北京市東城區(qū)2019屆高三數(shù)學4月綜合練習一模試題理_第1頁
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1、北京市東城區(qū) 2018-2019學年度第 ? 學期高三綜合練習(一)數(shù)學(理科)本試卷共5 頁,共 150 分??荚嚂r長 120分鐘。考 ?生務必將答案答在答題卡上,在試卷上作答 ?無效??荚嚱Y束后,將答題卡交回。第一部分(選擇題共 40 分)一、選擇題共 8 小題,每小題5分,共 40分。在每小題列 列出的四個選項中,選出符合題目要求的 ? 一項。( 1)已知集合 ax 2x2x0 , bx 2x1 0, 則 a i b1( b)1( a) x xx x22( c)x x 0(d) r( 2)在復平 ? 面內(nèi),若復數(shù)(2i) z 對應的點在第 ? 二象限,則 z可以為( a)( c)2( b

2、)1i(d)2+i( 3)在平面直角坐標系xoy 中,角以 ox為始邊, 終邊經(jīng)過點 p( 1,m)(m0) ,則下列各式的值一定為負的是(a)sincos(b)sincos(c)sincossin(d)tan( 4)正方體被一個平面截去 ? 一部分后,所得幾何體的三視圖如圖所示,則該截面圖形的形狀為( a)等腰三角形 ( b)直角三角形( c)平行四邊形 ( d)梯形xy0( 5)若 x, y 滿足 y10,則 xy 的最大值為y2x6( a) 0( b) 1( c)2(d) 4( 6)已知直線l過拋物線2y8x的焦點,與拋物線交于,兩點,與其準線交于點c.若fa b點 f 是 的 ac中點

3、,則線段bc 的長為8(b)3(c)16(d)6(a)33( 7)南北朝時代的偉大數(shù)學家祖暅在數(shù)學上有突出貢獻, 他在實踐的基礎提出祖暅原理: “冪勢既同,則 積不容異” . 其含義是:夾在兩個平行平面之間的兩個幾何體,被平行于這兩個平行平面的任意平面所截,如果截得的兩個截面的面積總相等,那么這兩個幾何體的體積相- 1 - / 12等 . 如圖,夾在兩個平行平面之間的兩個幾何體的體積分別為v1 ,v2 ,被平行于這兩個平? 面的任意平面截得的兩個截面的面積分別為s1 , s2 ,則“ v1,v2相等”是“ s1 , s2 總相等”的(a) 充分 ? 而不不必要條件(b)必要 ? 而不 不充分條

4、件(c)充分必要條件(d)既不不充分也不 不必要條件( 8)已知數(shù)列an滿足: a1a , an+1 =an1(nn*) ,則下列關于an的判 斷正確的2an是( a)a 0, n2, 使得 an2( b) a 0, n2, 使得 anan 1( c)a 0, m n *,總有 aman( d) a 0, mn *, 總有 am nan第二部分(非選擇題共 110分)二、填空題共 6小題,每小題 5分,共 30分。( 9 )在 (2x)6 的展開式中,x2的系數(shù)是.(用數(shù)字作答)( 10)在abc 中,若 b cosccsin b0,則c =.( 11)若曲線 c :xacos(為參數(shù))關于直

5、線l :x1t( t 為參數(shù) ) 對稱,則y2siny22ta; 此時原點 o到曲線 c 上點的距離的最大值為.( 12)已知向量=(1,3),向量b為單位向量,且ab=1,則 2b- a與 2b夾角為 .a( 13)已知函數(shù) f ( x)4xx 3 ,若x1 , x2 a,b, x1x2都有2 f ( x1 x2 )f (2 x1 )f (2 x2 ) 成立,則滿足條件的一個區(qū)間是.0, x,0, xb( 14)設 a,b 是 r 中兩個子集,對于xr ,定義: ma1, xn1,xb,a若 a b . 則對任意 xr , m(1n); 若對任意 xr , mn1,則 a,b 的關系為.三、

