機械振動學PPT

1、單自由度系統(tǒng)的振動,第一章,為什么要研究單自由度系統(tǒng)的振動？,2. 在工程上有許多振動系統(tǒng)可以簡化為單自由度系統(tǒng)，用單自由度系統(tǒng)的振動理論就可以得到滿意的結(jié)果。,3. 單自由度系統(tǒng)的基本概念具有普遍意義。多自由度系統(tǒng)和無限自由度系統(tǒng)的振動，在特殊的坐標系中考察時，顯示出與單自由度系統(tǒng)類似的性態(tài)。,引言,單自由度系統(tǒng)的振動是進一步學習多自由度系統(tǒng)振動的基礎。,引言,振動系統(tǒng)的組成,振動系統(tǒng)的組成,彈性元件是提供振動的回復力，慣性元件是承載運動的實體，阻尼在振動過程中消耗系統(tǒng)的能量和吸收外界的能量。,1. 彈性元件,彈性元件的意義和性質(zhì),振動系統(tǒng)的組成,假定振動系統(tǒng)的振動幅值不會超過彈性元件的線性

2、范圍；,振動系統(tǒng)的組成,彈簧的等效剛度系數(shù),振動系統(tǒng)的組成,振動系統(tǒng)的組成,2. 慣性元件,1 . 慣性元件的意義和性質(zhì),振動系統(tǒng)的組成,3 阻尼元件,1 . 阻尼元件的意義和性質(zhì),阻尼系數(shù)：使阻尼器產(chǎn)生單位速度所需施加的力，單位：,振動系統(tǒng)的組成,單自由度系統(tǒng)的振動方程,結(jié)論：只要以系統(tǒng)靜平衡位置為坐標原點，那么在列寫系統(tǒng)運動方程時就可以不考慮系統(tǒng)重力的作用。,無阻尼單自由度系統(tǒng)的自由振動,正確理解固有頻率的概念,會求單自由度無阻尼系統(tǒng)的固有頻率,第一章：單自由度系統(tǒng)的振動,無阻尼單自由度系統(tǒng)的自由振動,1. 固有頻率概念的引出,圖 無阻尼單自由度系統(tǒng),特征方程,對固有頻率的正確理解：,固有

3、頻率僅取決于系統(tǒng)的剛度和質(zhì)量；,固有頻率與初始條件和外力等外界因素無關，是系統(tǒng)的固有特性； 它與系統(tǒng)是否振動著以及如何進行振動的方式都毫無關系,固有頻率,2 初始擾動引起的自由振動,自由振動：,運動方程：,特征根：,無阻尼單自由度系統(tǒng)的自由振動,振幅：,初相位：,自由振動：,初始條件是外界能量注入的一種方式，有初始位移即注入了彈性勢能， 有初始速度即注入了動能。,無阻尼的質(zhì)量彈簧系統(tǒng)受到初始擾動后，其自由振動是以 為振動 頻率的簡諧振動，并且永無休止；,簡諧運動三要素,無阻尼單自由度系統(tǒng)的自由振動,(1) 簡諧振動是一種周期振動,3 簡諧振動的特征,無阻尼單自由度系統(tǒng)的自由振動,固有頻率,表示

4、單位時間內(nèi)重復振動的次數(shù).,無阻尼單自由度系統(tǒng)的自由振動,(2) 簡諧振動的位移、速度和加速度之間的關系,速度與位移的“相位差是90度”意味著什么？,加速度與位移的“相位差是180度”意味著什么？,位移最大時，速度為零；速度最大時，位移為零,加速度與位移的最大值出現(xiàn)在同一時刻，但符號相反,無阻尼單自由度系統(tǒng)的自由振動,兩個同頻率不同的簡諧振動的合成，如果兩頻率比為有理數(shù)（可通約）時，合成振動為周期振動；為無理數(shù)時，為非周期振動；,合成信號：,無阻尼單自由度系統(tǒng)的自由振動,拍：合振幅隨時間做周期型變化，振動時而加強、時而減弱.,一個拍,無阻尼單自由度系統(tǒng)的自由振動,（振幅）,例：升降機籠的質(zhì)量為

5、 ，由鋼絲繩牽掛以等速度 向下運動。 鋼絲繩的剛度系數(shù)為 ，質(zhì)量可忽略不計。如果升降機運行中急剎車，鋼絲繩上端突然停止運動，求此時鋼絲繩所受的最大張力。,解:,無阻尼單自由度系統(tǒng)的自由振動,微分方程法：,4 求單自由度無阻尼系統(tǒng)固有頻率的幾種方法,能量方法：,等效質(zhì)量和等效剛度法：,靜變形法：,無阻尼單自由度系統(tǒng)的自由振動,有阻尼單自由度系統(tǒng)的自由振動,第一章：單自由度系統(tǒng)的振動,有阻尼單自由度系統(tǒng)的自由振動,阻尼：阻礙物體運動，消耗系統(tǒng)能量的各種因素統(tǒng)稱為阻尼。,阻尼的機理十分復雜，只靠物理學上的、力學上的定 理是不能得到實際系統(tǒng)的阻尼的。因此，阻尼往往通 過實驗來確定。,阻尼既有有用的一面

