高中數(shù)學(xué) 第三章《函數(shù)的應(yīng)用》幾類不同增長的函數(shù)模型教案 新人教版必修

1、3.2.1幾類不同增長的函數(shù)模型（第一課時）一內(nèi)容和內(nèi)容解析本節(jié)是高中數(shù)學(xué)必修1（人教A版）第三章函數(shù)的應(yīng)用的起始課該課將經(jīng)歷運(yùn)用和選擇函數(shù)模型解決實(shí)際問題的過程，從而認(rèn)識在同為增函數(shù)的函數(shù)模型中，各種函數(shù)存在增長的差異；理解直線上升、指數(shù)爆炸、對數(shù)增長的含義；認(rèn)識研究函數(shù)增長（衰減）差異的方法；感受數(shù)學(xué)建模的思想對不同函數(shù)模型在增長差異上的研究，教材圍繞函數(shù)模型的應(yīng)用這一核心，結(jié)合具體實(shí)例展開討論，讓學(xué)生在應(yīng)用函數(shù)模型的過程中，體驗(yàn)到指數(shù)函數(shù)、對數(shù)函數(shù)、冪函數(shù)等函數(shù)模型在描述客觀世界變化規(guī)律時各自的特點(diǎn)教材運(yùn)用自選投資方案和制定獎勵方案這兩個問題，引出函數(shù)模型增長情況比較的問題，接著運(yùn)用信息

2、技術(shù)從數(shù)值和圖象兩個角度比較了指數(shù)函數(shù)、對數(shù)函數(shù)、冪函數(shù)的增長情況的差異，說明不同函數(shù)類型增長的含義在必修1前兩章，教材安排了函數(shù)的性質(zhì)以及基本初等函數(shù)本節(jié)內(nèi)容是幾類不同增長的函數(shù)模型，在此之后是研究函數(shù)模型的應(yīng)用，因此，從內(nèi)容上看，本節(jié)課是對前面所學(xué)習(xí)的幾種基本初等函數(shù)以及函數(shù)的性質(zhì)的綜合應(yīng)用，從思想方法上講，是對研究函數(shù)的方法的進(jìn)一步鞏固和深化，同時，也在為后面繼續(xù)學(xué)習(xí)各種不同的函數(shù)模型的應(yīng)用舉例奠定基礎(chǔ)，因此本節(jié)內(nèi)容，既是第二章基本初等函數(shù)知識的延續(xù)，又是函數(shù)模型應(yīng)用學(xué)習(xí)的基礎(chǔ)，起著承前啟后的作用.本節(jié)內(nèi)容所涉及的數(shù)學(xué)思想方法主要包括：由實(shí)際問題抽象為函數(shù)模型這一過程中蘊(yùn)涵的符號化、模型

3、化的思想；在解決問題過程中函數(shù)與方程的思想二目標(biāo)和目標(biāo)解析本節(jié)課的教學(xué)任務(wù)為： （1）創(chuàng)設(shè)一個投資方案的問題情境，讓學(xué)生通過函數(shù)建模、列數(shù)據(jù)表、研究函數(shù)圖象和性質(zhì)，體會直線上升和指數(shù)爆炸； （2）創(chuàng)設(shè)一個選擇獎勵模型的問題情境，讓學(xué)生在觀察和探究的過程中，體會對數(shù)增長模型的特點(diǎn)； （3）通過建立和運(yùn)用函數(shù)基本模型，讓學(xué)生初步體驗(yàn)數(shù)學(xué)建模的基本思想，發(fā)展學(xué)生的創(chuàng)新意識和數(shù)學(xué)應(yīng)用意識.根據(jù)內(nèi)容解析和教學(xué)任務(wù)，本節(jié)課的教學(xué)目標(biāo)確定為： （1）通過實(shí)例的解決，運(yùn)用函數(shù)表格、圖象，比較一次函數(shù)、指數(shù)型函數(shù)以及對數(shù)函數(shù)模型等的增長，認(rèn)識它們的增長差異，體會直線上升、指數(shù)爆炸、對數(shù)增長等不同增長的函數(shù)模型的

