1.2.1排列兩課時(shí)整理

1、1.2.1 排列,分類加法計(jì)數(shù)原理： 完成一件事，有n類不同方案，在第1類方案中有m1種不同的方法,在第2類方案中有m2種不同的方法 在第n類方案中有mn種不同的方法.那么完成這件事共有 種不同的方法.,分步乘法計(jì)數(shù)原理： 完成一件事，需要分成n個(gè)步驟，做第1步有m1種不同的方法,做第2步有m2種不同的方法，做第n步有mn種不同的方法.那么完成這件事共 有 種不同的方法.,知識回顧,問題1：從甲、乙、丙3名同學(xué)中選出2名參加一項(xiàng)活動，其中1名同學(xué)參加上午的活動，另1名同學(xué)參加下午的活動，有多少種不同的選法？,探究：,分析：題目轉(zhuǎn)化為順序排列問題，,把上面問題中被取的對象叫做元素,于是問題就可以

2、敘述為：,從3個(gè)不同的元素a,b,c中任取2個(gè)，然后按照一定的順序排成一列，一共有多少種不同的排列方法？,ab, ac, ba, bc, ca, cb,問題2：從1，2，3，4這4個(gè)數(shù)中，每次取出3個(gè)排成一個(gè)三位數(shù)，共可得到多少個(gè)不同的三位數(shù)？,敘述為: 從4個(gè)不同的元素a,b,c,d 中任取3個(gè)，然后按 照一定的順序排成一列，共有多少種不同的排列方法？,abc,abd,acb,acd,adb,adc; bac,bad,bca,bcd,bda,bdc; cab,cad,cba,cbd,cda,cdb; dab,dac,dba,dbc,dca,dcb.,由此可寫出所有的三位數(shù)： 123，124，

3、132，134，142，143; 213，214，231，234，241，243， 312，314，321，324，341，342; 412，413，421，423，431，432。,問題1 從甲、乙、丙3名同學(xué)中選出2名參加某天的一項(xiàng)活動,其中1名參加上午的活動,1名參加下午的活動,有哪些不同的排法?,實(shí)質(zhì)是：從3個(gè)不同的元素中,任取2個(gè),按一定的順序排成一列,有哪些不同的排法？,問題2 從1，2，3，4這4個(gè)數(shù)中，每次取出3個(gè)排成一個(gè)三位數(shù)，共可得到多少個(gè)不同的三位數(shù)？,實(shí)質(zhì)是：從4個(gè)不同的元素中, 任取3個(gè),按照一定的順序排成一列,寫出所有不同的排法.,定義：一般地說,從n個(gè)不同的元素中

4、,任取m(mn)個(gè)元 素,按照一定的順序排成一列,叫做從n個(gè)不同的元素 中取出m個(gè)元素的一個(gè)排列.,基本概念,1、排列：,從n個(gè)不同元素中取出m (m n)個(gè)元素，按照一定的順序排成一列，叫做從n個(gè)不同元素中取出m個(gè)元素的一個(gè)排列。,說明：,1、元素不能重復(fù)。,2、“按一定順序”就是與位置有關(guān)，這是判斷一個(gè)問題是否是排列問題的關(guān)鍵。,3、兩個(gè)排列相同，當(dāng)且僅當(dāng)這兩個(gè)排列中的元素完全相同，而且元素的排列順序也完全相同。,4、mn時(shí)的排列叫選排列，mn時(shí)的排列叫全排列。,5、為了使寫出的所有排列情況既不重復(fù)也不遺漏，可以采用“樹形圖”。,（有序性）,（互異性）,練習(xí)1 下列問題是排列問題嗎？,（1

5、）從1，2，3，4四個(gè)數(shù)字中，任選兩個(gè)做加法，其不同結(jié)果有多少種？ （2）從1，2，3，4四個(gè)數(shù)字中，任選兩個(gè)做除法，其不同結(jié)果有多少種？ （3）從1到10十個(gè)自然數(shù)中任取兩個(gè)組成點(diǎn)的坐標(biāo)，可得多少個(gè)不同的點(diǎn)的坐標(biāo)？ （4）平面上有5個(gè)點(diǎn)，任意三點(diǎn)不共線，這五點(diǎn)最多可確定多少條射線？可確定多少條直線？ （5）10個(gè)學(xué)生排隊(duì)照相，則不同的站法有多少種？,（從中歸納這幾類問題的區(qū)別）,是排列,不是排列,是排列,是排列,不是排列,是排列,練習(xí)3.寫出從5個(gè)元素a，b，c，d，e中任取2個(gè)元素的所有排列,解決辦法是先畫“樹形圖”，再由此寫出所有的排列，共20個(gè),若把這題改為：寫出從5個(gè)元素a，b，c，

