《對(duì)坐標(biāo)的曲面積分》PPT課件.ppt

1、對(duì)坐標(biāo)的曲面積分,一、對(duì)坐標(biāo)的曲面積分的概念與性質(zhì),二、對(duì)坐標(biāo)的曲面積分的計(jì)算方法,三、兩類(lèi)曲面積分之間的聯(lián)系,一、對(duì)坐標(biāo)的曲面積分的概念與性質(zhì),1. 引例 設(shè)穩(wěn)定流動(dòng)的不可壓縮流體的速度場(chǎng)為,求單位時(shí)間流過(guò)有向曲面 的流量 .,說(shuō)明:,(1) 穩(wěn)定流動(dòng).,(2) 不可壓縮流體.,(3) 有向曲面.,觀(guān)察以下曲面的側(cè) (假設(shè)曲面是光滑的),曲面分上側(cè)和下側(cè),曲面分內(nèi)側(cè)和外側(cè),曲面分左側(cè)和右側(cè),莫比烏斯帶(單側(cè)曲面的典型),曲面法向量的指向決定曲面的側(cè).,決定了側(cè)的曲面稱(chēng)為有向曲面,其方向用法向量指向,表示 :,方向余弦, 0 為前側(cè) 0 為后側(cè),封閉曲面, 0 為右側(cè) 0 為左側(cè), 0 為上側(cè)

2、 0 為下側(cè),外側(cè) 內(nèi)側(cè),側(cè)的規(guī)定,在曲面的上側(cè)cosg 0，,在曲面的下側(cè)cosg 0,g (,例如: 由方程zz(x, y)表示的曲面,分為上側(cè)與下側(cè)，, 設(shè) 為有向曲面,其面元,在 xoy 面上的投影記為,的面積為,則規(guī)定,類(lèi)似可規(guī)定,解決方法: 微積分思想,大化小,常代變,近似和,取極限.,(1) 若 是面積為S 的有向平面,法向量:,流速為常向量:,則流量,(2) 若 是一般的有向曲面,法向量:,則流量,V(x, y, z),設(shè) 為光滑的有向曲面, 在 上定義了一個(gè),意分割和在局部面元上任意取點(diǎn),分,記作,P, Q, R 叫做被積函數(shù);, 叫做積分曲面.,或第二類(lèi)曲面積分.,下列極限

3、都存在,向量場(chǎng),若對(duì) 的任,2. 定義.,稱(chēng)為Q 在有向曲面上對(duì) z, x 的曲面積分;,稱(chēng)為R 在有向曲面上對(duì) x, y 的曲面積分.,稱(chēng)為P 在有向曲面上對(duì) y, z 的曲面積分;,說(shuō)明:,(1) 流過(guò)有向曲面 的流體的流量為,(2) 三個(gè)對(duì)坐標(biāo)的曲面積分之和的簡(jiǎn)記形式：,如果S是分片光滑的有向曲面，則規(guī)定:函數(shù)在S上對(duì)坐標(biāo)的 曲面積分等于函數(shù)在各片光滑曲面上對(duì)坐標(biāo)的曲面積分之和,(3) 在分片光滑的曲面上對(duì)坐標(biāo)的曲面積分：,(4) 存在條件:,(2) 用 表示 的反向曲面, 則,3. 性質(zhì),(1) 若,之間無(wú)公共內(nèi)點(diǎn), 則,二、對(duì)坐標(biāo)的曲面積分的計(jì)算方法,定理: 設(shè)光滑曲面,是 上的連續(xù)

4、函數(shù), 則,其中如果取曲面的上側(cè),則二重積分號(hào)前帶正號(hào); 如果取曲面的下側(cè),則二重積分號(hào)前帶負(fù)號(hào),證:,說(shuō)明:, 若,則有,(前正后負(fù)), 若,則有,(右正左負(fù)),順口溜: 一投二代三定向,計(jì)算曲面積分,把有向曲面,分成以下六部分：,的上側(cè)；,的下側(cè)；,的前側(cè)；,的后側(cè)；,的右側(cè)；,例34.1.,解：,的左側(cè).,除,外，其余四片曲面,在yoz面上的投影為0，,因此：,類(lèi)似地可得：,于是所求曲面積分為：,解:,例34.2,計(jì)算,其中是球面,外側(cè),在,的部分,.,取下側(cè);,取上側(cè);,三、兩類(lèi)曲面積分之間的聯(lián)系,(對(duì)坐標(biāo)的曲面積分),(對(duì)面積的曲面積分),事實(shí)上,曲面的方向用法向量的方向余弦刻畫(huà),注