4、意義； （2）通過恰當(dāng)?shù)剡\(yùn)用函數(shù)的三種表示方法（解析法、列表法、圖象法），表達(dá)實(shí)際問題中的函數(shù)關(guān)系的操作，認(rèn)識函數(shù)問題的研究方法：觀察歸納猜想證明； （3）經(jīng)歷建立和運(yùn)用函數(shù)基本模型的過程，初步體驗(yàn)數(shù)學(xué)建模的基本思想，體會數(shù)學(xué)的作用與價值，培養(yǎng)分析問題、解決問題的能力.這部分內(nèi)容教科書在處理上，以函數(shù)模型的應(yīng)用這一內(nèi)容為主線，以幾個重要的函數(shù)模型為對象，將前面已經(jīng)學(xué)習(xí)過的內(nèi)容以及處理問題的思想方法緊密結(jié)合起來，使之成為一個整體因此教學(xué)中應(yīng)當(dāng)注意貫徹教材的設(shè)計(jì)意圖，讓學(xué)生經(jīng)歷函數(shù)模型應(yīng)用的全過程，能在這一過程中認(rèn)識不同增長的差異，認(rèn)識知曉函數(shù)增長差異的作用，認(rèn)識研究差異的思想方法結(jié)合以上分析本節(jié)

5、課的教學(xué)重點(diǎn)為：將實(shí)際問題轉(zhuǎn)化為數(shù)學(xué)模型，在比較常數(shù)函數(shù)、一次函數(shù)、指數(shù)函數(shù)、對數(shù)函數(shù)模型增長差異的過程中，體會直線上升、指數(shù)爆炸、對數(shù)增長等不同類型函數(shù)增長的含義三教學(xué)問題診斷學(xué)生在前面已學(xué)過函數(shù)概念、指數(shù)函數(shù)、對數(shù)函數(shù)、冪函數(shù)，但由于指數(shù)函數(shù)、對數(shù)函數(shù)和冪函數(shù)的增長變化復(fù)雜，這就使得學(xué)生在研究過程中可能遇到困難因此本節(jié)課教學(xué)難點(diǎn)確定為：如何結(jié)合實(shí)際問題讓學(xué)生體會不同函數(shù)模型的增長差異，以及如何利用這種增長差異來解決一些實(shí)際問題為了解決這一難點(diǎn)，教科書分三個步驟，創(chuàng)設(shè)問題情境，并通過恰點(diǎn)恰時而又層層遞進(jìn)的問題串，讓學(xué)生在不斷的觀察、思考和探究的過程中，弄清幾個函數(shù)間的增長差異，并培養(yǎng)分析問題

6、解決問題的能力第一步，教科書先創(chuàng)設(shè)了一個選擇投資方案的問題情境，在解決問題的過程中給出了解析式、數(shù)表和圖象三種表示，然后提出了三個思考問題，讓學(xué)生一方面從中體會直線上升和指數(shù)爆炸，另一方面也學(xué)會如何選擇恰當(dāng)?shù)谋硎拘问綄栴}進(jìn)行分析第二步，教科書又創(chuàng)設(shè)了一個選擇公司獎勵模型的問題情境，讓學(xué)生在觀察和探究的過程中，體會到對數(shù)增長模型的特點(diǎn)第三步，教科書提出了三種函數(shù)存在怎樣的增長差異的問題先讓學(xué)生從不同角度觀察指數(shù)函數(shù)和冪函數(shù)的增長圖象，從中體會二者的差異；再通過兩個探究問題，讓學(xué)生對冪函數(shù)和對數(shù)函數(shù)的增長差異，以及三種函數(shù)的衰減情況進(jìn)行自主探究這樣的安排內(nèi)容上層次分明，可以引導(dǎo)學(xué)生從不同的方面積

7、極地開展觀察、思考和探究活動，對典型的問題，多視點(diǎn)寬角度地進(jìn)行了研究對學(xué)生分析問題、解決問題能力的培養(yǎng)將有積極的推動由于本節(jié)內(nèi)容比較豐富，而且研究問題的方法和途徑也比較多，所以本節(jié)課我們只能重點(diǎn)解決其中的前兩個問題四教學(xué)支持條件分析要讓學(xué)生較為全面地體會函數(shù)模型的思想，特別是本節(jié)例題中用函數(shù)模型研究實(shí)際問題有許多數(shù)據(jù)、圖象等方面處理上的困難，而利用信息技術(shù)工具，就可以在不同的范圍觀察到指數(shù)函數(shù)、對數(shù)函數(shù)和冪函數(shù)的增長差異這樣，就使學(xué)生有機(jī)會接觸到一些過去難以接觸到的數(shù)學(xué)知識和思想方法因此在本節(jié)內(nèi)容教學(xué)的處理上，通過學(xué)生收集數(shù)據(jù)并建立函數(shù)模型， 利用計(jì)算器和計(jì)算機(jī)，比較指數(shù)函數(shù)、對數(shù)函數(shù)以及冪函

