中山大學信息光學習題課后答案--習題234章作業(yè)

1、最新資料推薦習題 22.1把下列函數(shù)表示成指數(shù)傅里葉級數(shù)，并畫出頻譜。(1)f ( x)rect( x2n)(2) g( x)tri( x 2n)nn2.2 證明下列傅里葉變換關系式：(1)f rect( x)rect( y)sinc()sinc( ) ;(2) f (x) ( y) sinc 2 ( )sinc2 ( ) ;(3)f 1( , ) ;(4)11fsgn( x)sgn( y);ii(5)f n(sin nx ) ;(6)f e (x2 y 2 ) / a2。2.3求 x 和 xf (2 x) 的傅里葉變換。2.4求下列函數(shù)的傅里葉逆變換，畫出函數(shù)及其逆變換式的圖形。h ()t

2、r i (1)t r i (g ()r e c t (/ 3 )r e c2.5證明下列傅里葉變換定理：(1) 在所在f ( x, y) 連續(xù)的點上ff f (x, y)f 1f 1 f ( x, y)f (x,y) ；(2) f f ( x, y)h( x, y) f f (x, y)* f ( g( x, y) 。2.6 證明下列傅里葉-貝塞爾變換關系式：(1)若 f r (r )(rr0 ) ，則 b fr (r )2r0j0 (2 r0) ;(2)若 ar1 時 f r ( r )1，而在其他地方為零，則b fr ( r )j1(2 ) aj1(2 a );(3)若 b fr(r )f

3、 ( ) ，則 b f r (r )1;a2a(4)be2 e 2r2.7 設 g(r ,) 在極坐標中可分離變量。證明若f (r , )fr (r )eim，則：f f (r , )( i) m eim h m f r ( r )其中 h m 為 m 階漢克爾變換： h m fr(r )2 rf r ( r )jm (2 r)d r 。而 ( , ) 空間頻率中的極坐0標。 (提示： eia sin xkjk (a)eikx)65最新資料推薦2.8計算下列各式的一維卷積。(1)x1* (2 x3)(2)rectx3rect22* ( x 4)* ( x 1)(3)rect x1*comb(x

4、)(4)sinrect( x)x222.9試用卷積定理計算下列各式。(1)sinc( x)*sinc( x)(2)fsinc( x)sinc(2 x)2.10 用寬度為 a 的狹縫，對平面上強度分布f ( x)2cos(2 0 x)掃描，在狹縫后用光電探測器記錄。求輸出強度分布。2.11 利用梳狀函數(shù)與矩形函數(shù)的卷積表示光柵的透過率。假定縫寬為a ，光柵常數(shù)為d ，縫數(shù)為 n 。2.12 計算下面函數(shù)的相關。(1)rectx1 rect x 1(2) tri2x 1 tri 2x 1222.13應用傅里葉定理求下面積分。(1)2(2)sinc 2 (x)sin( x)dxe xcos(2ax)

5、dx2.14求函數(shù) f ( x)rect( x) 和 f ( x)tri( x) 的一階和二階導數(shù)。2.15試求下圖所示函數(shù)的一維自相關。2.16試計算函數(shù)f ( x) rect( x 3) 的一階矩。2.17證明實函數(shù)f ( x, y) 的自相關是實的偶函數(shù)，即： rff ( x, y) r ff ( x, y) 。2.18求下列廣義函數(shù)的傅里葉變換。(1)step( x)(2)sgn( x)(3)sin(2 0 x)2.19 求下列函數(shù)的傅里葉逆變換，并畫出函數(shù)及其逆變換式的圖形。(1)h ( x)tri( x1)tri( x1)(2)g (x)rect( x / 3)rect( x)2.

6、20 表達式66最新資料推薦p( x, y)g( x, y)*combxcombyxy定義了一個周期函數(shù)，它在x 方向上的周期為x ，它在 y 方向上的周期為y 。(a) 證明 p 的傅里葉變換可以寫為：p( , )gnmnmx,x,nmyy其中 g 是 g 的傅里葉變換。(b)當 g( x, y)xrect 2y時，畫出函數(shù)p( x, y) 的圖形，并求出對應的傅里葉變換rect 2yxp(, ) 。習題 33.1設在一線性系統(tǒng)上加一個正弦輸入：g( x, y)cos2 ( xy) ，在什么充分條件下，輸出是一個空間頻率與輸入相同的實數(shù)值正弦函數(shù)？用系統(tǒng)適當?shù)奶卣鞅硎境鲚敵龅恼穹拖辔弧?.