6、解 答題共 6? 小題,共 80分。解答應寫出 ?文字說明,演算步驟或證明過程。( 15)(本小題 13分)- 2 - / 12已知函數(shù) f ( x) 4a cos xsin( x) ,且 f () 1 .63( )求 a 的值及 f ( x) 的最小正周期;( )若 f ( x) 在區(qū)間 0, m 上單調(diào)遞增,求f (x) 的最大值 .( 16)(本小題 13 分)改革開放 40 年年來,體育產(chǎn)業(yè)蓬勃發(fā)展反映了“健康中國”理念的普及下圖是我國2006年至 2016 年體 育產(chǎn)業(yè)年增加值及年增速圖其中條形圖為體育產(chǎn)業(yè)年增加值(單位:億元),折線圖為體育產(chǎn)業(yè)年增長率()( )從 2007年至 2

7、016 年隨機選擇 1年,求該年體育產(chǎn)業(yè)年增加值比前一年的體育產(chǎn)業(yè)年增加值多億 元以上的概率;( )從 2007 年至 2016 年隨機選擇 3年,設 x 是選出的三年中體育產(chǎn)業(yè)年增長率超過20%的年數(shù),求x的分布列 列與數(shù)學期望;( )由圖判斷,從哪年開始連續(xù)三年的體育產(chǎn)業(yè)年增長率方差最大?從哪年開始連續(xù)三年的體育產(chǎn)業(yè)年增加值方差最大?(結論不不要求證明)( 17)(本小題14分)如圖,在棱長均為2 的三棱柱 abc a1b1c1中,點 c 在平面 a1 abb1 內(nèi)的射影 o為 ab1 與 a1b的 交點, e,f分別為 bc , ac11 的中點()求證:四邊形a1 abb1 為正方形;

8、- 3 - / 12( )求直線 ef與平面 a1 acc1 所成角的正弦值;( )在線段 ab1上存在一點 d,使得直線 ef 與平面 a1cd 沒有 公共點,求ad 的值 .db1( 18)(本小題 13分)設函數(shù) f ( x)2( a2) xln x 的極小值點為 x0 .ax( i )若 x01,求a的值 f(x) 的單調(diào)區(qū)間;( ii )若 0x0 1,在曲線 yf ( x) 上是否存在點 p,使得點 p 位于 x 軸的下方?若存在,求出一個點 p 坐標,若不存在,說明理由.( 19)(本小題 13分)已知橢圓 c : x2y21(m0) 與 x 軸交于兩點 a1 , a2 ,與 y

9、 軸的一個交點為b, ba1 a24mm的面積 為 2.( )求橢圓 c 的方程及離心率;( )在 y 軸右側(cè)且平行于y 軸的直線 l 與橢圓 交于不同的兩點1 2 ,直線1 1 與直線p , pa pa2p2 交于點 p. 以原點 o為圓心, 以 a1b 為半徑的圓與x 軸交于兩點 m,n(點 m在點 n的左側(cè)),求 pmpn的值 .( 20)(本小題 14分)已知 ln ,數(shù)列a: a1,a2,l ,an 中的項均為不大于l 的正整數(shù) .ck 表示 a1 , a2 ,l , an 中 k的個數(shù) (k1,2,l ,l ) .定義變換 t , t 將數(shù)列 a 變成數(shù)列 t ( a) : t(

10、a1 ), t(a2 ),t (an ) 其中t(k) lc1c2 l ck .n()若 l4 ,對數(shù)列 a: 1,1, 2, 3,3, 4 ,寫出 ci (1i 4) 的值;()已知對任意的k(k1,2, n) ,存在 a 中的項 am ,使得 amk .求證:(tai) ai (i1,2,l , n) 的充分必要條件為cic j (i, j1,2,l , l) ;()若 ln ,對于數(shù)列 a : a1 , a2 ,l , an ,令 t (t (a) : b1, b2 ,l ,bn ,求證: bit(ai ) (i1,2, n).北京市東城區(qū)2018-2019 學年度第二學期高三綜合練習(