5、:,向量形式,記 有向曲面 的單位法向量為,令,位于原點(diǎn)電量為 q 的點(diǎn)電荷產(chǎn)生的電場(chǎng)為,解:,例34.3.,設(shè),是其外法線(xiàn)與 z 軸正向,夾成的銳角, 計(jì)算,解:,例34.4.,計(jì)算曲面積分,其中,解: 利用兩類(lèi)曲面積分的聯(lián)系, 有, 原式 =,旋轉(zhuǎn)拋物面,介于平面 z= 0,及 z = 2 之間部分的下側(cè).,例34.5.,原式 =,設(shè)S 是球面,的外側(cè) , 計(jì)算,解: 利用輪換對(duì)稱(chēng)性, 有,例34.6.,內(nèi)容小結(jié),定義:,1. 兩類(lèi)曲面積分及其聯(lián)系,性質(zhì):,聯(lián)系:,思考:,的方向有關(guān),上述聯(lián)系公式是否矛盾 ?,兩類(lèi)曲線(xiàn)積分的定義一個(gè)與 的方向無(wú)關(guān), 一個(gè)與 ,2. 常用計(jì)算公式及方法,面積

6、分,第一類(lèi) (對(duì)面積),第二類(lèi) (對(duì)坐標(biāo)),二重積分,(1) 統(tǒng)一積分變量,代入曲面方程 (方程不同時(shí)分片積分),(2) 積分元素投影,第一類(lèi)： 面積投影,第二類(lèi)： 有向投影,(4) 確定積分域,把曲面積分域投影到相關(guān)坐標(biāo)面,注：二重積分是第一類(lèi)曲面積分的特殊情況.,轉(zhuǎn)化,當(dāng),時(shí)，,（上側(cè)取“+”, 下側(cè)取“”),類(lèi)似可考慮在 yoz 面及 zox 面上的二重積分轉(zhuǎn)化公式 .,求,取外側(cè) .,解:,注意號(hào),其中,備用題,例34.7.,利用輪換對(duì)稱(chēng)性,莫比烏斯,全名：奧古斯特費(fèi)迪南德莫比烏斯 （August FerdiUs MobiUs，1790 1868年）是德國(guó)數(shù)學(xué)家、天文學(xué)家。 1790年

7、11月17日生于德國(guó)瑙姆堡附近 的舒爾普福塔。1808年入萊比錫大學(xué) 學(xué)習(xí)法律，后轉(zhuǎn)攻數(shù)學(xué)、物理和天文。 1814年獲博士學(xué)位，1816年任副教授， 1829年當(dāng)選為柏林科學(xué)院通訊院士， 1844年任萊比錫大學(xué)天文與高等力學(xué) 教授。1868年9月26日卒于萊比錫。,莫比烏斯的科學(xué)貢獻(xiàn)涉及天文和數(shù)學(xué)兩大領(lǐng)域。在數(shù)學(xué)方 面,首先是他對(duì)19世紀(jì)射影幾何學(xué)的影響。莫比烏斯發(fā)展了射影 幾何學(xué)的代數(shù)方法。,他在重心計(jì)算（1827年）一書(shū)中，創(chuàng)立了代數(shù)射影 幾何的基本概念-齊次坐標(biāo)。在同一著作中他還揭示了對(duì) 偶原理與配極之間的關(guān)系，并對(duì)交比概念給出了完善的處理。他較早對(duì)拓?fù)鋵W(xué)作深入的探討并給出恰當(dāng)?shù)奶岱?。?/p>

8、外，莫 比烏斯對(duì)球面三角等其它數(shù)學(xué)分支也有重要貢獻(xiàn)。,公元1858年，莫比烏斯發(fā)現(xiàn)：把一個(gè)扭轉(zhuǎn)180后再兩 頭粘接起來(lái)的紙條，具有魔術(shù)般的性質(zhì)。,因?yàn)?，普通紙帶具有兩個(gè)面（即雙側(cè)曲面），一個(gè)正面， 一個(gè)反面，兩個(gè)面可以涂成不同的顏色；而這樣的紙帶只有一 個(gè)面（即單側(cè)曲面），一只小蟲(chóng)可以爬遍整個(gè)曲面而不必跨過(guò) 它的邊緣！,我們把這種由莫比烏斯發(fā)現(xiàn)的神奇的單面紙帶，稱(chēng)為“莫 比烏斯帶”。,“莫比烏斯帶”在生活和生產(chǎn)中已經(jīng)有了一些用途。例如， 用皮帶傳送的動(dòng)力機(jī)械的皮帶就可以做成“莫比烏斯帶”狀， 這樣皮帶就不會(huì)只磨損一面了。如果把錄音機(jī)的磁帶做成“莫 比烏斯帶”狀，就不存在正反兩面的問(wèn)題了，磁帶就只有一個(gè) 面了。,莫比烏斯帶是一種拓?fù)鋱D形,什么是拓?fù)淠兀客負(fù)渌芯?的是幾何圖形的一些性質(zhì)，它們?cè)趫D形被彎曲、拉大、縮小 或任意的變形下保持不變，只要在變形過(guò)程中不使原來(lái)不同 的點(diǎn)重合為同一個(gè)點(diǎn)，又不產(chǎn)生新點(diǎn)。換句話(huà)說(shuō)，這種變換 的條件是：在原來(lái)圖形的點(diǎn)與變換了圖形的點(diǎn)之間存在著一 一對(duì)應(yīng)的關(guān)系，并且鄰近的點(diǎn)還是鄰近的點(diǎn)。這樣的變換叫 做拓?fù)渥儞Q。拓?fù)?/p>