8、數(shù)間的增長差異；結(jié)合實(shí)例體會直線上升、指數(shù)爆炸、對數(shù)增長等不同函數(shù)類型增長的含義五教學(xué)過程設(shè)計(jì)一、創(chuàng)設(shè)情境，引入課題1.介紹第三章章頭圖，提出問題問題1：澳大利亞的兔子為什么能在短短的幾十年中由5只發(fā)展到5億只？澳大利亞兔子的急劇增長反映了自然界中一種增長現(xiàn)象：指數(shù)增長.問題2：在生活中，你還能舉出其它增長的例子嗎？2.在學(xué)生回答問題的基礎(chǔ)上引出各種不同類型的函數(shù)增長模型3.揭示課題：幾類不同增長的函數(shù)模型【設(shè)計(jì)意圖】運(yùn)用章頭圖，形成問題情境，產(chǎn)生應(yīng)用函數(shù)的需要，激發(fā)學(xué)生的學(xué)習(xí)愿望二、分析問題，建立模型（一）提出問題例1假如你有一筆資金用于投資，現(xiàn)有三種投資方案供你選擇，這三種方案的回報(bào)如下：

9、方案一：每天回報(bào)40元；方案二：第一天回報(bào)10元，以后每天比前一天多回報(bào)10元；方案三：第一天回報(bào)0 .4元，以后每天的回報(bào)比前一天翻一番請問：你會選擇哪種投資方式？（二）分析問題1.引導(dǎo)審題，抓住關(guān)鍵詞“回報(bào)”問題3：你選擇的是什么樣的回報(bào)？怎樣比較回報(bào)資金的大??？從解決問題的角度看：（1）比較三種方案的每日回報(bào)；（2）比較三種方案在若干天內(nèi)的累計(jì)回報(bào).2.引導(dǎo)分析數(shù)量關(guān)系，建立函數(shù)模型僅從日回報(bào)的角度引導(dǎo)學(xué)生根據(jù)數(shù)量關(guān)系，歸納概括出相應(yīng)的函數(shù)模型，寫出每個方案的函數(shù)解析式.【設(shè)計(jì)意圖】引發(fā)學(xué)生思考，經(jīng)歷建立函數(shù)基本模型的過程【備注】累計(jì)回報(bào)的本質(zhì)是數(shù)列求和問題，由于學(xué)生目前的知識儲備還不夠

10、，現(xiàn)在僅限于通過對函數(shù)模型通過列表計(jì)算、圖象觀察來作出判斷和選擇.三、組織探究，感性體驗(yàn)1.教師提出問題問題4：你會選擇哪種投資方案？請用數(shù)學(xué)語言呈現(xiàn)你的理由2.學(xué)生分組操作，比較不同增長從解決問題的方式上：（1）用列表方法來比較；（2）畫出函數(shù)圖象來分析.【設(shè)計(jì)意圖】保成學(xué)生合作探究、動手實(shí)踐，能借助計(jì)算器，利用數(shù)據(jù)表格、函數(shù)圖象對三種模型進(jìn)行比較、分析，初步感受直線上升和指數(shù)爆炸的意義，初步體驗(yàn)研究函數(shù)增長差異的方法四、成果交流，階段小結(jié)（一）學(xué)生交流讓學(xué)生交流小組探究的成果（表格、圖象、結(jié)論）（二）師生互動1.閱讀教材上例題解答中的數(shù)據(jù)表格與圖象（突出散點(diǎn)圖），引導(dǎo)學(xué)生關(guān)注增長量，感受增

11、長差異2.通過教師多媒體動態(tài)演示，讓學(xué)生進(jìn)一步體會增長差異在不同的函數(shù)模型下，雖然都有增長，但增長態(tài)勢各具特點(diǎn)他們的增長不在同一個“檔次”上，當(dāng)自變量變得很大時，指數(shù)型函數(shù)比一次函數(shù)增長的速度要快得多（三）歸納小結(jié)1.通過教師的小結(jié)，增強(qiáng)學(xué)生對增長差異的認(rèn)識常數(shù)函數(shù)（沒有增長），直線上升（勻速增長），指數(shù)爆炸（急劇增長）2.上述問題的解決，是通過考慮其中的數(shù)量關(guān)系，把它抽象概括成一個函數(shù)問題，用解析式、數(shù)據(jù)表格、圖象這三種函數(shù)的表達(dá)形式來研究的【設(shè)計(jì)意圖】分享學(xué)生成果，達(dá)到生生互動、師生互動；借助多媒體展示，幫助學(xué)生理解不同增長的函數(shù)模型的增長差異，并且初步體驗(yàn)數(shù)學(xué)建模的基本思想，認(rèn)識函數(shù)問題