6、d，e中任取3個(gè)元素的所有排列，結(jié)果如何呢？,方法仍然照用，但數(shù)字將更大，寫起來更“啰嗦”,練習(xí)2.在A、B、C、D四位候選人中，選舉正、副班長各一人，共有幾種不同的選法？寫出所有可能的選舉結(jié)果,AB AC AD BA BC BDCA CB CD DA DB DC,研究一個(gè)排列問題，往往只需知道所有排列的個(gè)數(shù)而無需一一寫出所有的排列，那么能否不通過一一寫出所有的排列而直接“得”出所有排列的個(gè)數(shù)呢？接下來我們將來共同探討這個(gè)問題：排列數(shù)及其公式,2、排列數(shù)：,從n個(gè)不同的元素中取出m(mn)個(gè)元素的所有排列的個(gè)數(shù)，叫做從n個(gè)不同的元素中取出m個(gè)元素的排列數(shù)。用符號 表示。,“排列”和“排列數(shù)”有

7、什么區(qū)別和聯(lián)系？,問題中是求從個(gè)不同元素中取出個(gè)元素的排列數(shù)，記為 ,已經(jīng)算得,問題2中是求從4個(gè)不同元素中取出3個(gè)元素的排列數(shù)，記為，已經(jīng)算出,探究：從n個(gè)不同元素中取出2個(gè)元素的排列數(shù) 是多少？,呢？,呢？,(1)排列數(shù)公式（1）：,當(dāng)mn時(shí)，,正整數(shù)1到n的連乘積，叫做n的階乘，用 表示。,n個(gè)不同元素的全排列公式：,(2)排列數(shù)公式（2）：,說明：,1、排列數(shù)公式的第一個(gè)常用來計(jì)算，第二個(gè)常用來證明。,為了使當(dāng)mn時(shí)上面的公式也成立，規(guī)定：,2、對于 這個(gè)條件要留意，往往是解方程時(shí)的隱含條件。,排列數(shù)公式：,常用于計(jì)算含有數(shù)字的排列數(shù)的值,常用于對含有字母的排列數(shù)的式子進(jìn)行變形和論證,

8、小結(jié)：,【排列】從n個(gè)不同元素中選出m(mn)個(gè)元素,并按一定的順序排成一列. 【關(guān)鍵點(diǎn)】1、互異性(被選、所選元素互不相同) 2、有序性(所選元素有先后位置等順序之分) 【排列數(shù)】所有排列總數(shù),例1 計(jì)算：,=6！=654321=720,例題與練習(xí),變式練習(xí)：,17,14,n(n-1)=90,10,3.由乘積式寫出排列數(shù)的符號,(m-2)(m-3).(m-k+3),例2.解方程:,（1）n=3 (2)m=6,排列應(yīng)用題,【概念復(fù)習(xí)】： 1排列的定義，理解排列定義需要注意的幾點(diǎn)問題； 從n個(gè)不同元素中，任取m(mn)個(gè)元素（這里的被取元素各不相同）按照一定的順序排成一列，叫做從n個(gè)不同元素中取

9、出m個(gè)元素的一個(gè)排列. 2排列數(shù)的定義，排列數(shù)的計(jì)算公式,例1. 某段鐵路上有12個(gè)車站，共需要準(zhǔn)備多少種普通客票？,一、無限制條件的排列問題,例2、某年全國足球甲級(A組)聯(lián)賽共有14隊(duì)參加,每隊(duì)都要與其余各隊(duì)在主客場分別比賽1次,共進(jìn)行多少場比賽?,1.從5種不同的蔬菜種子中選3種分別種在3塊不同土質(zhì)的土地上，共有多少種不同的種法？,分析：把5個(gè)種子分別標(biāo)上1,2,3,4,5,用123表示種子1種在第1塊土地上，種子2種在第2塊土地上，種子3種在第3塊土地上，因此3個(gè)數(shù)的一個(gè)排列就是一種種植方法，從5個(gè)不同數(shù)中取出3個(gè)數(shù)的一個(gè)排列就是一種種植方法，多少個(gè)排列就有多少種種法。,變式練習(xí),2.

