高中數(shù)學(xué) 第二章 圓錐曲線與方程 2.2 拋物線 2.2.1 拋物線及其標(biāo)準(zhǔn)方程導(dǎo)學(xué)案 北師大版選修

1、2.2.1拋物線及其標(biāo)準(zhǔn)方程學(xué)習(xí)目標(biāo)1.掌握拋物線的定義及焦點(diǎn)、準(zhǔn)線的概念.2.掌握拋物線的標(biāo)準(zhǔn)方程及其推導(dǎo)過程.3.明確拋物線標(biāo)準(zhǔn)方程中p的幾何意義，能解決簡單的求拋物線標(biāo)準(zhǔn)方程問題.知識點(diǎn)一拋物線的定義思考1如圖，在黑板上畫一條直線EF，然后取一個(gè)三角板，將一條拉鏈AB固定在三角板的一條直角邊上，并將拉鏈下邊一半的一端固定在C點(diǎn)，將三角板的另一條直角邊貼在直線EF上，在拉鏈D處放置一支粉筆，上下拖動三角板，粉筆會畫出一條曲線.這是一條什么曲線，由畫圖過程你能給出此曲線的定義嗎？答案平面內(nèi)與一個(gè)定點(diǎn)F和一條定直線l(定點(diǎn)不在定直線上)距離相等的點(diǎn)的軌跡叫作拋物線，定點(diǎn)F叫作拋物線的焦點(diǎn)，定直

2、線l叫作拋物線的準(zhǔn)線.思考2拋物線的定義中，l能經(jīng)過點(diǎn)F嗎？為什么？答案不能，若l經(jīng)過點(diǎn)F，滿足條件的點(diǎn)的軌跡不是拋物線，而是過點(diǎn)F且垂直于l的一條直線.梳理(1)定義：平面內(nèi)與一個(gè)定點(diǎn)F和一條定直線l(l不過F)的距離相等的點(diǎn)的集合叫作拋物線.(2)焦點(diǎn)：點(diǎn)F.(3)準(zhǔn)線：直線l.知識點(diǎn)二拋物線的標(biāo)準(zhǔn)方程思考1拋物線方程中p有何意義？拋物線的開口方向由什么決定？答案p是拋物線的焦點(diǎn)到準(zhǔn)線的距離，拋物線的方程中一次項(xiàng)決定開口方向.思考2拋物線標(biāo)準(zhǔn)方程的特點(diǎn)？答案(1)原點(diǎn)在拋物線上；(2)對稱軸為坐標(biāo)軸；(3)p為大于0的常數(shù)，其幾何意義表示焦點(diǎn)到準(zhǔn)線的距離；(4)準(zhǔn)線與對稱軸垂直，垂足與焦點(diǎn)

3、關(guān)于原點(diǎn)對稱；(5)焦點(diǎn)、準(zhǔn)線到原點(diǎn)的距離都等于.思考3已知拋物線的標(biāo)準(zhǔn)方程，怎樣確定拋物線的焦點(diǎn)位置和開口方向？答案一次項(xiàng)變量為x(或y)，則焦點(diǎn)在x軸(或y軸)上；若系數(shù)為正，則焦點(diǎn)在正半軸上；系數(shù)為負(fù)，則焦點(diǎn)在負(fù)半軸上.焦點(diǎn)確定，開口方向也隨之確定.梳理拋物線的標(biāo)準(zhǔn)方程有四種類型圖形標(biāo)準(zhǔn)方程y22px(p0)y22px(p0)x22py(p0)x22py(p0)焦點(diǎn)坐標(biāo)準(zhǔn)線方程xxyy類型一拋物線定義的解讀例1方程表示的曲線是()A.圓 B.橢圓 C.線段 D.拋物線答案D解析，它表示點(diǎn)M(x，y)與點(diǎn)F(3，1)的距離等于點(diǎn)M到直線xy30的距離，且點(diǎn)F(3，1)不在直線上.根據(jù)拋物線