7、2證明零階貝塞爾函數(shù)2j0 (2 0 r ) 是任何具有圓對稱脈沖響應的線性不變系統(tǒng)的本征函數(shù)。對應的本征值是什么？3.3傅里葉系統(tǒng)算符可以看成是函數(shù)到其他變換式的變換，因此它滿足本章把提出的關系系統(tǒng)的定義。試問：(a) 這個系統(tǒng)是線性的嗎？(b) 你是否具體給出一個表征這個系統(tǒng)的傳遞函數(shù)？如果能夠，它是什么？如果不能，為什么不能？3.4某一成像系統(tǒng)的輸入是復數(shù)值的物場分布u o ( x, y) ，其空間頻率含量是無限的，而系統(tǒng)的輸出是像場分布 u i (x, y) ?？梢约俣ǔ上裣到y(tǒng)是一個線性的空間不變換低通濾波器，其傳遞函數(shù)在頻域上的區(qū)間|bx ，|by 之外恒等于零。 證明，存在一個由點

8、源的方形陣列所構成的“等效” 物體 u o (x, y) ，它與真實物體u o 產(chǎn)生完全一樣的像u i ，并且等產(chǎn)供效物體的場分布可寫成：u o (x, y)u 0 ( , )sinc(n 2bx )sinc(m 2by )d dxn , ymnm2bx2by3.5 定義：11xyf (x, y)dxdy ,f ( , )d df (0,0)f (0,0)67最新資料推薦分別為原函數(shù)f ( x, y) 及其頻譜函數(shù)f (,) 的“等效面積”和“等效帶寬”，試證明：xy1上式表明函數(shù)的“等效面積”和“等效帶寬”成反比，稱為傅里葉變換反比定理，亦稱面積計算定理。3.6 已知線性不變系統(tǒng)的輸入為：f

9、 ( x)comb( x) 。系統(tǒng)的傳遞函數(shù)為rect(/ b) 。當 b1 和 b3 時，求系統(tǒng)的輸出g( x) ，并畫出函數(shù)及其頻譜。3.7 對一個線性不變系統(tǒng)，脈沖響應為：h( x)7sinc(7 x)用頻率域方法對下列的每一個輸入fi ( x) ，求其輸出gi ( x) (必要時，可取合理近似)：(1)f1 ( x)cos 4x(2)f2 (x)cos(4x)rect( x / 75)(3)f3 ( x)1cos(8x)rect( x / 75)(4)f4 ( x)comb( x)*rect(2 x)3.8給定正實常數(shù)0 和實常數(shù) a 和 b ，求證：1(1) 若 | b |，則2 0

10、1(2) 若 | b |，則2 01sinc( x / b)*cos(20 x)cos(2 0 x)| b |1sinc( x / b)*cos(20 x)0| b |(3)若 | b | a |，則 sinc( x / b)*sinc(x/ a) | b | sinc( x/ a)(4)若 | b | a | ，則 sinc( x / b)*sinc2( x / a) | b |sinc2 (x / a)213.9若限帶函數(shù)f ( x) 的傅里葉變換在帶寬w 之外恒為零， (1) 如果 | a |，證明：w1 s i n cx( a /f) *x( f ) x()(2) 如果 | a |1

11、，上面的等式還成立嗎？| a |w3.10 給定一個線性系統(tǒng)，輸入為有限延伸的矩形波：g ( x)1 comb( x / 3)rect( x /100) *rect( x)3若系統(tǒng)脈沖響應：h( x)rect( x1) 。求系統(tǒng)的輸出，并繪出傳遞函數(shù)、脈沖響應、輸出及其頻譜的圖形。3.11 給定一線性不變系統(tǒng)，輸入函數(shù)為有限延伸的三角波68最新資料推薦g ( x)1 comb( x / 2)rect( x / 50) * tri( x)2對下列傳遞函數(shù)利用圖解方法確定系統(tǒng)的輸出：(1) h ( ) rect(/ 2)(2)h ()rect( / 4)rect( / 2)3.12若對函數(shù)： h(

12、x)asinc 2 ( ax)抽樣，求允許的最大抽樣間隔。3.13證明在頻率平面上一個半徑為b 的圓之外沒有非零的頻譜分量的函數(shù)，遵從下述抽樣定理：g ( x, y)gn, m2j12 b( xn / 2b)2( ym / 2b)2 nm2b2b42b( xn / 2b) 2( ym / 2b) 2習 題 44.1 尺寸為 ab 的不透明矩形屏被單位振幅的單色平面波垂直照明，求出緊靠零后的平面上透射光場的角譜。4.2 采用單位振幅的單色平面波垂直照明具有下述透過率函數(shù)的孔徑，求菲涅耳衍射圖樣在孔徑軸上的強度分布：(1) t( x0 , y0 ) circ( x02y02 )(2) t ( x0

