高中數(shù)學(xué)第2講證明不等式的基本方法2綜合法與分析法學(xué)案新人教A版選修

1、二綜合法與分析法1了解綜合法與分析法證明不等式的思考過程與特點(重點)2會用綜合法、分析法證明簡單的不等式(難點)基礎(chǔ)初探教材整理1綜合法閱讀教材P23P23“例2”，完成下列問題一般地，從已知條件出發(fā)，利用定義、公理、定理、性質(zhì)等，經(jīng)過一系列的推理、論證而得出命題成立，這種證明方法叫做綜合法，又叫順推證法或由因?qū)ЧㄔO(shè)a，bR，A，B，則A，B的大小關(guān)系是()AABBABCABD.AB【解析】A2()2a2b，B2ab，所以A2B2.又A0，B0，所以AB.【答案】C教材整理2分析法閱讀教材P24P25“習(xí)題”以上部分，完成下列問題證明命題時，我們還常常從要證的結(jié)論出發(fā)，逐步尋求使它成立的充

2、分條件，直至所需條件為已知條件或一個明顯成立的事實(定義、公理或已證明的定理、性質(zhì)等)，從而得出要證的命題成立，這種證明方法叫做分析法，這是一種執(zhí)果索因的思考和證明方法設(shè)a，b，c，那么a，b，c的大小關(guān)系是() 【導(dǎo)學(xué)號：】Aabc BacbCbacD.bca【解析】由已知，可得出a，b，c，2，bca.【答案】B質(zhì)疑手記預(yù)習(xí)完成后，請將你的疑問記錄，并與“小伙伴們”探討交流：疑問1： 解惑： 疑問2： 解惑： 疑問3： 解惑： 小組合作型用綜合法證明不等式已知a，b，c是正數(shù)，求證：abc.【精彩點撥】由a，b，c是正數(shù)，聯(lián)想去分母，轉(zhuǎn)化證明b2c2c2a2a2b2abc(abc)，利用x

3、2y22xy可證或?qū)⒃坏仁阶冃螢閍bc后，再進行證明【自主解答】法一a，b，c是正數(shù)，b2c2c2a22abc2，b2c2a2b22ab2c，c2a2a2b22a2bc，2(b2c2c2a2a2b2)2(abc2ab2ca2bc)，即b2c2c2a2a2b2abc(abc)又abc0，abc.法二a，b，c是正數(shù)，22c.同理2a，2b，22(abc)又a0, b0，c0，b2c2a2c2a2b2abc(abc)故abc.1綜合法證明不等式，揭示出條件和結(jié)論之間的因果聯(lián)系，為此要著力分析已知與求證之間、不等式的左右兩端之間的差異與聯(lián)系，合理進行轉(zhuǎn)換，恰當選擇已知不等式(切入點)，這是證明的關(guān)

4、鍵2綜合法證明不等式的主要依據(jù)：(1)不等式的基本性質(zhì)；(2)基本不等式及其變形；(3)三個正數(shù)的算術(shù)幾何平均不等式等再練一題1已知a0，b0，c0，且abc2.求證：(1a)(1b)(1c)8.【證明】a0，b0，c0，1a2，當且僅當a1時，取等號，1b2，當且僅當b1時，取等號，1c2，當且僅當c1時，取等號abc2，a，b，c不能同時取1，“”不同時成立(1a)(1b)(1c)88.即(1a)(1b)(1c)8.綜合法與分析法的綜合應(yīng)用設(shè)實數(shù)x，y滿足yx20，且0a1，求證：loga(axby)loga2.【精彩點撥】要證的不等式為對數(shù)不等式，結(jié)合對數(shù)的性質(zhì)，先用分析法探路，轉(zhuǎn)化為要

5、證明一個簡單的結(jié)論，然后再利用綜合法證明【自主解答】由于0a1，則tlogax(x0)為減函數(shù)欲證loga(axay)loga2，只需證axay2a.yx20,0a1，xyxx2.當且僅當x時，(xy)max，axya，a.又axay2(當且僅當xy取等號), axay2a.由于，等號不能同時成立，式等號不成立，即axay2a成立故原不等式loga(axay)loga2成立1通過等式或不等式運算，將待證的不等式化為明顯的、熟知的不等式，從而使原不等式易于證明體現(xiàn)了分析法與綜合法之間互為前提、互相滲透、相互轉(zhuǎn)化的辯證關(guān)系2函數(shù)與不等式綜合交匯，應(yīng)注意函數(shù)性質(zhì)在解題中的運用再練一題2已知a，b，c

6、都是正數(shù)，求證：23. 【導(dǎo)學(xué)號：】【證明】法一要證23，只需證ab2abc3，即2c3，移項，得c23.由a，b，c都為正數(shù)，得c2c3，原不等式成立法二a，b，c都是正數(shù)，c33，即c23，故2c3，ab2abc3，23.探究共研型分析法證明不等式探究1如何理解分析法尋找的是充分條件？【提示】用分析法證明，其敘述格式是：要證明A，只需證明B.即說明只要有B成立，就一定有A成立因此分析法是“執(zhí)果索因”，步步尋求上一步成立的充分條件分析法體現(xiàn)了數(shù)學(xué)中“正難則反”的原則，也是思維中的逆向思維，逆求(不是逆推)結(jié)論成立的充分條件探究2綜合法與分析法有何異同點？【提示】綜合法與分析法的異同點方法證明

