概率論-6函數(shù)的分布.ppt

1、2.5 r.v. 函數(shù)的分布,方法 將與Y 有關(guān)的事件轉(zhuǎn)化成 X 的事件,問題: 已知 r.v. X 的分布律或p.d.f. fX(x),求隨機(jī)變量Y= g(X)的分布律或密度函數(shù)fY(y),一、離散型隨機(jī)變量函數(shù)的分布律,若g(xk)中有一些是相同的,則將它們作并項(xiàng).,一般，若X是離散型 r.v., X的概率分布為,則 Y=g(X) ,例1 已知 X 的概率分布為,求 Y 1= 2X 1 與 Y2= X 2 的分布律,解,故,二、連續(xù)型隨機(jī)變量函數(shù)的分布,求 Y = g( X ) 的p.d.f.,方法1、 “分布函數(shù)法”,已知 X 的p.d.f. p(x) 或分布函數(shù),例2 r.v.X的密度

2、函數(shù)為,求(1)Y=2X, (2)Z=eX的密度函數(shù),解:(1),(2)Z=eX,解:(2),當(dāng)z0時,當(dāng)z 0時,X(-,+) 時,Z=eX(0,+),0,z 0,例3.設(shè)XU(-1,1),求Y=X2的分布函數(shù)與概率密度。,當(dāng)y 0時,當(dāng)0y 1時,當(dāng)y1時,解,X(-1,1) 時,Y=X 2(0,1),練習(xí). 設(shè)XU1,2,求Y=e2X的概率密度,當(dāng)y e2時,當(dāng)e2ye4時,當(dāng)y e4時,解,X1,2 ,Y=e2Xe2, e4,e2,e4,y,Yy,x=1,x=2,x=,定理1 若XfX(x),y=g(x)是單調(diào)可導(dǎo)函數(shù)，則,注：1 只有當(dāng)g(x)是x的單調(diào)可導(dǎo)函數(shù)時，才可用 以上公式推

3、求Y的密度函數(shù)； 2 注意定義域的選擇; 3本質(zhì):,其中x=h(y)為yg(x)的反函數(shù).,方法 2、“公式法” 一般地,例4,解：,設(shè),即服從柯西分布,關(guān)于x嚴(yán)格單調(diào),反函數(shù)為,例5.已知XN(,2),求,解：,的概率密度.,關(guān)于x嚴(yán)格單調(diào),反函數(shù)為,故,( y +),即 YN(0, 1),例6 已知 X 的 p.d.f.為fX(x), Y=aX+b,a、b為常數(shù)，且 a 0, 求 fY ( y ),解,當(dāng)a 0 時，,當(dāng)a 0 時，,故,例如 設(shè) X N ( ,2) , Y = a X +b, 則,Y N ( a +b, a22 ),特別地 (前例5)，若 X N ( , 2) ,則,例7 設(shè)X N(0,1),Y=X 2,求fY(y),解,y,當(dāng) y 0 時，F(xiàn)Y (y) = 0,當(dāng) y 0 時