4、的定義，知此方程表示的曲線是拋物線.反思與感悟根據(jù)式子的幾何意義 ，利用拋物線的定義，可確定點(diǎn)的軌跡，注意定義中“點(diǎn)F不在直線l上”這個(gè)條件.跟蹤訓(xùn)練1若動圓與圓(x2)2y21相外切，又與直線x10相切，則動圓圓心的軌跡是_.答案拋物線解析由題意，動圓圓心到定圓圓心的距離比它到直線x10的距離大1，故動圓圓心的軌跡是以(2，0)為焦點(diǎn)，x2為準(zhǔn)線的拋物線，其方程為y28x.類型二拋物線的標(biāo)準(zhǔn)方程及求解命題角度1拋物線的焦點(diǎn)坐標(biāo)或準(zhǔn)線方程的求解例2已知拋物線的方程如下，求其焦點(diǎn)坐標(biāo)和準(zhǔn)線方程.(1)y26x；(2)3x25y0；(3)y4x2；(4)yax2(a0).解(1)由方程y26x，知

5、拋物線開口向左，2p6，p3，所以焦點(diǎn)坐標(biāo)為(，0)，準(zhǔn)線方程為x.(2)將3x25y0化為x2y，知拋物線開口向下，2p，p，所以焦點(diǎn)坐標(biāo)為(0，)，準(zhǔn)線方程為y.(3)將y4x2化為x2y，知拋物線開口向上，2p，p，所以焦點(diǎn)坐標(biāo)為(0，)，準(zhǔn)線方程為y.(4)拋物線方程yax2可化為x2y，當(dāng)a0時(shí)，2p，p，故焦點(diǎn)坐標(biāo)是(0，)，準(zhǔn)線方程是y.當(dāng)a0)的準(zhǔn)線與曲線x2y26x70相切，則p為()A.2 B.1 C. D.答案A解析注意到拋物線y22px的準(zhǔn)線方程為x，曲線x2y26x70，即(x3)2y216，它表示圓心為(3，0)，半徑為4的圓.由題意得4.又p0，因此有34，解得p

6、2，故選A.命題角度2求拋物線的標(biāo)準(zhǔn)方程例3求滿足下列條件的拋物線的標(biāo)準(zhǔn)方程.(1)過點(diǎn)(3，2)；(2)焦點(diǎn)在直線x2y40上；(3)拋物線的焦點(diǎn)F在x軸上，直線y3與拋物線相交于點(diǎn)A，|AF|5.解(1)當(dāng)拋物線的焦點(diǎn)在x軸上且過點(diǎn)(3，2)時(shí)，可設(shè)拋物線方程為y22px(p0)，把(3，2)代入得222p(3)，p，所求拋物線方程為y2x.當(dāng)拋物線的焦點(diǎn)在y軸上且過點(diǎn)(3，2)時(shí)，可設(shè)拋物線方程為x22py(p0)，把(3，2)代入得(3)22p2，p，所求拋物線方程為x2y.綜上，所求拋物線方程為y2x或x2y.(2)直線x2y40與x軸的交點(diǎn)為(4，0)，與y軸的交點(diǎn)為(0，2)，故

7、拋物線的焦點(diǎn)為(4，0)或(0，2)，當(dāng)拋物線的焦點(diǎn)為(4，0)時(shí)，設(shè)拋物線方程為y22px(p0)，4，p8，拋物線方程為y216x.當(dāng)拋物線的焦點(diǎn)為(0，2)時(shí)，設(shè)拋物線方程為x22py(p0)，2，p4，拋物線方程為x28y.綜上，所求拋物線方程為y216x或x28y.(3)設(shè)所求焦點(diǎn)F在x軸上的拋物線的標(biāo)準(zhǔn)方程為y22px(p0)，A(m，3).則由拋物線的定義得|AF|5，點(diǎn)A在拋物線上，(3)22pm，從而可得p1或p9.所求拋物線的標(biāo)準(zhǔn)方程為y22x或y218x.反思與感悟拋物線標(biāo)準(zhǔn)方程的求法(1)定義法：建立適當(dāng)?shù)淖鴺?biāo)系，利用拋物線的定義列出動點(diǎn)滿足的條件，列出方程，進(jìn)行化簡，

