第4章 函數(shù)的插值法與曲線擬和法1

1、1,第4章 函數(shù)逼近的插值法 與曲線擬和法,2,一、問題的提出,1. 僅有幾個采樣點處的函數(shù)值, 而又需要知道非采樣點處的函數(shù)值。 2. 函數(shù)表達(dá)式過于復(fù)雜不便于計算, 而又需要計算許多點處的函數(shù)值。,兩種典型情況：,歸結(jié)為：構(gòu)造一個簡單函數(shù)，既能反映函數(shù)的特征，又便于計算。,3,f(x) 稱為被插值函數(shù)；,P(x0)=y0 , P(x1)=y1 , , P(xn)=yn稱為插值條件,這類問題稱為插值問題,p(x) 稱為插值函數(shù)；,x0 , x1, . , xn 稱為插值節(jié)點,x0 , xn 稱為插值區(qū)間；,4,P(x)插值函數(shù)的不同選取， 得到不同的差值問題。 三角插值:當(dāng)P(x)為一些三角

2、函數(shù)的多項式集合; 有理插值:當(dāng)P(x)為一些有理分式集合時； 多項式插值:當(dāng)P(x)為一些多項式集合時， 又稱為代數(shù)插值。,5,Lagrange插值法,6,Lagrange插值法,7,二、插值多項式的存在性和唯一性,【定理一】滿足插值條件P(x0)=y0 , P(x1)=y1 , , P(xn)=yn的次數(shù)不超過n的多項式 存在 且 唯一。,證明：設(shè)所求的插值多項式為： Pn(x) = a0 + a1x + a2x2 + + anxn,a0+a1x0+a2x0+anx0n=y0 (即:Pn(x0) =y0) a0+a1x1+a2x1+anx1n=y1 (即:Pn(x1) =y1) a0+a1

3、xn+a2xn+anxnn=yn (即:Pn(xn) =yn),8,由插值條件，得到了以上關(guān)于系數(shù) a0, a1,a2，,an的線性方程組， 其系數(shù)矩陣行列式為Vandermonde（范德蒙）行列式：,9,由于插值點互異，上述行列式不等于0， 故由克萊姆法則知：方程組存在唯一解。 即：滿足插值條件的次數(shù)不超過n的多項式存在而且唯一。,注釋： 按上述定理證明的方法可通過解線性方程組來確定插值多項式，但是計算量大，不便于使用和進(jìn)行理論分析。 因此，實際計算中不采用這種方法。,10,三、 拉格朗日插值多項式,采用基函數(shù)法構(gòu)造插值多項式 目標(biāo)：構(gòu)造函數(shù)Pn(x),滿足插值條件：Pn(x0)=y0 ,

4、Pn (x1)=y1 , , Pn (xn)=yn,11,12,13,14,15,16,顯然Pn(x)為次數(shù)不超過n次的多項式，且滿足插值條件。 故， Pn(x)為拉格朗日插值問題的解，稱為拉格朗日插值多項式。,構(gòu)造函數(shù)Pn(x)：,17,構(gòu)造插值函數(shù)Ln(x),18,19,20,21,22,23,計算機(jī)上算法實現(xiàn),上式在計算機(jī)上實現(xiàn)容易：,24,Lagrange插值算法,25,26,四、 插值余項,27,拉格朗日余項定理,28,29,拉格朗日余項定理,由Rolle定理知： 的相鄰兩個零點之間至少存在一個零點，即 在（a,b）內(nèi)至少有n+1個互異零點。 同理對 應(yīng)用Rolle定理知： 在（a,

5、b）內(nèi)至少有n個互異零點，如此反復(fù)應(yīng)用Rolle定理n+1次知： 在（a,b）內(nèi)至少有一個零點 。,30,31,拉格朗日余項定理,32,33,拉格朗日余項定理,它刻畫了拉格朗日插值的某些基本特征。 例如，余項表達(dá)式只有在f(x)的n+1階導(dǎo)數(shù)存在時才能應(yīng)用。 這就要求f(x)足夠光滑。如果所逼近的函數(shù)f(x)光滑性差，則多項式插值不一定能奏效。,34,拉格朗日插值多項式的特殊情況,35,拉格朗日插值多項式的特殊情況,36,拉格朗日插值多項式的特殊情況,37,拉格朗日插值多項式的特殊情況,38,例題,39,40,41,42,43,44,45,46,47,拋物線插值的精度與正弦函數(shù)表完全一樣。 （

6、3）相應(yīng)的誤差估計：,48,49,關(guān)于Langrange插值的幾點說明,僅與已知數(shù)據(jù) 有關(guān)，與 的原來形式無關(guān)，但余式與 密切相關(guān)。 若 本身是一個不超過n次多項式，則,50,從 角度觀察，內(nèi)插誤差要小些，即 。而外插有可能誤差變大，因此要慎用。 Langrange插值的不足 為了提高精度有時需增加結(jié)點，但這時原來求的 全改變，也就是原來的數(shù)據(jù)不能利用，浪費(fèi)資源；,51,52,53,54,55,56,57,差商的性質(zhì),58,性質(zhì)一舉例,59,差商的性質(zhì),60,61,62,63,64,65,66,插商表,67,計算Nn(x)的用秦九韶算法,68,例：采用秦九韶算法計算Nn(x) 。（取n=4）,

7、計算Nn(x)的用秦九韶算法,69,例：已知當(dāng)x=-1,0,1,2,3時，對應(yīng)的函數(shù)值為f(-1)=-2， f(0)=1， f(1)=3， f(2)=4， f(3)=8， 求f(x)的四次Newton插值多項式。,70,請完成下差商表格：,71,解：列差商表如下所示：,72,故有：,73,例題,例: 試用Newton插值公式 計算sinx在x =/12處的近似值。,代公式得,74,75,76,77,在實際應(yīng)用中 ，常是等距節(jié)點情況，即 （h0為常數(shù)，稱為步長） 這時Newton插值公式就可以簡化， 為此我們引入差分概念。,78,差分的概念,79,80,例題,81,注:檢驗差分表的正確性可根據(jù)每列差分之和等于前一 列差分的最后一數(shù)與最前一數(shù)之差。,82,83,例題,84,85,86,差分的基本性質(zhì),性質(zhì)一：,87,等距節(jié)點Newton插值公式,差商與向前差分的關(guān)系 在等距節(jié)點條件下有：,88,89,（一）Newton向前插值公式,90,差商