2017參數(shù)方程學(xué)案

1、第2講參數(shù)方程【考情分析】考查直線、圓和圓錐曲線的參數(shù)方程以及簡(jiǎn)單的應(yīng)用問(wèn)題基礎(chǔ)梳理1參數(shù)方程的意義在平面直角坐標(biāo)系中，如果曲線上的任意一點(diǎn)的坐標(biāo)x，y都是某個(gè)變量的函數(shù)并且對(duì)于t的每個(gè)允許值，由方程組所確定的點(diǎn)M(x，y)都在這條曲線上，則該方程叫曲線的參數(shù)方程，聯(lián)系變數(shù)x，y的變數(shù)t是參變數(shù)，簡(jiǎn)稱參數(shù)相對(duì)于參數(shù)方程而言，直接給出點(diǎn)的坐標(biāo)間關(guān)系的方程叫做普通方程2常見(jiàn)曲線的參數(shù)方程的一般形式(1)經(jīng)過(guò)點(diǎn)P0(x0，y0)，傾斜角為的直線的參數(shù)方程為(t為參數(shù))設(shè)P是直線上的任一點(diǎn)，則t表示有向線段的數(shù)量(2)圓的參數(shù)方程(為參數(shù))(3)圓錐曲線的參數(shù)方程橢圓1的參數(shù)方程為(為參數(shù))雙曲線1的

2、參數(shù)方程為(為參數(shù))拋物線y22px的參數(shù)方程為(t為參數(shù))雙基自測(cè)1 極坐標(biāo)方程cos 和參數(shù)方程(t為參數(shù))所表示的圖形分別是()A直線、直線 B直線、圓C圓、圓 D圓、直線解析cos x，cos 代入到cos ，得，2x，x2y2x表示圓又相加得xy1，表示直線答案D2若直線(t為實(shí)數(shù))與直線4xky1垂直，則常數(shù)k_.解析參數(shù)方程所表示的直線方程為3x2y7，由此直線與直線4xky1垂直可得1，解得k6.答案63二次曲線(是參數(shù))的左焦點(diǎn)的坐標(biāo)是_解析題中二次曲線的普通方程為1左焦點(diǎn)為(4,0)答案(4,0)4(2011廣州調(diào)研)已知直線l的參數(shù)方程為：(t為參數(shù))，圓C的極坐標(biāo)方程為

3、2sin ，則直線l與圓C的位置關(guān)系為_(kāi)解析將直線l的參數(shù)方程：化為普通方程得，y12x，圓2sin 的直角坐標(biāo)方程為x2(y)22，圓心(0，)到直線y12x的距離為，因?yàn)樵摼嚯x小于圓的半徑，所以直線l與圓C相交答案相交5(2011廣東)已知兩曲線參數(shù)方程分別為(0)和(tR)，它們的交點(diǎn)坐標(biāo)為_(kāi)解析由(0)得，y21(y0)由(tR)得，xy2，5y416y2160.解得：y2或y24(舍去)則xy21又0，得交點(diǎn)坐標(biāo)為.答案考向一參數(shù)方程與普通方程的互化【例1】把下列參數(shù)方程化為普通方程：(1)(2)審題視點(diǎn) (1)利用平方關(guān)系消參數(shù)；(2)代入消元法消去t.解(1)由已知由三角恒等式c

4、os2 sin21, 可知(x3)2(y2)21，這就是它的普通方程(2)由已知t2x2，代入y5t中，得y5(2x2)，即xy50就是它的普通方程 參數(shù)方程化為普通方程：化參數(shù)方程為普通方程的基本思路是消去參數(shù)，常用的消參方法有代入消去法、加減消去法、恒等式(三角的或代數(shù)的)消去法，參數(shù)方程通過(guò)代入消元或加減消元消去參數(shù)化為普通方程，不要忘了參數(shù)的范圍【訓(xùn)練1】 (2010陜西)參數(shù)方程(為參數(shù))化成普通方程為_(kāi)解析由得 22得：x2(y1)21.答案x2(y1)21考向二直線與圓的參數(shù)方程的應(yīng)用【例2】已知圓C：(為參數(shù))和直線l：(其中t為參數(shù)，為直線l的傾斜角)(1)當(dāng)時(shí)，求圓上的點(diǎn)到

5、直線l距離的最小值；(2)當(dāng)直線l與圓C有公共點(diǎn)時(shí)，求的取值范圍審題視點(diǎn) (1)求圓心到直線l的距離，這個(gè)距離減去圓的半徑即為所求；(2)把圓的參數(shù)方程化為直角坐標(biāo)方程，將直線的參數(shù)方程代入得關(guān)于參數(shù)t的一元二次方程，這個(gè)方程的0.解(1)當(dāng)時(shí)，直線l的直角坐標(biāo)方程為xy30，圓C的圓心坐標(biāo)為(1,0)，圓心到直線的距離d，圓的半徑為1，故圓上的點(diǎn)到直線l距離的最小值為1.(2)圓C的直角坐標(biāo)方程為(x1)2y21，將直線l的參數(shù)方程代入圓C的直角坐標(biāo)方程，得t22(cos sin )t30，這個(gè)關(guān)于t的一元二次方程有解，故4(cos sin )2120，則sin2，即sin或sin .又0，