8、根據(jù)定義求出p，最后寫出標(biāo)準(zhǔn)方程.(2)待定系數(shù)法：由于標(biāo)準(zhǔn)方程有四種形式，因而在求方程時(shí)應(yīng)首先確定焦點(diǎn)在哪一個(gè)半軸上，進(jìn)而確定方程的形式，然后再利用已知條件確定p的值.跟蹤訓(xùn)練3根據(jù)下列條件，求拋物線的標(biāo)準(zhǔn)方程.(1)焦點(diǎn)為(2，0)；(2)焦點(diǎn)到準(zhǔn)線的距離是4；(3)過點(diǎn)(1，2).解(1)焦點(diǎn)在x軸的負(fù)半軸上，2，即p4.所以拋物線的方程是y28x.(2)p4，拋物線的方程有四種形式：y28x，y28x，x28y，x28y.(3)方法一點(diǎn)(1，2)在第一象限，要分兩種情形討論：當(dāng)拋物線的焦點(diǎn)在x軸上時(shí)，設(shè)拋物線的方程為y22px (p0)，則222p1，解得p2，拋物線方程為y24x；當(dāng)

9、拋物線的焦點(diǎn)在y軸上時(shí)，設(shè)拋物線的方程為x22py(p0)，則122p2，解得p，拋物線方程為x2y.方法二設(shè)所求拋物線的標(biāo)準(zhǔn)方程為y2mx或x2ny，將點(diǎn)(1，2)代入，得m4，n，故所求的方程為y24x或x2y.類型三拋物線在實(shí)際生活中的應(yīng)用例4河上有一拋物線形拱橋，當(dāng)水面距拱橋頂5 m時(shí)，水面寬為8 m，一小船寬4 m、高2 m，載貨后船露出水面上的部分高0.75 m，問：水面上漲到與拋物線拱橋拱頂相距多少米時(shí)，小船開始不能通航？解如圖，以拱橋的拱頂為原點(diǎn)，以過拱頂且平行于水面的直線為x軸，建立平面直角坐標(biāo)系. 設(shè)拋物線方程為x22py(p0).由題意可知，點(diǎn)B(4，5)在拋物線上，故p

10、，得x2y.當(dāng)船面兩側(cè)和拋物線接觸時(shí)，船不能通航，設(shè)此時(shí)船面寬為AA，則A(2，yA)，由22yA，得yA.又知船面露出水面上的部分高為0.75 m，所以h|yA|0.752(m).所以水面上漲到與拋物線形拱橋拱頂相距2 m時(shí)，小船開始不能通航.反思與感悟涉及拱橋、隧道的問題，通常需建立適當(dāng)?shù)钠矫嬷苯亲鴺?biāo)系，利用拋物線的標(biāo)準(zhǔn)方程進(jìn)行求解.跟蹤訓(xùn)練4某拋物線形拱橋跨度是20米，拱橋高度是4米，在建橋時(shí)，每4米需用一根支柱支撐，求其中最長支柱的長.解如圖，建立平面直角坐標(biāo)系，設(shè)拋物線方程為x22py(p0). 依題意知，點(diǎn)P(10，4)在拋物線上，所以1002p(4)，2p25.即拋物線方程為x2

