高中數(shù)學(xué) 重要不等式專題講座教案 北師大版

1、重要不等式專題講座1、平均值不等式設(shè)是非負(fù)實(shí)數(shù)，則2、柯西（Cauchy）不等式設(shè)，則等號(hào)成立當(dāng)且僅當(dāng)存在，使上述兩個(gè)不等式在數(shù)學(xué)競(jìng)賽中應(yīng)用極為廣泛，好的、難的不等式問題往往只需用它們即可解決，而無需過分追求所謂更“高級(jí)”的不等式，這是需要注意的。3排序不等式設(shè)是的一個(gè)排列，令.則證明 若，由 .設(shè) ，則 可見按上述方法調(diào)整后，的值不增，若此時(shí)在中，仿上又可得，最多經(jīng)過步調(diào)整以后，若在中，將其中的與互換，得到，則，故所以，由于，利用上面所證結(jié)論，得綜上，命題獲證。排序不等式可簡(jiǎn)述為：“反序和亂序和同序和”。4琴生不等式若是區(qū)間上的凸函數(shù)，則對(duì)任意的點(diǎn)有等號(hào)當(dāng)且僅當(dāng)時(shí)取得。證明 當(dāng)時(shí)，命題顯然成

2、立。假設(shè)時(shí)命題成立，當(dāng)時(shí)，令則又令所以，當(dāng)且僅當(dāng)時(shí)取等號(hào)。綜上所述，對(duì)一切正整數(shù)，命題成立。另外，絕對(duì)值不等式等也是較為常用的。解答不等式問題往往沒有固定的模式，證法因題而異，多種多樣，不等式問題的趣味性和靈活性決定了它在數(shù)學(xué)競(jìng)賽中的地位。當(dāng)然，熟悉并掌握一些常用的解決不等式問題的方法技巧是很有必要的，除比較法、放縮法、反證法、分析法、綜合法等基本方法外，數(shù)學(xué)歸納法、變量代換（含局部、整體、三角、復(fù)數(shù)代換等）、函數(shù)方法（利用單調(diào)性、凸性、有界性及判別方法等）、構(gòu)造法（構(gòu)造恒等式、數(shù)列、函數(shù)等）、調(diào)整法等在數(shù)學(xué)競(jìng)賽中也是常用的。要多做題，多總結(jié)，融會(huì)貫通，舉一反三，才能提高解決、研究不等式問題的

3、能力.例1 設(shè)，求證：證明 令，則分兩種情形：（1）時(shí)，.（2）時(shí)，.點(diǎn)評(píng) 注意到，故先作代換，使的表達(dá)形式更簡(jiǎn)單，放縮較為大膽，但要注意時(shí)能取到符號(hào)，放縮不能過頭，最后回到平均值不等式。例2 記，求證：證明 欲證式由柯西不等式，有又由柯西不等式，有. 欲證不等式成立。點(diǎn)評(píng) 本題有一定的難度，第一步代數(shù)變形是基本功，將化為若干項(xiàng)之和，便于處理. 第二、三步對(duì)柯西不等式的兩種不同的運(yùn)用堪稱范例，值得回味。例3 設(shè)，證明：證明 我們證明 事實(shí)上，而，故成立.同理，.因此，故原不等式左邊成立.下面證明原不等式右邊：，記，則，當(dāng)時(shí)，因此在時(shí)是增函數(shù)，當(dāng)時(shí)，因此在是上凸函數(shù)，由Jesen不等式， 又知結(jié)

4、合在遞增， 由可得，所以綜上所述，故原不等式獲證.例4 設(shè)，滿足求證：證明 記，則設(shè)且是的一個(gè)排列，且使又設(shè).則，故不妨設(shè)（否則，若，取，此時(shí)仍滿足題設(shè)，且，不影響結(jié)論的一般性）。由排序不等式，有即欲證不等式成立。點(diǎn)評(píng) 絕對(duì)值符號(hào)內(nèi)的各項(xiàng)分正負(fù)來處理是一個(gè)關(guān)鍵，注意到，再通過適當(dāng)?shù)姆趴s即可證得結(jié)論。例5 設(shè)，求證：證明 注意到函數(shù)在上是增函數(shù)，當(dāng)時(shí)，故只需證明：，其中即證.由于.從而，欲證不等式成立。例6 試確定所有的正常數(shù)，使不等式對(duì)滿足的非負(fù)數(shù)均成立。解 全部解，其中取及，便得及下面證明：對(duì)滿足的非負(fù)實(shí)數(shù)都成立。只需證明關(guān)于的齊次式： 對(duì)滿足的非負(fù)實(shí)數(shù)都成立。令式左邊由柯西不等式，.又均為

5、非負(fù)實(shí)數(shù)，.結(jié)合，式左邊.故獲證。綜上，所求全部解點(diǎn)評(píng) 先取特殊值（如中值、邊值）得參數(shù)的范圍，再證明在這個(gè)范圍內(nèi)不等式成立，這是含參不等式的處理方法。例7 正實(shí)數(shù)滿足條件：，.證明：對(duì)于任意確定的，如果，則.證明 由已知條件及柯西不等式，得.令，顯然有，由已知，得又對(duì)于固定的，有，.又，由柯西不等式，得；兩個(gè)不等式相加，得所以，由定義及，有從而，即.原命題獲證。練習(xí)題：1設(shè)，求證：證明 欲證式由柯西不等式， 注意到又.故 由 欲證式成立.點(diǎn)評(píng) 這種帶條件的三元分式不等式很常見，用柯西不等式來證的較多，要適當(dāng)選擇和，便于運(yùn)用柯西不等式2已知ABC的外接圓半徑為R，半周長為p，面積為S. 求的最

6、大值.解 . 因?yàn)樵趦?nèi)為上凸函數(shù)，所以，故當(dāng)時(shí)，取得最大值3設(shè)是一個(gè)無窮項(xiàng)的實(shí)數(shù)列，對(duì)于所有正整數(shù)存在一個(gè)實(shí)數(shù)，使得且對(duì)所有正整數(shù)成立，證明：分析 我們利用柯西不等式處理該問題是本題成功關(guān)鍵。證明 對(duì)于，設(shè)為的一個(gè)排列且滿足：.（柯西不等式）.故評(píng)注 這里抓住整體性質(zhì)，利用不等式處理問題是常用的思想方法。 4對(duì)任意a,b,cR+，證明：（a2+2）（b2+2）（c2+2） 9（ab+bc+ca）.證明 原不等式a2 b2 c2 +2+4+8 9.由抽屜原理，不妨設(shè)a和b同時(shí)大于等于1，或同時(shí)小于等于1。則c2（a2-1）（b2-1） 0即 a2 b2 c2+ c2a2 c2+ b2 c2 由均值不等式，有以及.2+ 3+ 6 7. 又由知2+ a2 b2 c2+=2+a2 b2 c2+ a2 + b2 + a2c2 + b2c2 +2= (a2 + b2 )+ (a2c2 +1)+( b2c2 +1)2a b+2ac+2bc2+ a2 b2 c2+2a b+2ac+2bc. +得a2 b2 c2 +2+4+8 9.即原不等式成立。評(píng)注 這是一道美國數(shù)學(xué)奧林匹克試題。這里用抽屜原理構(gòu)造了一個(gè)局部不等式，結(jié)合算術(shù)幾何平均值不等式給出