7、的起始步驟證法過程前后邏輯關(guān)系證題方向綜合法已知條件或已學(xué)過的定義、定理、性質(zhì)等格式：AB1B2BnB由已知條件開始推導(dǎo)其成立的必要條件(結(jié)論)由因?qū)Ч治龇ㄒC明的結(jié)論格式：BB1B2BnA由結(jié)論開始探索其成立的充分條件(已知)執(zhí)果索因已知ab0，求證：.【精彩點撥】本題要證明的不等式顯得較為復(fù)雜，不易觀察出怎樣由ab0得到要證明的不等式，因而可以用分析法先變形要證明的不等式，從中找到證題的線索【自主解答】要證原不等式成立，只需證ab2，即證()2.只需證，即1，即1.只需證1.ab0，1成立原不等式成立1解答本題的關(guān)鍵是在不等式兩邊非負的條件下，利用不等式的開方性質(zhì)尋找結(jié)論成立的充分條件，

8、采用分析法是常用方法證明過程一要注意格式規(guī)范，二要注意邏輯關(guān)系嚴密、準確2當所證不等式與重要不等式、基本不等式?jīng)]有什么直接聯(lián)系，或條件與結(jié)論之間的關(guān)系不明顯時，可用分析法來尋找證明途徑常常利用移項、去分母、平方、開方等方法進行分析探路再練一題3已知a0，求證： a2. 【導(dǎo)學(xué)號：】【證明】因為a0，要證原不等式成立，只需證2a，即證a24422，只需證a，即證2a22，只需證a22.由基本不等式知a22顯然成立，所以原不等式成立構(gòu)建體系綜合法與分析法1已知a0，1b0，則()Aaabab2Bab2abaCabaab2D.abab2a【解析】1b0，1b20b.又a0，abab2a.【答案】D2

9、下列三個不等式：a0b；ba0；b0a.其中能使成立的充分條件有()A BCD.【解析】a0b；ba0；b0a.故選A.【答案】A3已知a，b(0，)，Q，則P，Q的大小關(guān)系是_. 【導(dǎo)學(xué)號：】【解析】ab，.【答案】PQ4若0，則下列不等式：abab；|a|b|；ab；2.其中正確的有_(填序號)【解析】0，ba0，故正確，錯誤a，b同號且ab，均為正，22.故正確【答案】5已知a0，b0,2cab，求證：ca.【證明】要證ca，只需證明ca，即證ba2，當ba0時，顯然成立；當ba0時，只需證明b2a22ab4c24ab，即證(ab)24c2，由2cab知上式成立所以原不等式成立我還有這些

10、不足：(1) (2) 我的課下提升方案：(1) (2) 學(xué)業(yè)分層測評（七）(建議用時：45分鐘)學(xué)業(yè)達標一、選擇題1若a，b，cR，ab，則下列不等式成立的是()A.Ba2b2C.D.a|c|b|c|【解析】ab，c210，故選C.【答案】C2設(shè)1，則()Aaaabba BaabaabCabaabaD.abbaaa【解析】1，0ab1，aab1，abaa，.01，a0，1，aaba，abaaba.故選C.【答案】C3已知條件p：ab0，q：2，則p與q的關(guān)系是() 【導(dǎo)學(xué)號：】Ap是q的充分而不必要條件Bp是q的必要而不充分條件Cp是q的充要條件D以上答案都不對【解析】當ab0時，0，0，2

11、2.當2時，0，0，(ab)20，ab0，綜上，ab0是2的充要條件【答案】C4已知a，bR，那么下列不等式中不正確的是()A.2 B.abC. D.【解析】A滿足基本不等式；B可等價變形為(ab)2(ab)0，正確；C選項中不等式的兩端同除以ab，不等式方向不變，所以C選項不正確；D選項是A選項中不等式的兩端同除以ab得到的，D正確【答案】C5已知a，b，c為三角形的三邊且Sa2b2c2，Pabbcca，則()AS2P BPS2PCSPD.PS2P【解析】a2b22ab，b2c22bc，c2a22ca，a2b2c2abbcca，即SP.又三角形中|ab|c，a2b22abc2，同理b22bc

12、c2a2，c22aca2b2，a2b2c22(abbcca)，即S2P.【答案】D二、填空題6有以下四個不等式：(x1)(x3)(x2)2；abb2a2；0；a2b22|ab|.其中恒成立的為_(寫出序號即可)【解析】對于，x24x3x24x4,34不成立；對于，當ab0時， 00不成立；顯然成立【答案】7在RtABC中，C90，c為斜邊，則的取值范圍是_【解析】a2b2c2，(ab)2a2b22ab2(a2b2)2c2，當且僅當ab時，取等號又abc，1.【答案】(1，8已知a0，b0，若P是a，b的等差中項，Q是a，b的正的等比中項，是，的等差中項，則P，Q，R按從大到小的排列順序為_【解

13、析】P，Q，RQP，當且僅當ab時取等號【答案】PQR三、解答題9設(shè)a0，b0，c0.證明：(1)；(2).【證明】(1)a0，b0，(ab)224，.(2)由(1)知，同時，三式相加得：2，.10已知a1，求證：.【證明】要證原不等式成立，只要證明2.因為a1，0,20，所以只要證明2a24a，即證 a.所以只要證明a21a2，即證10即可而10顯然成立，所以.能力提升1若xyyzzx1，則x2y2z2與1的關(guān)系是() 【導(dǎo)學(xué)號：】Ax2y2z21 Bx2y2z21Cx2y2z21D.不確定【解析】x2y2z2(x2y2y2z2z2x2)(2xy2yz2zx)1，當且僅當xyz時，取等號【答案】A2設(shè)a，b，c都是正實數(shù)，且abc1，若M，則M的取值范圍是_【解析】abc1，M2228，即