10、公共汽車上有4位乘客，其中任何兩個(gè)人都不在同一車站下車，汽車沿途停靠6個(gè)站，那么這4位乘客不同的下車方法有多少種？,分析：個(gè)車站分別標(biāo)上1,2,3,4,5,6,如1246表示第一位乘客在1號站下，第二位乘客在2號站下，第三位乘客在4號站下，第四位乘客在6號車站下，不同的排列表示不同的下法，有多少個(gè)不同的排列就有多少種不同的下法，共有A46=6543=360,3、有5名男生，4名女生排隊(duì)。 （1）從中選出3人排成一排，有多少種排法？ （2）全部排成一排，有有多少種排法？ （3）排成兩排，前排4人，后排5人，有多少種排法？,例3 某信號共用紅、黃、藍(lán)3面旗從上到下順序掛在豎直的旗桿上表示，每次可以

11、任掛1面、2面或3面，并且不同的順序表示不同的信號，一共可以表示多少種不同的信號？,課堂練習(xí)：,1、20位同學(xué)互通一封信，那么通信次數(shù)是多少？ 2、由數(shù)字1、2、3、4、5、6可以組成多少個(gè)沒有重復(fù)數(shù)字的整數(shù)？ 3、5個(gè)班，有5名語文老師、5名數(shù)學(xué)老師、5名英語老師，每個(gè)班上配一名語文老師、一名數(shù)學(xué)老師和一名英語老師，問有多少種不同的搭配方法？,例4、 用0到9這十個(gè)數(shù)字，可以組成多少個(gè)沒有重復(fù)數(shù)字的三位數(shù)？,分析1：由于百位上的數(shù)字不能為0，只能從1到9這9個(gè)數(shù)字中任選一個(gè)，有 種選法，再排十位和個(gè)位上的數(shù)字，可以從余下的9個(gè)數(shù)字中任選2個(gè)，有 種選法，根據(jù)分步計(jì)數(shù)原理，所求三位數(shù)的個(gè)數(shù)是：

12、,分析2：所求的三位數(shù)可分為：不含數(shù)字0的，有 個(gè)；含有數(shù)字0的，有 個(gè)，根據(jù)分類計(jì)數(shù)原理，所求三位數(shù)的個(gè)數(shù)是：,分析3：從0到9這十個(gè)數(shù)字中取3個(gè)的排列數(shù)為 ，其中以0為百位數(shù)字的排列數(shù)為 ，故所求三位數(shù)的個(gè)數(shù)是：,(特殊位置預(yù)置法),(特殊元素預(yù)置法),(排除法),二、有限制條件的排列問題,小 結(jié)一：對于“在”與“不在”等有特殊元素或特殊位置的排列問題，通常是先排特殊元素或特殊位置，稱為優(yōu)先處理特殊元素（位置）法（優(yōu)限法）。,優(yōu)限法,變：1、用0到9這十個(gè)數(shù)字，可以組成多少個(gè)沒有重復(fù)數(shù)字的且能被5整除的三位數(shù)？,2、用1到9這九個(gè)數(shù)字，可以組成多少個(gè)沒有重復(fù)數(shù)字的且能被3整除的三位數(shù)？,例

13、5 5個(gè)人站成一排 共有多少種排法？ 其中甲必須站在中間，有多少種不同的排法？ 其中甲、乙兩人必須相鄰，有多少種不同的排法？ 其中甲、乙兩人不相鄰，有多少種不同的排法？ 其中甲、乙兩人不站排頭和排尾，有多少種不同的排法？ 其中甲不站排頭，乙不站排尾，有多少種不同的排法？,小結(jié)二：對于相鄰問題，常用“捆綁法”（先捆后松）,捆綁法,小結(jié)三：對于不相鄰問題，常用“插空法”（特殊元素后考慮）,插空法,例5 5個(gè)人站成一排 其中甲、乙兩人不站排頭和排尾，有多少種不同的排法？,解： 甲、乙兩人不站排頭和排尾，則這兩個(gè)位置可從其余3人中選2人來站，有 種排法，剩下的人有 種排法，共有 種排法.,(特殊位置預(yù)

14、置法),(特殊元素預(yù)置法),(排除法),例5 5個(gè)人站成一排 其中甲不站排頭，乙不站排尾，有多少種不同的排法？,解： 甲站排頭有 種排法，乙站排尾有 種排法，但兩種情況都包含了“甲站排頭，乙站排尾”的情況，有 種排法， 所以共有 種排法.,用直接法，如何分類？,一類：甲站排尾,二類：甲站中間,所以共有 種排法.,(7)、甲與乙中間必須排2名，有幾種排法？,例5 5個(gè)人站成一排,例6 有4名男生，3名女生。3名女生高矮互不等， 將7名學(xué)生排成一行，要求從左到右，女生從矮到高 排列，有多少種排法？,順序固定問題用“除法”,對于某幾個(gè)元素順序一定的排列問題，可先將這幾個(gè)元素與其它元素一同進(jìn)行排列，然