11、25y.因?yàn)槊?米需用一根支柱支撐，所以支柱橫坐標(biāo)分別為6，2，2，6.由圖知，AB是最長的支柱之一.設(shè)點(diǎn)B的坐標(biāo)為(2，yB)，代入x225y，得yB.所以|AB|43.84，即最長支柱的長為3.84米.1.拋物線y2x0的開口()A.向上 B.向下 C.向左 D.向右答案C解析拋物線方程y2x0可化為y2x.2.拋物線y28x的焦點(diǎn)坐標(biāo)和準(zhǔn)線方程分別為()A.(1，0)，x1 B.(2，0)，x2C.(3，0)，x3 D.(4，0)，x4答案B解析拋物線y28x的焦點(diǎn)坐標(biāo)為(2，0)，準(zhǔn)線方程為x2.3.已知拋物線的焦點(diǎn)到準(zhǔn)線的距離為3，則拋物線方程可以為()A.y2x B.y22xC.x

12、23y D.x26y答案D解析由題意知p3，故選D.4.拋物線x28y上的點(diǎn)M到x軸的距離為6，則點(diǎn)M與拋物線的焦點(diǎn)間的距離為_.答案8解析由拋物線定義可得|MF|68.5.分別求滿足下列條件的拋物線的標(biāo)準(zhǔn)方程：(1)準(zhǔn)線方程為y3；(2)拋物線與橢圓1的一個(gè)焦點(diǎn)相同.解(1)準(zhǔn)線方程為y3，則3，p6，所以拋物線的標(biāo)準(zhǔn)方程為x212y.(2)橢圓1的焦點(diǎn)坐標(biāo)為F1(1，0)，F(xiàn)2(1，0)，所以拋物線的標(biāo)準(zhǔn)方程為y24x.1.焦點(diǎn)在x軸上的拋物線，其標(biāo)準(zhǔn)方程可以統(tǒng)設(shè)為y2mx(m0)，此時(shí)焦點(diǎn)坐標(biāo)為F(，0)，準(zhǔn)線方程為x；焦點(diǎn)在y軸上的拋物線，其標(biāo)準(zhǔn)方程可以統(tǒng)設(shè)為x2my(m0)，此時(shí)焦點(diǎn)

13、為F(0，)，準(zhǔn)線方程為y.2.設(shè)M是拋物線上一點(diǎn)，焦點(diǎn)為F，則線段MF叫作拋物線的焦半徑.若M(x0，y0)在拋物線y22px(p0)上，則根據(jù)拋物線的定義，拋物線上的點(diǎn)到焦點(diǎn)的距離和到準(zhǔn)線的距離可以相互轉(zhuǎn)化，所以焦半徑|MF|x0.40分鐘課時(shí)作業(yè)一、選擇題1.已知拋物線C：y2x的焦點(diǎn)為F，A(x0，y0)是C上一點(diǎn)，|AF|x0，則A點(diǎn)的坐標(biāo)為()A.(1，1) B.(1，1)C.(1，1) D.(1，0)答案B解析由拋物線的定義，可得|AF|x0，|AF|x0，x0x0，x01.把x01代入y2x，得y1，y01，點(diǎn)A的坐標(biāo)為(1，1).2.已知拋物線y22px(p0)的準(zhǔn)線經(jīng)過點(diǎn)(

14、1，1)，則該拋物線焦點(diǎn)坐標(biāo)為()A.(1，0) B.(1，0)C.(0，1) D.(0，1)答案B解析拋物線y22px(p0)的準(zhǔn)線方程為x.由題設(shè)知1，即p2，故焦點(diǎn)坐標(biāo)為.故選B.3.動點(diǎn)到點(diǎn)(3，0)的距離比它到直線x2的距離大1，則動點(diǎn)的軌跡是()A.橢圓 B.雙曲線C.雙曲線的一支 D.拋物線答案D解析已知條件可等價(jià)于“動點(diǎn)到點(diǎn)(3，0)的距離等于它到直線x3的距離”，由拋物線的定義可判斷，動點(diǎn)的軌跡為拋物線，故選D.4.已知拋物線的頂點(diǎn)在原點(diǎn)，焦點(diǎn)在y軸上，拋物線上的點(diǎn)P(m，2)到焦點(diǎn)的距離為4，則m的值為()A.4 B.2 C.4或4 D.12或2答案C解析由題可設(shè)拋物線的標(biāo)