11、一)2- 4 - / 12019.4數(shù)學(理科)參考答案及評分標準一、選擇題(共8 小題,每小題5 分,共40 分)( 1) c( 2)b( 3)d( 5) d( 6)c( 7)b二、填空題(共6 小題,每小題5 分,共30 分)3( 9) 60(10) 4( 11) 313+1(12) 60( 13) (0,1)( 答案不唯一 )(14) 0三、解答題(共6 小題,共80 分)( 15)(共 13 分)f () 14a111解:()由已知3,得22,解得 a 1.x4cossinxx6314cos x(sin xcosx)2223 sin x cos x22cos x3 sin 2xcos2

12、 x1( 4) a( 8) daer b2sin(2 x) 16f ( x)2 sin(2x)1所以6的最小正周期為.7分f ( x) 2sin(2 x) 1.()由()知6當 x2 x,2m ,0, m 時,666若 f (x) 在區(qū)間 0, m 上單調(diào)遞增,2m6 2 ,即m則有3 .所以m的最大值為3 .13分- 5 - / 12( 16)(共 13 分)解 : ()設 a 表示事件“從 2007 年至 2016 年隨機選出 1 年,該年體育產(chǎn)業(yè)年增加值比前一年的體育產(chǎn)業(yè)年增加值多 500 億元以上”由題意可知,2009 年, 2011 年, 2015 年, 2016 年滿足要求,故4

13、24分pa105.()由題意可知,x 的所有可能取值為0 , 1, 2 , 3,且p(x0)c63=1p(x1)c14 c62136 ;3=c10c102 ;21331p(x2)c4c6p(x3)c4=3=330 .c1010 ;c10所以 x 的分布列為:x0123p1131621030故x的期望e ( x ) 011 1233166210305 .10分()從 2008 年或 2009 年開始連續(xù)三年的體育產(chǎn)業(yè)年增長率方差最大從2014年 開 始 連 續(xù)三年 的 體 育 產(chǎn) 業(yè) 年 增 加 值 方 差 最大.13分( 17)(共 14 分)解:()連結 co 因為 c 在平面 a1 abb

14、1 內(nèi)的射影 o 為 ab1 與 a1 b 的交點,c1c所以 co平面 a1 abb1 e- 6 - / 12fbb1oa 1a由已知三棱柱 abc a1 b1c1 各棱長均相等,所以 ac bc ,且 a1abb1為菱形 .由勾股定理得 oaob ,即 ab1a1b .所以四邊形 a1abb1 為正方形 .5分()由()知 co平面 a1 abb1, co oa,cooa1 .在正方形 a1 abb1 中, oa1oa 如圖建立空間直角坐標系oxyz由題意得o(0,0,0), a1(2,0,0), a(0,2,0), b(2,0,0), c(0,0, 2), c1 ( 2,2, 2) ,2

15、,0,222e (), f ( 2,)2222 所以 a1a(2,2,0), ac(0,2,2).z設平面 a1 acc1 的法向量為m( x, y, z),m aa10,2x2 y0,m ac0.2y2z0.則即c1ce令 x1,則 y1,z1.fbb1于是 m (1,1,1)o322a1aef,0)xy(,2又因為2,設直線 ef 與平面 a1acc1所成角為,則sin| cosm ,efm ef30|15m ef所 以 直 線ef與 平 面a1 ac所 成 角 的 正 弦 值 為3015 .10分11()直線 ef 與平面 acd 沒有公共點,即 ef平面 acd 設 d 點坐標為 (0

16、, y0 ,0) , d 與 o 重合時不合題意,所以 y00 因為 a d(2, y0 ,0) , ac( 2,0,2) 11- 7 - / 12設n( x1 , y1 , z1 ) 為 平 面 a1cd的法向量,n a1d 0,2x1y0 y10,則 n a1c0.2x12 z10.即y12y0 , z11.令 x1 1,則n(1,2y,1).于是0若 ef 平面acd1 , n ef0 .ef(322 ,2 ,0)又2,32220y022y0所以,解得此時 ef平面 acd1,ad22423db13 .所以,所ad1db12 .14( 18)(共 13 分)解:()f ( x) 定義域為