13、 , y0 )1,ax02y0210,其它4.3 余弦型振幅光柵的復振幅透過率為：t (x0 )abcos(2x0 / d)式中， d 為光柵的周期， ab0 。觀察平面與光柵相距z 。當 z 分別取下述值時，確定單色平面波垂直照明光柵，在觀察平面上產(chǎn)生的強度分布。2d 2zrd 2zrd 2(1) z zr(2) z(3)z2244.4 參看下圖，用向 p 點會聚的單色球面波照明孔徑。 p 點位于孔徑后面距離為 z 的觀察平面上，坐標為 (0, b) 。假定觀察平面相對孔徑的位置是在菲涅耳區(qū)內(nèi)，證明觀察平面上強度分布是以 p 點為中心的孔徑的夫瑯禾費衍射圖樣。69最新資料推薦4.5方向余弦為

14、 cos,cos，振幅為 a 的傾斜單色平面波照明一個半徑為a 的圓孔。觀察平面位于夫瑯禾費區(qū)，也孔徑相距為 z 。求衍射圖樣的強度分布。4.6環(huán)形孔徑的外徑為 2a ，內(nèi)徑為 2 a (01) 。其透射率可以表示為：1,a r0at (r0 )其他0,用單位振幅的單色平面波垂直照明孔徑，求距離為 z 的觀察屏上夫瑯禾費衍射圖樣的強度分布。4.7 下圖所示孔徑由兩個相同的圓孔構成。它們的半徑都為a ，中心距離為 d (da) 。采用單位振幅的單色平面波垂直照明孔徑，求出相距孔徑為z 的觀察平面上夫瑯禾費衍射圖樣的強度分布并畫出沿y 方向截面圖。4.8 參看下圖，邊長為2a 的正方形孔徑內(nèi)再放置

15、一個邊長為a 的正方形掩模，其中心落在( ,) 點。采用單位振幅的單色平面波垂直照射，求出與它相距為z 的觀察平面上夫瑯禾費射圖樣的光場分布。畫出xy0 時，孔徑頻譜在x 方向上的截面圖。70最新資料推薦4.9 下圖所示孔徑由兩個相同的矩孔構成，它們的寬度為a ，長度為 b ，中心相距 d 。采用單位振幅的單色平面波垂直照明，求相距為 z 的觀察平面上夫瑯禾費衍射圖樣的強度分布。假定 b4a 及 d1.5a ，畫出沿 x 和 y 方向上強度分布的截面圖。4.10 下圖所示半無窮不透明屏的復振幅透過率可以用階躍函數(shù)表示，即：t (x0 )step(x0 )采用單位振幅的單色平面波垂直照明衍射屏，

16、求相距為 z 的觀察平面上夫瑯禾費衍射圖樣的復振幅分布。畫出沿 x 方向的振幅分布曲線。4.11下圖所示為寬度為a的單狹縫，它的兩半部分之間通過相位介質(zhì)引入位相差。采用單位振幅的單色平面波垂直照明，求相距為z 的觀察平面上夫瑯禾費衍射圖樣強度分布。畫出沿 x 方向的截面圖。4.12線光柵的縫寬為 a ，光柵常數(shù)為 d ，光柵整體孔徑是邊長 l 的正方形。試對下述條件，分別確定 a 和 d 之間的關系：(1) 光柵的夫瑯禾費衍射圖樣中缺少偶數(shù)級。(2) 光柵的夫瑯禾費衍射圖樣中第三級為極小。4.13 衍射屏由兩個錯開的網(wǎng)絡構成，其透過率可以表示為：71z 的觀察平面上夫瑯禾費衍射圖樣的強最新資料推薦t ( x , y )c o m bx (a/) c o my b b(/)cxo m b a(a 0 . 1) /y) b c o m b (/)000000采用單位振幅的單色平面波垂直照明，求相距為度分布。畫出沿 x 方向的截面圖。4.14 如下圖所示為透射式鋸齒形位相光柵。其折射率為 n ，齒寬為 a ，齒形角為 ，光柵的整體孔徑為邊長為 l 的正方形。采用單位振幅的單色平面波垂直照明