語文也不及格的概率為.5從1,2,3,4,5中任取2個(gè)不同的數(shù)，事件A等于“取到的2個(gè)數(shù)之和為偶數(shù)”，事件B等于“取到的2個(gè)數(shù)均為偶數(shù)”，則P(B|A)等于()A. B.C. D.解析：選BP(A)，P(AB)，P(B|A).二、填空題6設(shè)A，B為兩個(gè)事件，若事件A和B同時(shí)發(fā)生的概率為，在事件A發(fā)生的條件下，事件B發(fā)生的概率為，則事件A發(fā)生的概率為_解析：由題意知，P(AB)，P(B|A).由P(B|A)，得P(A).答案：7分別用集合M2,4,6,7,8,11,12中的任意兩個(gè)元素作分子與分母構(gòu)成真分?jǐn)?shù)，已知取出的一個(gè)元素是12，則取出的另一個(gè)元素與之構(gòu)成可約

13、分?jǐn)?shù)的概率是_解析：設(shè)取的兩個(gè)元素中有一個(gè)是12為事件A，取出的兩個(gè)元素構(gòu)成可約分?jǐn)?shù)為事件B，則n(A)6，n(AB)4.所以P(B|A).答案：8根據(jù)歷年氣象資料統(tǒng)計(jì)，某地4月份刮東風(fēng)的概率是，既刮東風(fēng)又下雨的概率是.則在4月份刮東風(fēng)的條件下，該地4月份下雨的概率為_解析：設(shè)某地4月份刮東風(fēng)為事件A，該地4月份下雨為事件B，則AB為該地4月份既刮東風(fēng)又下雨，則P(A)，P(AB)，所以P(B|A).答案：三、解答題9某個(gè)興趣小組有學(xué)生10人，其中有4人是三好學(xué)生現(xiàn)已把這10人分成兩小組進(jìn)行競(jìng)賽輔導(dǎo)，第一小組5人，其中三好學(xué)生2人(1)如果要從這10人中選一名同學(xué)作為該興趣小組組長(zhǎng)，那么這個(gè)同

14、學(xué)恰好在第一小組內(nèi)的概率是多少？(2)現(xiàn)在要在這10人中任選一名三好學(xué)生當(dāng)組長(zhǎng)，這名同學(xué)在第一小組內(nèi)的概率是多少？解：設(shè)A表示“在興趣小組內(nèi)任選一名同學(xué)，該同學(xué)在第一小組內(nèi)”，B表示“在興趣小組內(nèi)任選一名同學(xué)，該同學(xué)是三好學(xué)生”，而第二問中所求概率為P(A|B)(1)由等可能事件概率的定義知，P(A).(2)P(B)，P(AB).所以P(A|B).10某班從6名班干部中(其中男生4人，女生2人)，任選3人參加學(xué)校的義務(wù)勞動(dòng)(1)設(shè)所選3人中女生人數(shù)為，求的分布列；(2)求男生甲或女生乙被選中的概率；(3)設(shè)“男生甲被選中”為事件A，“女生乙被選中”為事件B，求P(B)和P(B|A)解：(1)的所有可能取值為0,1,2，依題意得P(0)，P(1)，P(2).的分布列為012P(2)設(shè)“甲、乙都不被選中”為事件C，則P(C)，所求概率為P()1P(C)1.(