15、后用總的排列數(shù)除以這幾個(gè)元素的全排列數(shù).,所以共有 種。,分析：先在7個(gè)位置上作全排列，有 種排法。其中 3個(gè)女生因要求“從矮到高”排，只有一種順序故 只 對應(yīng)一種排法，,本題也可以這樣考慮：對應(yīng)于先將沒有限制條件的其他元素進(jìn)行排列，有 種方法；,再將有限制條件（順序要求）的元素進(jìn)行排列，只有一種方法；,故，總的排列方法數(shù)為：,七個(gè)家庭一起外出旅游，若其中四家是男孩，三家是女孩，現(xiàn)將這七個(gè)小孩站成一排照相留念。,（1）若其中的A小孩必須站在B小孩的左邊，有多少種不同的排法？,變式練習(xí),解法2,七個(gè)家庭一起外出旅游，若其中四家是一個(gè)男孩，三家是一個(gè)女孩，現(xiàn)將這七個(gè)小孩站成一排照相留念。,2)若三

16、個(gè)女孩要站在一起，有多少種不同的排法？,解：將三個(gè)女孩看作一人與四個(gè)男孩排隊(duì)，有 種排法，而三個(gè)女孩之間有 種排法，所以不同的排法共有： （種）。,變式： 七個(gè)家庭一起外出旅游，若其中四家是男孩，三家是女孩，現(xiàn)將這七個(gè)小孩站成一排照相留念。,（3）若三個(gè)女孩要站在一起，四個(gè)男孩也 要站在一起，有多少種不同的排法？,七個(gè)家庭一起外出旅游，若其中四家是男孩，三家是女孩，現(xiàn)將這七個(gè)小孩站成一排照相留念。,（4）若三個(gè)女孩互不相鄰，有多少種不同的排法？,解：先把四個(gè)男孩排成一排有 種排法，在每一排列中有五個(gè)空檔（包括兩端），再把三個(gè)女孩插入空檔中有 種方法，所以共有： （種）排法。,變式、七個(gè)家庭一起

17、外出旅游，若其中四家是男孩，三家是女孩，現(xiàn)將這七個(gè)小孩站成一排照相留念。,（5）若三個(gè)女孩互不相鄰，四個(gè)男孩也互不相鄰，有多少種不同的排法？,相 間 問 題,七個(gè)家庭一起外出旅游，若其中四家是男孩，三家是女孩，現(xiàn)將這七個(gè)小孩站成兩排照相留念。,（6）若前排站三人，后排站四人，其中的A.B兩小孩必須站前排且相鄰，有多少種不同的排法？,解：A，B兩小孩的站法有： （種），其余人的站法有 （種），所以共有 （種） 排法。,解：連續(xù)命中的3槍和命中的另一槍被未命中的4槍所隔開 ，如圖表示沒有命中， _ 命中的三槍看作一個(gè)元素和另外命中的一槍共兩個(gè)元素插到五個(gè)空檔中有A25=54=20種排法,2.某人射

18、擊8槍，命中4槍，4槍命中恰好3槍連在一起的不同種數(shù)有多少？,課堂練習(xí)：,1、4個(gè)學(xué)生和3個(gè)老師排成一排照相，老師不能排兩端，且老師必須排在一起的不同排法種數(shù)是（ ） A . B . C . D .,2、停車場上有一排七個(gè)停車位，現(xiàn)有四輛汽車要停放，若要使三個(gè)空位連在一起，則停放的方法有 種.,3、用0、1、2、3、4、5六個(gè)數(shù)字，可組成多少個(gè)無重復(fù)數(shù)字且不能被5整除的五位數(shù)？,4、在7名運(yùn)動員中選出4名組成接力隊(duì)，參加4100米接力賽，那么甲、乙兩人都不跑中間兩棒的安排方法有多少種？,D,法一：,法二：,拓展性練習(xí)：,1、把15個(gè)人分成前后三排，每排5人，不同的排法數(shù)為（ ）,2、計(jì)劃展出10幅不同的畫，其中1幅水彩畫，4幅油畫，5幅國畫，排成一行陳列，要求同一品種的畫必須連在一起，那么不同的陳列方式有（ ）,3、由1、2、3、4、5這5個(gè)數(shù)字組成無重復(fù)數(shù)字的五位數(shù)，其中 奇數(shù)有 個(gè).,C,B,4、某城市在中心廣場建造一個(gè)花圃，花圃分為6個(gè)部分（如右圖）現(xiàn)要栽種4種不同顏色的花，每部分栽種一種且相鄰部分不能栽種同樣顏色的花，不同