6、故只能sin，即，即. 如果問(wèn)題中的方程都是參數(shù)方程，那就要至少把其中的一個(gè)化為直角坐標(biāo)方程【訓(xùn)練2】 已知直線l的參數(shù)方程為(參數(shù)tR)，圓C的參數(shù)方程為(參數(shù)0,2)，求直線l被圓C所截得的弦長(zhǎng)解由消參數(shù)后得普通方程為2xy60，由消參數(shù)后得普通方程為(x2)2y24，顯然圓心坐標(biāo)為(2,0)，半徑為2.由于圓心到直線2xy60的距離為d，所以所求弦長(zhǎng)為2 .考向三圓錐曲線的參數(shù)方程的應(yīng)用【例3】求經(jīng)過(guò)點(diǎn)(1,1)，傾斜角為135的直線截橢圓y21所得的弦長(zhǎng)審題視點(diǎn) 把直線方程用參數(shù)表示，直接與橢圓聯(lián)立，利用根與系數(shù)的關(guān)系及弦長(zhǎng)公式可解決解由條件可知直線的參數(shù)方程是(t為參數(shù))，代入橢圓方

7、程可得21，即t23t10.設(shè)方程的兩實(shí)根分別為t1、t2，則由二次方程的根與系數(shù)的關(guān)系可得則直線截橢圓的弦長(zhǎng)是|t1t2| . 普通方程化為參數(shù)方程：化普通方程為參數(shù)方程的基本思路是引入?yún)?shù)，即選定合適的參數(shù)t，先確定一個(gè)關(guān)系xf(t)(或y(t)，再代入普通方程F(x，y)0，求得另一關(guān)系y(t)(或xf(t)一般地，常選擇的參數(shù)有角、有向線段的數(shù)量、斜率，某一點(diǎn)的橫坐標(biāo)(或縱坐標(biāo))普通方程化為參數(shù)方程需要引入?yún)?shù)，選擇的參數(shù)不同，所得的參數(shù)方程也不一樣【訓(xùn)練3】 (2011南京模擬)過(guò)點(diǎn)P(3,0)且傾斜角為30的直線和曲線(t為參數(shù))相交于A、B兩點(diǎn)，求線段AB的長(zhǎng)解直線的參數(shù)方程為(

8、s為參數(shù))，又曲線(t為參數(shù))可以化為x2y24，將直線的參數(shù)方程代入上式，得s26s100，設(shè)A、B對(duì)應(yīng)的參數(shù)分別為s1，s2.s1s26，s1s210.|AB|s1s2|2.如何解決極坐標(biāo)方程與參數(shù)方程的綜合問(wèn)題從近兩年的新課標(biāo)高考試題可以看出，對(duì)參數(shù)方程的考查重點(diǎn)是直線的參數(shù)方程、圓的參數(shù)方程和圓錐曲線的參數(shù)方程的簡(jiǎn)單應(yīng)用，特別是利用參數(shù)方程解決弦長(zhǎng)和最值等問(wèn)題，題型為填空題和解答題【示例】 (本題滿分10分)(2011新課標(biāo)全國(guó))在直角坐標(biāo)系xOy中，曲線C1的參數(shù)方程為(為參數(shù))M是C1上的動(dòng)點(diǎn)，P點(diǎn)滿足2，P點(diǎn)的軌跡為曲線C2.(1)求C2的方程；(2)在以O(shè)為極點(diǎn)，x軸的正半軸為

9、極軸的極坐標(biāo)系中，射線與C1的異于極點(diǎn)的交點(diǎn)為A，與C2的異于極點(diǎn)的交點(diǎn)為B，求|AB|. 第(1)問(wèn)：利用代入法；第(2)問(wèn)把曲線C1、曲線C2均用極坐標(biāo)表示，再求射線與曲線C1、C2的交點(diǎn)A、B的極徑即可解答示范 (1)設(shè)P(x，y)，則由條件知M.由于M點(diǎn)在C1上，所以即從而C2的參數(shù)方程為(為參數(shù))(5分)(2)曲線C1的極坐標(biāo)方程為4sin ，曲線C2的極坐標(biāo)方程為8sin .射線與C1的交點(diǎn)A的極徑為14sin ，射線與C2的交點(diǎn)B的極徑為28sin .所以|AB|21|2.(10分) 很多自主命題的省份在選考坐標(biāo)系與參數(shù)方程中的命題多以綜合題的形式命題，而且通常將極坐標(biāo)方程、參數(shù)方程相結(jié)合，以考查考生的轉(zhuǎn)化與化歸的能力【試一試】 (2011江蘇