二元函數(shù)的連續(xù)性

1、3 二元函數(shù)的連續(xù)性,無論是單元微積分還是多元微積分, 其中,所討論的函數(shù), 最重要的一類就是連續(xù)函數(shù).,二元函數(shù)連續(xù)性的定義比一元函數(shù)更一般化,了些; 而它們的局部性質(zhì)與在有界閉域上的,整體性質(zhì), 二者完全相同.,一、二元函數(shù)的連續(xù)性概念,二、有界閉域上連續(xù)函數(shù)的性質(zhì),返回,一、二元函數(shù)的連續(xù)性概念, 連續(xù)性的定義,則稱 f 關(guān)于集合 D 在點(diǎn) 連續(xù).在不致誤解的情形,下, 也稱 f 在點(diǎn) 連續(xù).,若 f 在 D 上任何點(diǎn)都關(guān)于集合 D 連續(xù),則稱 f 為 D,上的連續(xù)函數(shù).,由上述定義知道: 若 是 D 的孤立點(diǎn),則 必定是,f 的連續(xù)點(diǎn). 若 是 D 的聚點(diǎn), 則 f 關(guān)于集合 D 在點(diǎn)

2、,連續(xù)等價(jià)于,如果 是 D 的聚點(diǎn), 而 (2) 式不成立 (其含義與一元,函數(shù)的對(duì)應(yīng)情形相同 ), 則稱 是 f 的不連續(xù)點(diǎn) (或,稱間斷點(diǎn)). 特別當(dāng) (2) 式左邊極限存在, 但不等于,如上節(jié)例1、2 給出的函數(shù)在原點(diǎn)連續(xù); 例3、4、5,給出的函數(shù)在原點(diǎn)不連續(xù). 又若把上述例3 的函數(shù),改為,上，這時(shí)由于,其中 m 為固定實(shí)數(shù), 亦即函數(shù) f 只定義在,在坐標(biāo)原點(diǎn)的連續(xù)性,因此 f 在原點(diǎn)沿著直線 是連續(xù)的,例1 討論函數(shù),解 由于當(dāng),在原點(diǎn)間斷, 全增量與偏增量,設(shè),量形式來描述連續(xù)性, 即當(dāng),為函數(shù) f 在點(diǎn) 的全增量. 和一元函數(shù)一樣, 可用增,時(shí), f 在點(diǎn) 連續(xù).,增量稱為偏

3、增量, 分別記作,一般說來, 函數(shù)的全增量并不等于相應(yīng)的兩個(gè)偏增,量之和.,若一個(gè)偏增量的極限為零, 如,由二元函數(shù)對(duì)單個(gè)自變量都連續(xù)，一般不能保證該,函數(shù)的連續(xù)性 (除非另外增加條件). 例如二元函數(shù),在原點(diǎn)處顯然不連續(xù), 但由于 f (0, y) = f (x, 0) = 0,因此它在原點(diǎn)處對(duì) x 和對(duì) y 分別都連續(xù).,例2 設(shè)在區(qū)域,連續(xù)試證在下列條件之一滿足時(shí)，,處處連續(xù)：,使得對(duì)任何,(ii) 對(duì)其中一個(gè)變量 (x) 的連續(xù)關(guān)于另一個(gè)變量 (y),是一致的, 即,(iii) 參見本節(jié)習(xí)題第 9 題 (這里不作證明).,證(i),又當(dāng),(ii),又由 f 對(duì) x 的連續(xù)關(guān)于 y 是一

4、致的, 故,這就證得, 連續(xù)函數(shù)的局部性質(zhì),以及相應(yīng)的有理運(yùn)算的各個(gè)法則. 下面只證明二元,若二元函數(shù)在某一點(diǎn)連續(xù), 則與一元函數(shù)一樣, 可以,證明它在這一點(diǎn)近旁具有局部有界性、局部保號(hào)性,復(fù)合函數(shù)的連續(xù)性定理, 其余留給讀者自己去練習(xí).,義, 并在點(diǎn) Q0 連續(xù), 其中,連續(xù).,在點(diǎn) 的某鄰域內(nèi)有定義, 并在,時(shí), 有,又由 、 在點(diǎn) P0 連續(xù)可知: 對(duì)上述,二、有界閉域上連續(xù)函數(shù)的性質(zhì),本段討論有界閉域上多元連續(xù)函數(shù)的整體性質(zhì). 這,可以看作閉區(qū)間上一元連續(xù)函數(shù)性質(zhì)的推廣.,定理16. 8 ( 有界性定理與最大、小值定理 ) 若二元,且能取得最大值與最小值.,又因 f 在 D上連續(xù), 當(dāng)

5、然在點(diǎn) 也連續(xù), 于是有,這與不等式 (3) 矛盾，所以 f 是 D上的有界函數(shù).,下面證明 f 在 D 上能取到最大、小值. 為此設(shè),由前面的證明知道, F 在 D上有界. 又因 f 不能在 D,在 D 上有界的結(jié)論相矛盾, 從而證得 f 在 D 上能取,到最大值.,定理16.9 (一致連續(xù)性定理) 若函數(shù) f 在有界閉域,證 本定理可參照第七章中證明一致連續(xù)性定理的,理來證明. 這里我們采用后一種證法.,方法, 運(yùn)用有限覆蓋定理來證明, 也可以運(yùn)用聚點(diǎn)定,倘若 f 在 D 上連續(xù)而不一致連續(xù), 則存在某,由于 D 為有界閉域, 因此存在收斂子列,上一致連續(xù).,定理16.10(介值性定理)

6、設(shè)函數(shù)f在區(qū)域,上連續(xù), 若P1 , P2 為 D 中任意兩點(diǎn), 且,則對(duì)任何滿足不等式,證 作輔助函數(shù),易見 F 仍在 D 上連續(xù), 且由(4)式知道,由于 D 為區(qū)域, 我們可以用有限段都在 D 中的折線,連結(jié) P1 和 P2 (如圖 16-18).,若有某一個(gè)連接點(diǎn)所對(duì)應(yīng)的函數(shù)值為 0, 則定理得,證. 否則從一端開始逐段檢查, 必定存在某直線段,使得 F 在它兩端的函數(shù)值異號(hào). 不失一般性, 設(shè)連結(jié),P1(x1, y1), P2(x2, y2) 的直線段含于 D, 其方程為,在此直線段上, F 變?yōu)殛P(guān)于 t 的復(fù)合函數(shù)：,由于 G 為 0, 1 上的一元連續(xù)函數(shù), 且,因此由一元函數(shù)根的存在定理, 在 (0, 1) 內(nèi)存在一點(diǎn),有連通性的.,界閉集 (證明過程無原則性變化). 但是介值性定理,中所考察的點(diǎn)集 D 只能假設(shè)是一區(qū)域, 這是為了保,證它具有連通性, 而一般的開集或閉集是不一定具,續(xù)函數(shù), 則 f (D) 必定是一個(gè)區(qū)間 (有限或無限).,注2 由定理16. 10 又可知道, 若 f 為區(qū)域 D 上的連,例3,注1 定理16. 8 與 16. 9 中的有界閉域 D 可以改為有,證 由定理16. 9 知道,這就證得,復(fù)習(xí)思考題,1. 在一元函數(shù)連續(xù)性定義中, 如何引入“孤立點(diǎn)必為,這兩種說法有何不同？你喜歡哪一種說法?,等函數(shù)都