17、 (0,) .23 以分- 8 - / 12f (x)2ax(a2)12ax 2(a2) x 1(2 x1)(ax1)xxx.由已知,得f(1)0 ,解得 a = 1.當 a = 1時,f ( x)(2 x1)(x1) ,x當 0x1時, f(x) 0 ;當 x1時, f(x)0 .所以 f(x) 的遞減區(qū)間為(0,1) ,單調(diào)遞增區(qū)間為(1,+ ? ).所以 a1時函數(shù) f ( x) 在 x 1 處取得極小值 .即f (x)的極小值點為1時a的值為1.6分( ii ) 當 0x0 1時,曲線 yf ( x) 上不存在點 p 位于 x 軸的下方,理由如下:f (x)(2 x1)(ax1) ,由

18、( i )知x當 a0時, f (x)0 ,所以 f ( x) 在 (0,) 單調(diào)遞減,f (x) 不存在極小值點;當 a21xax1x = 10 時,令 x x0,得a .x(0 , 1 )時, f (x)0,f (x) 在區(qū)間(0 , 1)當aa上單調(diào)遞減;x( 1 ,)( 1 ,)當a時, f ( x)0, f ( x) 在區(qū)間 a上單調(diào)遞增 .f (1 ) = ln a + 1- 1所以aa是 f (x) 在 (0,) 上的最小值 .0x01,則有011由已知,若a,即 a1.當 a1時 , ln a0111100 ,且a,a.f ( 1)0.所以a當 0x0 1時,曲線 yf (x)

19、 上所有的點均位于x 軸的上方 .故 當 0x01 時 , 曲 線yf (x) 上 不 存 在 點 p位 于 x軸 的 下- 9 - / 12方 .13分( 19)(共 13 分)解:()因為 m0, 由橢圓方程知:a24m, b2m, a2 m,bm ,s ba a12ab 2 m m 2m 2122,所以 m1.x2y21所以橢圓 c 的方程為4.由 a2,b1, a2b2c2,得 c3 ,所以橢圓 c 的離心率為32 .5分()設點 p(xp , yp ) , p1( x0 , y0 ), p2 ( x0 , y0 )( x00), 不妨設 a1 ( 2,0), a2 (2,0),p1

20、a1y0x 2p2 a2 : yy0x 2: y2x02設x0,yy02x2 ,xp4 ,x0x0yy0x2yp2y0 .由x02得x0x04 ,xp4x yypxp2ypy00p=.22xp即42x022( xp)4 yp 21又 4y01,得 4xp 2,化簡得xp 2yp 21( xp0).4- 10 - / 12a (2,0), b(0,1)a1 b5m (5,0), n (5,0).因為1,所以,即所以點 p 的軌跡為雙曲線x2y21a1 , a2 為雙曲線4的右支, m , n 兩點恰為其焦點,的頂點,且a1a24,所以pm pn4 .13分( 20) (共 14 分)解:()c1

21、=2c2 =1c3 =2c4 =1.3分()由于對任意的正整數(shù)k (1kl) ,存在 a 中的項 am ,使得 am k .所以 c1, c2,l,cl 均不為零 .t(k)lc1c2lckt ( ai )ai(1i n)n必要性:若,由于,t(1)lc11t(2)c1c22t(3)lc1c2 c33t(l)c1c2 l clnlnnln.所以有; ;l通過解此方程組,可得cicj (i,j1,2,l , l)成立 .充分性:若 cic j(i, j1,2,l,l) 成立,不妨設 hcic j (i, j1,2,l ,l) ,可以得到 hl n .t(1)lh1t (2) l2h2t( l) llhl所以有:n;n3h;n.; (3)l n 3; l所以t ( ai )ai( 1 in )成立 .9分()設 a : a1,a2,l , an 的所有不同取值為 u1,u2,l , um ,且滿足: u1u2lum .不妨設a : u11, u12,l ,u1r1,u2

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