6、也有有害的一面：,有用的一面：消耗系統(tǒng)振動能量，減小振動幅值，增加系統(tǒng)的穩(wěn)定性,有害的一面：增加運動阻力，降低運動速度,牛頓第二定律：,自由運動方程：,1.自由運動微分方程的建立,有阻尼單自由度系統(tǒng)的自由振動,2 特征根,有阻尼單自由度系統(tǒng)的自由振動,(1) 過阻尼情況,特征方程有一對互異實根，故通解為：,有阻尼單自由度系統(tǒng)的自由振動,圖 質(zhì)量塊對初始位移的過阻尼響應,結(jié)論：過阻尼系統(tǒng)的自由運動為衰減非振蕩運動。,有阻尼單自由度系統(tǒng)的自由振動,(2) 臨界阻尼情況,特征方程有一對相等實根，故通解：,有阻尼單自由度系統(tǒng)的自由振動,圖 質(zhì)量塊對初始條件的臨界阻尼響應,結(jié)論：臨界阻尼系統(tǒng)的自由運動為

7、衰減非振蕩運動。,有阻尼單自由度系統(tǒng)的自由振動,(3)欠阻尼情況,或：,有阻尼單自由度系統(tǒng)的自由振動,振幅按指數(shù)規(guī)律 衰減；,自由振動具有等時性，即相鄰兩個正（負）峰值之間的時間間隔均為:,自由振動為非周期振動；,3. 欠阻尼振動特性：,有阻尼單自由度系統(tǒng)的自由振動,引入對數(shù)衰減率來描述振動衰減的快慢,相鄰的兩次振動振幅之比的自然對數(shù)叫作對數(shù)衰減率。,當系統(tǒng)阻尼比較小時，有：,有阻尼單自由度系統(tǒng)的自由振動,簡諧激勵下無阻尼系統(tǒng)的受迫振動,簡諧激勵下有阻尼系統(tǒng)的受迫振動,從數(shù)學的角度理解共振現(xiàn)象,會求單自由度有阻尼系統(tǒng)的受迫振動響應,會根據(jù)幅頻特性曲線計算系統(tǒng)的阻尼比,掌握單自由度有阻尼系統(tǒng)的受

8、迫振動的特征,第一章：單自由度系統(tǒng)的振動,簡諧激勵下無阻尼系統(tǒng)的受迫振動,受迫振動:,受迫振動方程：,系統(tǒng)在持續(xù)的外界控制的激勵的作用下所發(fā)生的振動。,自激振動方程（顫振）：,受迫振動方程：,齊次方程通解：,簡諧激勵下無阻尼系統(tǒng)的受迫振動,理解共振現(xiàn)象的數(shù)學本質(zhì),1.如果,非齊次方程通解：,特解：,待定常數(shù)：,簡諧激勵下無阻尼系統(tǒng)的受迫振動,2.如果,特解：,特解的形式：,待定常數(shù)：,簡諧激勵下無阻尼系統(tǒng)的受迫振動,圖 共振響應,簡諧激勵下無阻尼系統(tǒng)的受迫振動,【思考】：實際系統(tǒng)在共振時，其振幅會是無限大么？,1.實際系統(tǒng)都存在阻尼，阻尼能夠使系統(tǒng)在共振時維持有限的振幅。,2.當振幅增大到一定

9、程度后，支配系統(tǒng)運動的微分方程已經(jīng)不再是 線性微分方程了，而是非線性運動微分方程，所以此時根據(jù)線性 運動方程得到的結(jié)果已經(jīng)不能反映實際情況了。,簡諧激勵下無阻尼系統(tǒng)的受迫振動,求齊次方程通解,1.簡諧激勵下受迫振動的解,運動方程：,簡諧激勵下有阻尼系統(tǒng)的受迫振動,完整的受迫振動解：,受迫振動響應的特征：,總的振動響應瞬態(tài)振動和穩(wěn)態(tài)振動的疊加；,隨著時間的增加，瞬態(tài)振動消失，響應主要由穩(wěn)態(tài)振動構(gòu)成；,穩(wěn)態(tài)振動與激勵同頻，但與激勵之間有相位差;, 穩(wěn)態(tài)振動的振幅和相位差與初始條件無關，初始條件只影響系統(tǒng)的瞬態(tài)振動。,簡諧激勵下有阻尼系統(tǒng)的受迫振動,圖 受迫振動的構(gòu)成,簡諧激勵下有阻尼系統(tǒng)的受迫振動