12、的研究方法五、深入探究，理性分析（一）提出問題例2某公司為了實(shí)現(xiàn)1000萬元利潤的目標(biāo)，準(zhǔn)備制定一個激勵銷售人員的獎勵方案：在銷售利潤達(dá)到10萬元時，按銷售利潤進(jìn)行獎勵，且獎金（單位：萬元）隨銷售利潤（單位：萬元）的增加而增加，但獎金總數(shù)不超過5萬元，同時獎金不超過利潤的25%現(xiàn)有三個獎勵模型： 其中哪個模型能符合公司的要求？（二）引導(dǎo)分析問題5：你能立刻做出選擇嗎？選擇的依據(jù)是什么？問題6：公司的要求到底意味著怎樣的數(shù)學(xué)關(guān)系？問題7：我們提供的三個增長型函數(shù)哪一個符合限制條件？（三）解決問題1.通過多媒體演示，發(fā)現(xiàn)增長差異； 2.結(jié)合限制條件，初步作出選擇；3.通過計(jì)算，進(jìn)一步確認(rèn)，驗(yàn)證所得

13、結(jié)論；4.體會對數(shù)增長模型的增長特征：當(dāng)自變量變得很大時平緩增長； 5.揭示函數(shù)問題的研究方法（觀察歸納猜想證明）【設(shè)計(jì)意圖】讓學(xué)生在觀察和探究的過程中，學(xué)會理性分析，體會對數(shù)增長模型的特點(diǎn)【備注】對判斷模型二是否滿足限制條件“”，考慮到學(xué)生現(xiàn)在知識儲備和接受水平，只能采用了直觀教學(xué)，通過構(gòu)造新函數(shù)，觀察新函數(shù)的圖象來解決（因?yàn)樵摵瘮?shù)單調(diào)性的判定，必須運(yùn)用高二數(shù)學(xué)中的導(dǎo)數(shù)知識與方法才能解決）六、拓展延伸，創(chuàng)新設(shè)計(jì)這個獎勵方案實(shí)施以后，立刻調(diào)動了員工的積極性，企業(yè)發(fā)展蒸蒸日上，但隨著時間的推移，又出現(xiàn)了新的問題，員工缺乏創(chuàng)造高銷售額的積極性.問題8：我們的獎勵方案有什么弊端？問題9：你能否設(shè)計(jì)出

14、更合理的獎勵模型？【創(chuàng)新設(shè)計(jì)】為了實(shí)現(xiàn)1000萬元利潤的目標(biāo)，在銷售利潤達(dá)到10萬元時，按銷售利潤進(jìn)行獎勵，且獎金y(單位：萬元)隨著銷售利潤x (單位：萬元)的增加而增加,要求如下：10萬 50萬，獎金不超過2萬；50萬 200萬，獎金不超過4萬；200萬 1000萬，獎金不超過20萬請選擇適當(dāng)?shù)暮瘮?shù)模型，用圖象表達(dá)你的設(shè)計(jì)方案（四人一組，合作完成）【設(shè)計(jì)意圖】設(shè)計(jì)開放性問題對例2拓展延伸，既檢測了學(xué)生對幾類不同模型增長差異的掌握情況，又鼓勵學(xué)生學(xué)以致用，用以致優(yōu)，使學(xué)生的學(xué)習(xí)過程成為在教師引導(dǎo)下的“再創(chuàng)造”過程七、歸納總結(jié)，提煉升華問題10：通過本節(jié)課的學(xué)習(xí)，你有哪些收獲？請你從知識、方法、思想方面作一個小結(jié)1.知識：對函數(shù)的性質(zhì)有了進(jìn)一步的了解，我們體會到同是增長型函數(shù)，但其增長差異卻很大：常數(shù)函數(shù)（沒有增長）；一次函數(shù)（直線上升）；指數(shù)函數(shù)（爆炸增長）；對數(shù)函數(shù)（平緩增長）2.方法：函數(shù)有三種表示方法（解析法、列表法、圖象法）；函數(shù)問題的一般研究方法（觀察歸納猜想證明）3.思想：兩個例題都體現(xiàn)了數(shù)學(xué)建模的思想，即把實(shí)際問題數(shù)學(xué)化：面對實(shí)際問題，我們要讀懂問題，運(yùn)用所學(xué)知識，將其轉(zhuǎn)化成數(shù)學(xué)模型，最終得