第4章 函數(shù)的插值法與曲線擬和法1_第1頁
第4章 函數(shù)的插值法與曲線擬和法1_第2頁
第4章 函數(shù)的插值法與曲線擬和法1_第3頁
第4章 函數(shù)的插值法與曲線擬和法1_第4頁
第4章 函數(shù)的插值法與曲線擬和法1_第5頁
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1、1,第4章 函數(shù)逼近的插值法 與曲線擬和法,2,一、問題的提出,1. 僅有幾個采樣點處的函數(shù)值, 而又需要知道非采樣點處的函數(shù)值。 2. 函數(shù)表達(dá)式過于復(fù)雜不便于計算, 而又需要計算許多點處的函數(shù)值。,兩種典型情況:,歸結(jié)為:構(gòu)造一個簡單函數(shù),既能反映函數(shù)的特征,又便于計算。,3,f(x) 稱為被插值函數(shù);,P(x0)=y0 , P(x1)=y1 , , P(xn)=yn稱為插值條件,這類問題稱為插值問題,p(x) 稱為插值函數(shù);,x0 , x1, . , xn 稱為插值節(jié)點,x0 , xn 稱為插值區(qū)間;,4,P(x)插值函數(shù)的不同選取, 得到不同的差值問題。 三角插值:當(dāng)P(x)為一些三角

2、函數(shù)的多項式集合; 有理插值:當(dāng)P(x)為一些有理分式集合時; 多項式插值:當(dāng)P(x)為一些多項式集合時, 又稱為代數(shù)插值。,5,Lagrange插值法,6,Lagrange插值法,7,二、插值多項式的存在性和唯一性,【定理一】滿足插值條件P(x0)=y0 , P(x1)=y1 , , P(xn)=yn的次數(shù)不超過n的多項式 存在 且 唯一。,證明:設(shè)所求的插值多項式為: Pn(x) = a0 + a1x + a2x2 + + anxn,a0+a1x0+a2x0+anx0n=y0 (即:Pn(x0) =y0) a0+a1x1+a2x1+anx1n=y1 (即:Pn(x1) =y1) a0+a1

3、xn+a2xn+anxnn=yn (即:Pn(xn) =yn),8,由插值條件,得到了以上關(guān)于系數(shù) a0, a1,a2,,an的線性方程組, 其系數(shù)矩陣行列式為Vandermonde(范德蒙)行列式:,9,由于插值點互異,上述行列式不等于0, 故由克萊姆法則知:方程組存在唯一解。 即:滿足插值條件的次數(shù)不超過n的多項式存在而且唯一。,注釋: 按上述定理證明的方法可通過解線性方程組來確定插值多項式,但是計算量大,不便于使用和進(jìn)行理論分析。 因此,實際計算中不采用這種方法。,10,三、 拉格朗日插值多項式,采用基函數(shù)法構(gòu)造插值多項式 目標(biāo):構(gòu)造函數(shù)Pn(x),滿足插值條件:Pn(x0)=y0 ,

4、Pn (x1)=y1 , , Pn (xn)=yn,11,12,13,14,15,16,顯然Pn(x)為次數(shù)不超過n次的多項式,且滿足插值條件。 故, Pn(x)為拉格朗日插值問題的解,稱為拉格朗日插值多項式。,構(gòu)造函數(shù)Pn(x):,17,構(gòu)造插值函數(shù)Ln(x),18,19,20,21,22,23,計算機(jī)上算法實現(xiàn),上式在計算機(jī)上實現(xiàn)容易:,24,Lagrange插值算法,25,26,四、 插值余項,27,拉格朗日余項定理,28,29,拉格朗日余項定理,由Rolle定理知: 的相鄰兩個零點之間至少存在一個零點,即 在(a,b)內(nèi)至少有n+1個互異零點。 同理對 應(yīng)用Rolle定理知: 在(a,

5、b)內(nèi)至少有n個互異零點,如此反復(fù)應(yīng)用Rolle定理n+1次知: 在(a,b)內(nèi)至少有一個零點 。,30,31,拉格朗日余項定理,32,33,拉格朗日余項定理,它刻畫了拉格朗日插值的某些基本特征。 例如,余項表達(dá)式只有在f(x)的n+1階導(dǎo)數(shù)存在時才能應(yīng)用。 這就要求f(x)足夠光滑。如果所逼近的函數(shù)f(x)光滑性差,則多項式插值不一定能奏效。,34,拉格朗日插值多項式的特殊情況,35,拉格朗日插值多項式的特殊情況,36,拉格朗日插值多項式的特殊情況,37,拉格朗日插值多項式的特殊情況,38,例題,39,40,41,42,43,44,45,46,47,拋物線插值的精度與正弦函數(shù)表完全一樣。 (

6、3)相應(yīng)的誤差估計:,48,49,關(guān)于Langrange插值的幾點說明,僅與已知數(shù)據(jù) 有關(guān),與 的原來形式無關(guān),但余式與 密切相關(guān)。 若 本身是一個不超過n次多項式,則,50,從 角度觀察,內(nèi)插誤差要小些,即 。而外插有可能誤差變大,因此要慎用。 Langrange插值的不足 為了提高精度有時需增加結(jié)點,但這時原來求的 全改變,也就是原來的數(shù)據(jù)不能利用,浪費(fèi)資源;,51,52,53,54,55,56,57,差商的性質(zhì),58,性質(zhì)一舉例,59,差商的性質(zhì),60,61,62,63,64,65,66,插商表,67,計算Nn(x)的用秦九韶算法,68,例:采用秦九韶算法計算Nn(x) 。(取n=4),

7、計算Nn(x)的用秦九韶算法,69,例:已知當(dāng)x=-1,0,1,2,3時,對應(yīng)的函數(shù)值為f(-1)=-2, f(0)=1, f(1)=3, f(2)=4, f(3)=8, 求f(x)的四次Newton插值多項式。,70,請完成下差商表格:,71,解:列差商表如下所示:,72,故有:,73,例題,例: 試用Newton插值公式 計算sinx在x =/12處的近似值。,代公式得,74,75,76,77,在實際應(yīng)用中 ,常是等距節(jié)點情況,即 (h0為常數(shù),稱為步長) 這時Newton插值公式就可以簡化, 為此我們引入差分概念。,78,差分的概念,79,80,例題,81,注:檢驗差分表的正確性可根據(jù)每列差分之和等于前一 列差分的最后一數(shù)與最前一數(shù)之差。,82,83,例題,84,85,86,差分的基本性質(zhì),性質(zhì)一:,87,等距節(jié)點Newton插值公式,差商與向前差分的關(guān)系 在等距節(jié)點條件下有:,88,89,(一)Newton向前插值公式,90,差商

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