《光波的數(shù)學(xué)描述》PPT課件.ppt

1、光學(xué)信息技術(shù)原理及應(yīng)用,光波的數(shù)學(xué)描述,(六),衍射：按照索末菲定義是“不能用反射或折射來解釋的光線對(duì)直線光路的任何偏離” 光的標(biāo)量衍射理論的條件 （1）衍射孔徑比波長(zhǎng)大很多， （2）觀察點(diǎn)離衍射孔不太靠近； 經(jīng)典的標(biāo)量衍射理論最初是1678年惠更斯提出的，1818年菲涅耳引入干涉的概念補(bǔ)充了惠更斯原理，1882年基爾霍夫利用格林定理，采用球面波作為求解波動(dòng)方程的格林函數(shù)，導(dǎo)出了嚴(yán)格的標(biāo)量衍射公式,一 什么是標(biāo)量衍射理論？,作為空間和時(shí)間函數(shù)的電場(chǎng)或磁場(chǎng)分量 ，在任一空間無源點(diǎn)上滿足標(biāo)量波動(dòng)方程 式中 是拉普拉斯算符，電磁場(chǎng)在介質(zhì)中傳播速度 而 、 為介質(zhì)的介電系數(shù)和磁導(dǎo)率。 滿足該方程的基本

2、解的線性組合都是方程的解。球面波和平面波都是波動(dòng)方程的基本解。任何復(fù)雜的波都可以用球面波和平面波的線性組合表示，也都是滿足波動(dòng)方程的解。,標(biāo)量波動(dòng)方程,取最簡(jiǎn)單的簡(jiǎn)諧振動(dòng)作為波動(dòng)方程的特解，單色光場(chǎng)中某點(diǎn)在時(shí)刻的光振動(dòng)可表示成 用復(fù)指數(shù)函數(shù)表示光振動(dòng)是方便的，上式變成 將花括號(hào)內(nèi)的由空間位置確定的部分合在一起定義成一個(gè)物理量 稱為單色光場(chǎng)中點(diǎn)的復(fù)振幅，它包含了點(diǎn)光振動(dòng)的振幅和初位相，僅僅是位置坐標(biāo)的復(fù)值函數(shù)，與時(shí)間無關(guān) 光強(qiáng)可用復(fù)振幅表示成,光振動(dòng)的復(fù)振幅定義,在僅涉及滿足疊加原理的線性運(yùn)算（加、減、積分和微分等）時(shí)，可用復(fù)指數(shù)函數(shù)替代表示光振動(dòng)的余弦函數(shù)形式。在運(yùn)算的任何一個(gè)階段對(duì)復(fù)指數(shù)函數(shù)

3、取實(shí)部，與直接用余弦函數(shù)進(jìn)行運(yùn)算在同一個(gè)階段得到的結(jié)果是相同的 故可將復(fù)振幅波動(dòng)方程化簡(jiǎn)為 其中 稱為波數(shù)，表示單位長(zhǎng)度上產(chǎn)生的相位變化，定義為 化簡(jiǎn)后的波動(dòng)方程稱為亥姆霍茲方程，是不含時(shí)間的偏微分方程。在自由空間傳播的任何單色光擾動(dòng)的復(fù)振幅都必須滿足這個(gè)不含時(shí)間的波動(dòng)方程。這也就意味著，可以用不含時(shí)間變量的復(fù)振幅分布完善地描述單色光波場(chǎng),亥姆霍茲方程,從點(diǎn)光源發(fā)出的光波，在各向同性介質(zhì)中傳播時(shí)形成球形的波面，稱為球面波。一個(gè)復(fù)雜的光源常常可以看做是許多點(diǎn)光源的集合,它所發(fā)出的光波就是球面波的疊加 這些點(diǎn)光源互不相干時(shí)是光強(qiáng)相加，相干時(shí)則是復(fù)振幅相加。 球面波的等位相面是一組同心球面，每個(gè)點(diǎn)上