15、準(zhǔn)方程為x22py(p0).由定義知點(diǎn)P到準(zhǔn)線的距離為4，故24，p4，x28y.將點(diǎn)P的坐標(biāo)代入x28y，得m4.5.當(dāng)a為任意實(shí)數(shù)時(shí)，直線(2a3)xy4a20恒過定點(diǎn)P，則過點(diǎn)P的拋物線的標(biāo)準(zhǔn)方程是()A.x232y或y2xB.x232y或y2xC.y232x或x2yD.y232x或x2y答案C解析直線方程可化為3xy2a(2x4)0，由得定點(diǎn)P的坐標(biāo)為(2，8)，利用排除法知C正確.6.已知點(diǎn)A(2，3)在拋物線C：y22px(p0)的準(zhǔn)線上，記C的焦點(diǎn)為F，則直線AF的斜率為()A. B.1 C. D.答案C解析因?yàn)閽佄锞€C：y22px的準(zhǔn)線方程為x，且點(diǎn)A(2，3)在準(zhǔn)線上，故2，

16、解得p4.所以拋物線方程為y28x，焦點(diǎn)F的坐標(biāo)為(2，0)，這時(shí)直線AF的斜率kAF.7.從拋物線y24x圖像上一點(diǎn)P引拋物線準(zhǔn)線的垂線，垂足為M，且|PM|5，設(shè)拋物線焦點(diǎn)為F，則MPF的面積為()A.10 B.8 C.6 D.4答案A解析設(shè)P(x0，y0)，|PM|5，x04，y04，SMPF|PM|y0|10.二、填空題8.已知橢圓x2ky23k(k0)的一個(gè)焦點(diǎn)與拋物線y212x的焦點(diǎn)重合，則該橢圓的離心率是_.答案解析拋物線的焦點(diǎn)為F(3，0)，橢圓的方程為1，3k39，k4，離心率e.9.拋物線y4x2上的一點(diǎn)M到焦點(diǎn)的距離為1，則點(diǎn)M的縱坐標(biāo)是_.答案解析拋物線方程化為x2y，

17、準(zhǔn)線為y.由于點(diǎn)M到焦點(diǎn)的距離為1，所以M到準(zhǔn)線的距離也為1，所以M點(diǎn)的縱坐標(biāo)等于1.10.設(shè)拋物線y28x的焦點(diǎn)為F，準(zhǔn)線為l，P為拋物線上一點(diǎn)，PAl，A為垂足，如果直線AF的斜率為，那么|PF|_.答案8解析如圖所示，直線AF的方程為y(x2).與準(zhǔn)線方程x2聯(lián)立，得A(2，4).設(shè)P(x0，4)，代入拋物線y28x，得8x048，x06.|PF|x028.三、解答題11.已知O為坐標(biāo)原點(diǎn)，F(xiàn)為拋物線C：y24x的焦點(diǎn)，P為C上一點(diǎn)，若|PF|4，求POF的面積.解拋物線C的準(zhǔn)線方程為x，焦點(diǎn)F(，0)，由|PF|4及拋物線的定義知，P點(diǎn)的橫坐標(biāo)xP3，從而yP2，SPOF|OF|yP|22.12.已知拋物線的頂點(diǎn)在原點(diǎn)，焦點(diǎn)在y軸上，拋物線上一點(diǎn)M(m，3)到焦點(diǎn)F的距離為5，求m的值、拋物線方程及其準(zhǔn)線方程.解方法一設(shè)所求拋物線方程為x22py(p0)，則焦點(diǎn)F的坐標(biāo)為(0，).因?yàn)镸(m，3)在拋物線上，且|MF|5，故解