10、,引入兩個無量綱參數(shù)：,穩(wěn)態(tài)振動：,頻率比：,位移振幅放大因子：,位移幅頻特性,簡諧激勵下有阻尼系統(tǒng)的受迫振動,圖 位移幅頻特性,頻率比對位移響應幅值的影響：,低頻段：,簡諧激勵下有阻尼系統(tǒng)的受迫振動,高頻段：,解釋：激振力的方向改變過快，振動物體由于慣性來不及發(fā)生相應的變化，結(jié)果是近似地停著不動。,簡諧激勵下有阻尼系統(tǒng)的受迫振動,圖 位移幅頻特性,圖 位移幅頻特性,位移共振：,簡諧激勵下有阻尼系統(tǒng)的受迫振動,阻尼比對位移響應幅值的影響：,阻尼在共振區(qū), 對減小振幅有顯著作用；在遠離共振區(qū)，阻尼對減小振幅的作用不大,簡諧激勵下有阻尼系統(tǒng)的受迫振動,圖 位移幅頻特性,圖 位移相頻特性,低頻段：,

11、說明響應與激勵之間幾乎是同相的。,相位差隨頻率比的變化：,簡諧激勵下有阻尼系統(tǒng)的受迫振動,高頻段：,說明響應與激勵之間是反相的。,簡諧激勵下有阻尼系統(tǒng)的受迫振動,圖 位移相頻特性,位移共振：,說明響應與激勵之間相差90度。,簡諧激勵下有阻尼系統(tǒng)的受迫振動,圖 位移相頻特性,共振：,統(tǒng)一規(guī)定，頻率比 時發(fā)生共振。,共振時：,簡諧激勵下有阻尼系統(tǒng)的受迫振動,隔振: 在設備和基礎之間加入彈性支撐來減小相互之間所傳遞的振動量。,圖 鍛錘的彈性支撐,振動的隔離,【生活中不自覺地運用隔振原理的例子2】：,振動的隔離,第一類隔振（隔力）：通過彈性支撐隔離振源傳到基礎的力；,振動的隔離,第二類隔振（隔幅）：通

12、過彈性支撐減小基礎傳到設備的振動幅值；,圖 隔幅示意圖,振動的隔離,經(jīng)隔振器傳到基礎的彈性力和阻尼力分別為：,圖 隔力問題的力學模型,振動的隔離,【隔振的評價】,力傳遞率：,圖 隔力問題的力學模型,隔力的條件：,傳到基礎上的合力的幅值：,振動的隔離,圖 絕對運動傳遞率幅頻特性,絕對運動傳遞率：,2. 第二類隔振(隔幅),振動的隔離,周期激勵下的振動分析,任意激勵下的振動分析,理解周期激勵下受迫振動的求解思路,第一章：單自由度系統(tǒng)的振動,當外激勵不是簡諧激勵，而是一般的周期激勵，受迫振動如何求？,周期激勵下的振動分析,【思路】：,疊加原理,周期激勵,周期激勵下的振動分析,如果周期函數(shù)滿足狄利赫萊

13、條件：,1. 在一個周期內(nèi)，極大值和極小值數(shù)目是有限個；,2. 在一個周期內(nèi)，如果有間斷點存在，則間斷點數(shù)目為有限個；,3. 在一個周期內(nèi)，函數(shù)絕對值的積分為有限值，即：,傅立葉級數(shù)展開：,周期激勵下的振動分析,另一種形式：,周期激勵下的振動分析,系 統(tǒng),周期激勵下的振動分析,穩(wěn)態(tài)解：,周期激勵下的振動分析,函數(shù)：,且,函數(shù)的單位:為自變量的倒數(shù)，如自變量是時間，則單位是1s。,任意激勵下的振動分析,脈沖力的表示：,作用在 時刻沖量為I 的脈沖力,作用在 時刻單位脈沖力,任意一個量與 函數(shù)相乘后得到的是相應于該量的分布量,任意激勵下的振動分析,集中力,集中力矩,將集中力轉(zhuǎn)化為分布力,將集中力矩轉(zhuǎn)化為分布力矩,任意激勵下的振動分析,如果系統(tǒng)在零初始條件下受到一個單位脈沖力作用，響應怎么求？,初始條件變?yōu)椋?任意激勵下的振動分析,任意激勵下的振動分析,任意激勵下的振動分析,在 時刻作用的單位脈沖(沖量為1)引起的t 時刻的響應為,已知單位脈沖響應，如何求解系統(tǒng)在任意激勵下的響應？,則在 時刻作用的沖量為 引起的t 時刻的響應為,任意激勵下的振動分析,非零初始條件下，系統(tǒng)的響應：,應用初始條件： ，得,單自由度系統(tǒng)的振動分析,1.頻響函數(shù)、傳遞函數(shù),2.