4、的振幅與該點(diǎn)到球心的距離成反比 當(dāng)直角坐標(biāo)的原點(diǎn)與球面波中心重合時(shí)，單色發(fā)散球面波在光場(chǎng)中任何一點(diǎn)產(chǎn)生的復(fù)振幅可寫作 為離開點(diǎn)光源單位距離處的振幅 對(duì)于會(huì)聚球面波球面波方程指數(shù)上加負(fù)號(hào),球面波的復(fù)振幅表示,球面波在平面上的等位相線,當(dāng)點(diǎn)光源或會(huì)聚點(diǎn)位于空間任意一點(diǎn)時(shí)，有 考察與其相距 的平面 上的光場(chǎng)分布。 可寫為 如果 利用二項(xiàng)式展開，并略去高階項(xiàng)，得到 將近似式代入發(fā)散球面波表達(dá)式，得到在平面上平面波復(fù)振幅分布為,球面波在平面上的復(fù)振幅分布,發(fā)散球面波在平面上產(chǎn)生的復(fù)振幅分布的位相因子中包括兩項(xiàng) 常量位相因子 與傳播距離有關(guān) 隨平面坐標(biāo)變化的第二項(xiàng)稱作球面波的（二次）位相因子，當(dāng)平面上復(fù)振

5、幅分布的表達(dá)式中包含有下述因子，就可以認(rèn)為距離該平面處有一個(gè)點(diǎn)光源發(fā)出的球面波經(jīng)過這個(gè)平面。 位相相同的點(diǎn)的軌跡，即等位相線方程為同心圓族,球面波的位相因子和等位相線,平面波在 面上的等位相線,在任意時(shí)刻、與波矢量相垂直的平面上振幅和位相為常數(shù)的光波稱為平面波 如波矢量 表示光波的傳播方向，其大小為 ，方向余弦為 ，則平面波傳播到空間某點(diǎn)的復(fù)振幅的一般表達(dá)式為 其中 為常量振幅。由于方向余弦滿足 于是復(fù)振幅可寫為 其中,平面波的復(fù)振幅表示,和球面波表達(dá)式類似，平面波復(fù)振幅可分成與坐標(biāo)有關(guān)和與坐標(biāo)無關(guān)的兩部分 與坐標(biāo) 有關(guān)的 是表征平面波特點(diǎn)的線性位相因子，當(dāng)平面上復(fù)振幅分布的表達(dá)式中包含有這種

6、因子，就可以認(rèn)為有一個(gè)方向余弦為 的平面波經(jīng)過這個(gè)平面 平面波等位相線方程為 因此，等位相線是一些平行直線。 前面圖中用虛線表示出相位值相差 的一組波面與平面 的交線，即等位相線；它們是一組平行等距的斜直線,平面波的位相因子和等位相線,， ， 方向上平面波的空間頻率分別定義為 從而平面波的復(fù)振幅的一般表達(dá)式變?yōu)?空間頻率的倒數(shù)即為振蕩周期（X，Y，Z） 空間頻率表示在 、 、 軸上單位距離內(nèi)的復(fù)振幅周期變化的次數(shù)。這就是平面波空間頻率的物理意義 空間頻率與平面波的傳播方向有關(guān)，波矢量與軸的夾角越大，則在軸上的投影就越大，也就是在該方向上的空間頻率就越小，空間頻率的最大值是波長(zhǎng)的倒數(shù),平面波的空間頻率,傳播矢量 位于 平面的平面波在 平面上的空間頻率 。,空間頻率的物理意義,時(shí)間倒數(shù)：頻率；長(zhǎng)度倒數(shù)：空間頻率，即在單位長(zhǎng)度內(nèi)周期函數(shù)變化的周數(shù)（單位：周/mm，線對(duì)/mm，L/mm，等 ） 信息光學(xué)中有兩種空間頻率，一種是空間強(qiáng)度分布，單位為：周/mm，線對(duì)/mm，L/mm，等，對(duì)二維圖象進(jìn)行頻譜分析得到的圖象頻譜對(duì)應(yīng)的空間頻率； 另一種是平面波對(duì)應(yīng)的空間頻率，因?yàn)殡姶挪ㄔ诰鶆蚪橘|(zhì)中波長(zhǎng)是常數(shù)，在其傳播方向上空間頻率是