0708線性代數(shù)A答案和評分標準

1、華南農(nóng)業(yè)大學(xué)期末考試試卷（A卷）2007學(xué)年第二學(xué)期 考試科目：線性代數(shù)考試類型：閉卷 考試時間：120分鐘一.選擇題（每題3分，共15分）1.設(shè)是任意階方陣，那么下列等式必成立的是（ ）（A）（B）（C）（D）解答：選D由于矩陣乘法沒有交換律，所以A，B，C這些需要交換律成立才能推出的等式不一定成立2.如果元齊次線性方程組有基礎(chǔ)解系并且基礎(chǔ)解系含有個解向量，那么矩陣的秩為（ ）（A）（B）（C）（D）以上答案都不正確解答:選C齊次線性方程組中未知數(shù)的個數(shù)，基礎(chǔ)解系中向量個數(shù)，系數(shù)矩陣的秩之間的關(guān)系為3.如果三階方陣的特征值為，那么及分別等于（ ）（A）10，8（B）8，10（C）-10，-8

2、（D）-8，-10解答：選B設(shè)方陣的特征值為，則，所以，4.設(shè)實二次型的矩陣為，那么（ ）（A）（B）（C）（D）解答：選A，注意到二次型的矩陣一定是對稱矩陣，因此由知，二次型的矩陣為5.若方陣的行列式，則（ ）（A）的行向量組和列向量組均線性相關(guān)；（B）的行向量組線性相關(guān)，列向量組線性無關(guān)；（C）的行向量組和列向量組均線性無關(guān)；（D）的列向量組線性相關(guān)，行向量組線性無關(guān)解答：選A方陣的行列式為零，說明方陣為降秩矩陣，即方陣的秩，從而個行向量組成的向量組的秩，說明最大無關(guān)組中向量個數(shù)，即多于個向量時一定線性相關(guān)，因此個行向量線性相關(guān)。同理個列向量線性相關(guān)這個結(jié)論是一個充分必要條件，即方陣的行列

3、式為零行（列）向量組線性相關(guān)；方陣的行列式不為零行（列）向量組線性無關(guān)二.填空題（每題3分，共30分）1.如果行列式有兩列的元對應(yīng)成比例，那么該行列式等于_解答：0判斷行列式等于零常用的幾個結(jié)論：（1）若行列式某行（列）全部為零，則行列式等于零；（2）若行列式有兩行（列）相等，則行列式等于零；（3）若行列式有兩行（列）對應(yīng)成比例，則行列式等于零2.設(shè)，是的伴隨矩陣，則_解答：（也可以填具體矩陣）關(guān)于矩陣，逆矩陣，伴隨矩陣的兩個基本等式：，其他結(jié)論都是由這兩個等式推導(dǎo)出來的，常用的有，對于本題，由于，因此，說明由于為下三角陣，行列式，因此3.設(shè)是非齊次線性方程組的解，若也是它的解，那么_解答：1

4、由是的解知由是的解知從而，由于是非齊次方程組，所以為非零向量，于是，即4.設(shè)向量與向量正交，則_解答：3兩向量正交，則內(nèi)積為零，所以，即，從而5.設(shè)為正交矩陣，則_解答：1或-1（也可以填）根據(jù)正交矩陣的定義，從而，而，所以，于是6.設(shè)是互不相同的三個數(shù)，則行列式_解答：這是三階的范德蒙行列式，可以直接用結(jié)論，也可以直接計算還可以用范德蒙行列式的計算方法計算7.要使向量組線性相關(guān)，則_解答：0方法1：由于向量組線性相關(guān)，因此齊次線性方程組有非零解從而其系數(shù)矩陣的行列式，從而方法2：向量組線性相關(guān)，則以這些向量為列組成的矩陣的秩小于其列數(shù)，即矩陣的秩小于3，矩陣為降秩矩陣，其行列式等于零，即，解

5、得8.三階可逆矩陣的特征值分別為，那么的特征值分別為_解答：設(shè)為矩陣的特征值，為對應(yīng)的特征向量，則，兩邊左乘得，從而這表明，若為矩陣的特征值，為對應(yīng)的特征向量，則就是的特征值，而且對應(yīng)的特征向量仍為9.若二次型是正定的，則的取值范圍為_解答：二次型的矩陣為，二次型正定的充分必要條件是的各階順序主子式都為正，即，即，解得10.設(shè)為階方陣，且滿足，那么_解答：由得，即，所以，這表明三.計算題（每題9分，共27分）1.已知，求矩陣使之滿足解答：由得，即（注意：現(xiàn)在還不能推導(dǎo)出，因為還沒有說明矩陣是可逆的，所以不可以出現(xiàn)），下面用初等行變換求的逆矩陣，從而說明它是可逆的所以，從而2.求行列式的值解答：

6、3.求向量組的一個最大無關(guān)組和秩解答：將向量按列排成一個矩陣，用初等行變換化為行最簡形矩陣所以是一個最大無關(guān)組，向量組的秩為3四.（10分）設(shè)有齊次線性方程組問當取何值時，上述方程組（1）有惟一的零解；（2）有無窮多個解，并求出這些解分析：齊次線性方程組有惟一零解的充分必要條件為系數(shù)矩陣的秩等于未知數(shù)的個數(shù)；有無窮多個解的充分必要條件為系數(shù)矩陣的秩小于未知數(shù)的個數(shù).對于系數(shù)矩陣為方陣的齊次線性方程組，這個結(jié)論可以敘述為：齊次線性方程組有惟一零解的充分必要條件是系數(shù)行列式不等于零（也可以敘述為系數(shù)矩陣為滿秩矩陣），有無窮多個解的充分必要條件是系數(shù)行列式等于零（也可以敘述為系數(shù)矩陣為降秩矩陣）.解

7、答：方程組的系數(shù)行列式為（1）當，即且時，方程組有惟一的零解；（2）當，即或時，方程組有無窮多個解.當時，系數(shù)矩陣對應(yīng)方程組為，解得，其中取任意數(shù)當時，系數(shù)矩陣對應(yīng)方程組為，解得，其中取任意數(shù)五.（12分）求一個正交變換，把下列二次型化成標準形解答：二次型的矩陣為r因此矩陣的特征值為對于對應(yīng)方程組為，解得，其中取任意數(shù)對于對應(yīng)方程組為，解得，其中取任意數(shù)取特征向量，正交化為單位化為取，則為正交矩陣，且所以取正交變換，則可化為六.（6分）已知平面上三條不同直線的方程分別為試證：這三條直線交于一點的充分必要條件為證明1：三條直線交于一點的充分必要條件是方程組，即有解.非齊次線性方程組有解的充分必要條件是系數(shù)矩陣的秩等于增廣矩陣的秩.（1）當時，必不全為零（這是直線方程的條件），不妨設(shè)，從而由知，從而系數(shù)矩陣的秩與增廣矩陣的秩都是2（2）當時，與不能同時成立（否則，三條直線重合，與條件相矛盾），不妨設(shè)，從而由于，從而系數(shù)矩陣的秩為2而增廣矩陣的秩為3上述兩種情況說明，系數(shù)矩陣的秩等于增廣矩陣的秩的充分必要條件是，從而結(jié)論得證.證明2：三條直線交于一點的充分必要條件是方程組，即有解.非齊次線性方程組有解的充分必要條件是系數(shù)矩陣的秩等于增廣矩陣的秩因此只要證明：系數(shù)矩陣的秩等于增廣矩陣的秩的充分必要條件是就可以了.（必要性）系數(shù)矩陣的秩最多是2，因此增廣矩陣一定是降秩矩陣，